Kezdőlap


Cím:	Két párhuzamosan kapcsolt ideális tekercs eredő induktivitása
Szerző(k):	Szász Krisztián
Füzet:	2011/december, 557 - 562. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy két párhuzamosan kapcsolt, $L_{1}$ illetve $L_{2}$ induktivitású tekercs eredő induktivitása

\begin{matrix} L = \frac{L_{1} L_{2}}{L_{1} + L_{2}} . \end{matrix}

Ez az összefüggés azonban csak akkor érvényes, ha a tekercsek közötti kölcsönös indukció elhanyagolható. Vajon mekkora lesz az eredő induktivitás, ha a kölcsönös indukció is lényeges szerepet játszik? Ez a cikk erre keresi a választ. Először bevezetésként összefoglaljuk a kölcsönös indukcióra és az önindukcióra vonatkozó tudnivalókat.

A kölcsönös indukció és az önindukció

Tekintsünk két tekercset, amelyek közül az egyiket váltóáramú áramforrásra kapcsoljuk, a másikat pedig egy voltmérőhöz kötjük. Az áramforrásra kapcsolt körben időben változik az áram erőssége, emiatt változik a tekercs

Φ_{1}

fluxusa. Ezt a fluxusváltozást a másik tekercs ,,érzi'', ezért ebben a tekercsben feszültség indukálódik a Faraday-féle indukciós törvénynek megfelelően.
Ezt a jelenséget nevezzük kölcsönös indukciónak. Ha az első körben az áram változási üteme

\frac{Δ i_{1}}{Δ t}

, akkor a másik körben indukálódó feszültség

\begin{matrix} U_{2} = - M_{21} \frac{Δ i_{1}}{Δ t}, \end{matrix}

(1)

ahol

M_{21}

a második tekercsnek az elsőre vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatója. Ez a mennyiség megmutatja, hogy az első körben történt

Δ Φ_{1}

fluxusváltozás milyen erős hatást gyakorol a másik körben, azaz az első kör indukcióvonalai közül mennyi jut el a másik áramkörhöz.
A kölcsönös indukciós együttható konkrét alakját a legtöbb esetben nehéz meghatározni, de nekünk erre most nincs is szükségünk. Annyit érdemes tudni, hogy ez a mennyiség függ a tekercsek méreteitől (hossz, menetszám, keresztmetszet), a tekercsekben levő közeg anyagi minőségétől és a tekercsek egymástól való távolságától. Távolabb elhelyezkedő tekercsek esetén kevesebb számú indukcióvonal éri el a másik áramkört, kisebb lesz a benne indukált feszültség, kisebb lesz a kölcsönös indukciós együttható. Ekkor azt mondjuk, hogy a két tekercs közötti mágneses (induktív) csatolás gyenge. Ha nagyon közel vannak egymáshoz a tekercsek, viszonylag sok indukcióvonal megy át a másik tekercs keresztmetszetén, ilyenkor a csatolás erős,

M_{21}

értéke nagy.
Ha ezek után fordított szereposztást adunk, azaz a két áramkörben felcseréljük az áramforrást és a voltmérőt, akkor az első körben mért indukált feszültség az előzőek alapján

\begin{matrix} U_{1} = - M_{12} \frac{Δ i_{2}}{Δ t} \end{matrix}

(2)

lesz. Ebben a kifejezésben

\frac{Δ i_{2}}{Δ t}

a második áramkör áramának változási üteme,

M_{12}

pedig az első tekercs másodikra vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatója. Mi a kapcsolat a két együttható között? Itt nem részletezett energetikai megfontolással megmutatható (lásd [1], [2] vagy [3]), hogy a két együttható megegyezik:

\begin{matrix} M_{12} = M_{21} = M . \end{matrix}

(3)

