Cím:	Román-magyar előolimpiai fizikaverseny
Füzet:	2012/szeptember, 368 - 371. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Román-magyar előolimpiai fizikaverseny${}^1$ Bukarest‐Budapest, 2012. május 16.     1. feladat. Elektromosságtani feladatcsokor. (Ez a feladat három, egymástól független részből állt.) $1/A)$ Tirisztor. A tirisztor egy félvezetőből készült, sokoldalúan használható áramköri elem, amelynek három kivezetése van. A gate (kapu) nevű kimenetére kapcsolt feszültséggel szabályozható a tirisztor viselkedése. Azonban, ha a gate-re nem kapcsolunk feszültséget és csak a másik két kivezetést használjuk, a tirisztor akkor is érdekesen viselkedik: különös áram-feszültség karakterisztikája van (lásd az 1. ábrát).   1. ábra   A tirisztort egy $R$ ellenállással sorba kötve feszültségforrásra kapcsoljuk1 a 2. ábrán látható módon, és az $U_0$ feszültséget zérusról lassan $U_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$-ig növeljük, majd‐ szintén lassan ‐ lecsökkentjük 0-ra.   Ábrázoljuk az áramerősséget az $U_0$ feszültség függvényében, ha $a)$ $R=2\frac{U_H}{I_H}$ és $U_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=7U_H$,   $b)$ $R=20\frac{U_H}{I_H}$ és $U_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=30U_H$!   2. ábra     $1/B)$ Egymást vonzó pálcák. Vákuumban két hosszú, párhuzamos, vékony, $R$ sugarú henger alakú, egyenes pálca helyezkedik el egymástól $d$ távolságra $\left(d\gg R\right)$. Az egyik pálca szigetelő, a másik vezető. A szigetelő pálca egyenletesen töltött, egységnyi hosszra eső töltése (azaz lineáris töltéssűrűsége) $\lambda$; a vezető pálca töltetlen. Mekkora a pálcák egységnyi hosszára ható elektromos vonzóerő?   $1/C)$ Mágneses inga. Egy $\ell$ hosszúságú súlytalan, vezető rúdból és egy $m$ tömegű kis testből matematikai ingát készítünk. Az ingatest egy súrlódásmentes csúszóérintkezővel függőleges síkú, vezető félkörhöz csatlakozik. A félkör és az inga rúdja (amelyek ellenállása elhanyagolható) egy $R$ ellenállással sorosan kötve zárt elektromos áramkört alkot (3. ábra). Az ingát homogén, vízszintes irányú, a lengési síkra merőleges, $B$ indukciójú mágneses térben kicsiny ${\phi }_0$ szöggel kitérítjük, majd elengedjük. (Az önindukció elhanyagolható.)   3. ábra     $a)$ Adjuk meg az ingatest mozgását leíró differenciálegyenletet! $b)$ A paraméterek függvényében adjuk meg, hányszor halad át az inga a függőleges helyzeten! $c)$ Abban az esetben, ha végtelen sokszor halad át az inga a függőleges helyzeten, mennyi idő alatt csökken a mozgás amplitúdója a kezdeti érték felére?   2. feladat. Felhőbe burkolózó hegygerinc. Ismeretes, hogy a $p$ légköri nyomás és a levegő $T$ hőmérséklete a tengerszinttől mért $h$ magassággal felfelé haladva egyre csökken. Emiatt, ha egy hegycsúcs felé levegő áramlik, és az a hegy oldalán felemelkedik, lehűl. A hőmérsékletcsökkenés következtében a légtömeg túltelítetté válik, a felesleges víz pedig pára formájában válik ki: így keletkezik a magas hegycsúcsok és hegygerincek körül gyakran látható felhő. Ebben a feladatban a felhőképződés egy egyszerű modelljéről lesz szó.   $2.a)$ Ha a légkör egy adott $h$ magasságban lévő pontjából kicsiny $\Delta h$ értékkel magasabbra megyünk, a nyomás $\Delta p$ értékkel változik. Adjuk meg a $\Delta p/\Delta h$ hányadost a légkör $h$ magasságban mérhető $\varrho \left(h\right)$ sűrűségével és a $g$ nehézségi gyorsulással kifejezve!   $2.b)$ Ahhoz, hogy a levegő nyomását ki tudjuk számítani a magasság függvényében, ismernünk kell a légkör $T\left(h\right)$ hőmérsékleteloszlását. Ennek meghatározásához képzeljük el a következő gondolatkísérletet! Az egyensúlyban lévő levegő egy $h$ magasságban lévő, kis térfogatú darabkája hirtelen $h+\Delta h$ magasságba emelkedik. Ha a felemelkedés során a gázdarab $T\text{'}$ végső hőmérséklete nagyobb a környező levegő $T\left(h+\Delta h\right)$ hőmérsékleténél, akkor a gáztömeg tovább emelkedik felfelé és a légkör instabillá válik. Határozzuk meg, milyen kritikus $\Delta T/\Delta h$ ütemben változhat a hőmérséklet a magassággal, hogy a légkör stabil egyensúlyban maradjon! (A levegő átlagos moláris tömege $M$, szabadsági fokainak számát vegyük $f=5$-nek.)   $2.c)$ Határozzuk meg numerikusan is a hőmérséklet $\Delta T/\Delta h$ kritikus változási ütemét (azaz a hőmérsékletgradienst)! Adatok: $M=29\mathrm{,}0\frac{\text{g}}{\text{mol}}$, $g=9\mathrm{,}81{\text{m/s}}^2$, az   univerzális gázállandó pedig $R=8\mathrm{,}314\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$. A tapasztalat szerint a légkörben a hőmérsékletgradiens mindig a kritikus értékkel egyenlő, ezért a további számolásokban használjuk ezt az egyszerűsítést!   $2.d)$ Az eddigi eredmények alapján határozzuk meg, hogyan függ a levegő $p$ nyomása a hegy lábától mért $h$ magasságtól, ha ismert, hogy a hegy lábánál a nyomás $p_0$, a hőmérséklet pedig $T_0=300$ K. Mekkora magasságban lesz a légnyomás a tengerszinten mérhető nyomás fele?   $2.e)$ A levegőben található vízgőz $p^{*}$ telítési nyomását jó közelítéssel a Clausius‐Clapeyron-egyenlet írja le, mely szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle p^{*}\left(T\right)=p_{\tau }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">e</span>}}^{\frac{L{M}_{\text{v}}}{R}\left(\frac{1}{\tau }-\frac{1}{T}\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\tau$ és $p_{\tau }$ a gőznyomás-hőmérséklet görbe tetszőleges pontjához tartozó adatok, például $\tau =373$ K, $p_{\tau }=101\mathrm{,}3$ kPa, $L$ a párolgáshő (vízre 2260 kJ/kg), $M_{\text{v}}$ pedig a víz moláris tömege. Tegyük fel, hogy a hegy lábától induló, $T_0=300$ K hőmérsékletű levegő ${\varrho }_{\text{v}}=10{\text{g/m}}^3$ vízgőzt tartalmaz. A szél miatt a hegy oldalán felfutó levegő lehűlése következtében a vízgőz egy bizonyos $H$ magasságban telítetté válik és felhő keletkezik. Írjunk föl egy egyenletet a hegygerincet beborító felhő alsó szélének $H$ magasságára!   $2.f)$ Határozzuk meg $H$ értékét 100 méteres pontossággal!   3. feladat. Súrlódó talajon mozgó henger. Egy $2r$ magasságú, tömör egyenes henger alapja $r$ sugarú kör. Egy kemény, de rugalmas anyagú vízszintes asztal egyik fele csúszós, a másik pedig érdes, itt $\mu$ a súrlódási együttható. A két részt egyenes vonal választja el egymástól. A hengert véglapjával az asztal csúszós felére helyezzük, majd elindítjuk az elválasztó vonalra merőleges irányban. Mi történik közvetlenül azután, hogy a henger elérte a választóvonalat, ha $a)$ $\mu =0\mathrm{,}5$; $b)$ $\mu =1\mathrm{,}5$; $c)$ $\mu =2\mathrm{,}5$ ? Útmutatás: $•$ Vizsgáljuk meg, hogy a határvonal elérésekor a henger felborul-e, felborulhat-e! $•$ Az $m$ tömegű, $r$ sugarú, $2r$ magasságú henger tehetetlenségi nyomatéka vízszintes súlyponti tengelyre vonatkoztatva $7m{r}^2/12$. 1A versenyt ‐ a korábbi évek gyakorlatától eltérően ‐ két helyszínen egyszerre rendezték meg. A feladatok közzététele, értékelése és az eredményhirdetés online történt; a megoldásra 5 óra állt rendelkezésre.