Ha csak egy tekercset vizsgálunk, a saját körében is feszültség indukálódik a fluxusváltozás miatt. Ezt nevezzük önindukciónak. Az indukált feszültség így számítható:

\begin{matrix} U = - L \frac{Δ i}{Δ t}, \end{matrix}

(4)

ahol

L

a tekercs önindukciós együtthatója (más néven induktivitása).
Az (1), (2), (4) összefüggésekben szereplő negatív előjel a Lenz-törvényre utal, azaz az indukált áram (feszültség) iránya olyan, hogy mágneses hatásával akadályozza az őt létrehozó változást (a fluxusváltozást).
Ha mindkét áramkört áramforrásra kapcsoljuk, a rendszerben egyidejűleg fellép az önindukció és a kölcsönös indukció. Belátható, hogy ha az 1-es tekercsben

I_{1}

, a 2-es tekercsben pedig

I_{2}

áram folyik, akkor az egész rendszer mágneses energiája:

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2} + M I_{1} I_{2} . \end{matrix}

(5)

Megjegyzés. Gondoljuk el, hogy az 1-es tekercs áramát valamekkora

i_{1}

értékről egy kicsiny

Δ t

idő alatt

i_{1} + Δ i_{1}

-re, a 2-es tekercsét

i_{2}

-ről

i_{2} + Δ i_{2}

-re változtatjuk. Eközben a tekercsekben feszültség indukálódik (ennek nagysága ideális, ohmos ellenállás nélküli esetben a tekercsekre kapcsolt pillanatnyi feszültséggel egyezik meg), tehát a

P = U i

összefüggésnek megfelelően

Δ W = \sum P Δ t

nagyságú munkát kell végeznünk. Ez a munka, ami az egész rendszer mágneses energiáját növeli, az önindukciós és kölcsönös indukciós együtthatók segítségével így számítható:

\begin{matrix} Δ W & = i_{1} (L_{1} \frac{Δ i_{1}}{Δ t} + M \frac{Δ i_{2}}{Δ t}) Δ t + i_{2} (L_{2} \frac{Δ i_{2}}{Δ t} + M \frac{Δ i_{1}}{Δ t}) Δ t = \\ = L_{1} \cdot i_{1} Δ i_{1} + L_{2} \cdot i_{2} Δ i_{2} + M \cdot (i_{1} Δ i_{2} + i_{2} Δ i_{1}) = Δ (\frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2} + M i_{1} i_{2}) . \end{matrix}

A kicsiny munkavégzéseket összeadva ‐ miközben az áramok 0-ról

I_{1}

-re, illetve

I_{2}

-re nőnek ‐ megkapjuk az áramjárta tekercsek teljes mágneses energiájának (5) képletét.

A mágneses energia nyilván pozitív mennyiség, hiszen (a Lenz-törvény értelmében)

W > 0

munka szükséges a létrehozásához. Innen az

I_{2} = 0

speciális esetet választva

L_{1} > 0

, a fordított szereposztású esetből pedig

L_{2} > 0

következik. Csatolásmentes esetben
(tehát amikor a tekercsek egymástól messze vannak, és emiatt

M = 0

) a két tekercs energiája

\frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2}

.
A csatolásmentes áramkör energiájához képest a csatolással rendelkező kör energiája lehet nagyobb vagy kisebb. A csatolást leíró

M I_{1} I_{2}

tag ugyanis lehet pozitív, ha a két áramkör mágneses mezői erősítik egymást (ellentétes irányú az egymás melletti tekercsek tekercselés), de lehet negatív is, ha a két kör mágneses mezői gyengítik egymást (egyirányú tekercselés). Ezek szerint

M

lehet pozitív és negatív is attól függően, hogy milyen irányban vannak csévélve a tekercsek. A továbbiakban különválasztjuk a két esetet;

M

-et mindig pozitívnak fogjuk tekinteni, és a tekercselés irányát megfelelő előjelek kiírásával vesszük figyelembe.
Az áramkör teljes energiáját kis átalakítással így is felírhatjuk:

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} L_{1} {(I_{1} + \frac{M}{L_{1}} I_{2})}^{2} + \frac{1}{2} (L_{2} - \frac{M^{2}}{L_{1}}) I_{2}^{2} \geq 0. \end{matrix}

Ennek a kifejezésnek pozitívnak kell lennie akkor is, ha

\begin{matrix} I_{1} + \frac{M}{L_{1}} I_{2} = 0. \end{matrix}

Ekkor a második tagnak pozitívnak kell lenni, azaz fenn kell állnia az

\begin{matrix} M^{2} \leq L_{1} L_{2} \end{matrix}

egyenlőtlenségnek. Eszerint a két tekercs közötti kölcsönös indukciós együttható nem lehet akármekkora, csak a

0 \leq M \leq \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

határok közé eshet.
Emiatt szokás ezt az együtthatót az

M = k \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

alakban felírni; így a csatolás erősségét egy dimenziótlan

0 \leq k \leq 1

számmal adhatjuk meg.

A párhuzamos kapcsolás

Térjünk most rá arra a kérdésre, hogy mekkora eredő induktivitást kaphatunk, ha párhuzamosan kapcsolunk két olyan tekercset, amelyek kölcsönös indukciója is számottevő. Tekintsünk egy konkrét példát:

1. feladat. Egy

L_{1} = 45 mH

és egy

L_{2} = 90 mH

induktivitású tekercset párhuzamosan kapcsolunk. Lehet-e az eredő induktivitás

a)

10 mH;

b)

30 mH;

c)

50 mH?

Megoldás. Csatolásmentes (

k = 0

) esetben az eredő 30 mH, a

b)

válasz tehát lehetséges. Vajon a többi eset is megvalósulhat?
Legyen a tekercsek kölcsönös induktivitása

M

! Az önindukcióból származó indukált feszültségek, ha az egyes ágakban

i_{1}

és

i_{2}

pillanatnyi erősségű áramok folynak:

\begin{matrix} U_{1}^{önind.} = - L_{1} \frac{Δ i_{1}}{Δ t}, U_{2}^{önind.} = - L_{1} \frac{Δ i_{2}}{Δ t} . \end{matrix}

Ha a tekercsek csévélése egymáshoz képest egyező, akkor a fenti indukált feszültségeket a kölcsönös indukció csökkenti (

+

), ha pedig ellentétes, akkor növeli (

-

). A tekercsekben indukált teljes feszültség ‐ a párhuzamos kapcsolás miatt ‐ ugyanakkora kell legyen:

\begin{matrix} U & = - L_{1} \frac{Δ i_{1}}{Δ t} \pm M \frac{Δ i_{2}}{Δ t}, & (6) \\ U & = - L_{2} \frac{Δ i_{2}}{Δ t} \pm M \frac{Δ i_{1}}{Δ t} . & (7) \end{matrix}

Az indukált feszültséget az

L

eredő induktivitással felírva kapjuk, hogy

\begin{matrix} U = - L \frac{Δ i}{Δ t} = - L \frac{Δ (i_{1} + i_{2})}{Δ t} = - L (\frac{Δ i_{1}}{Δ t} + \frac{Δ i_{2}}{Δ t}) . \end{matrix}

(8)

A (6) és (7) egyenletek felhasználásával kifejezhetjük a változási sebességeket, amelyeket (8)-ba behelyettesítve adódik az eredő induktivitás:

\begin{matrix} L_{↑ ↑, ↑ ↓} = \frac{L_{1} L_{2} - M^{2}}{L_{1} + L_{2} \pm 2 M} . \end{matrix}

(9)

↑ ↑

szimbólum az egyirányú tekercselést jelöli, ekkor a kifejezésben a pozitív

(+)

, a

↑ ↓

pedig az ellentétes irányú tekercselést jelenti, és ekkor a negatív

(-)

előjel írandó. Tudjuk, hogy

M

értéke két határ között változhat:

\begin{matrix} 0 \leq M \leq \sqrt[]{4050} mH \approx 64 mH . \end{matrix}

(10)

Ábrázoljuk a (9) függvényeket, azaz az eredő

L

-et az

M

függvényében (lásd ábra)!

Két párhuzamosan kapcsolt tekercs eredő induktivitása a kölcsönös indukció mértékétől függően.

↑ ↑

az egyirányú,

↑ ↓

az ellentétes irányú tekercselést jelenti

Látható, hogy egyirányú tekercselésnél a kölcsönös indukció hatására a csatolásmentes esethez képest kisebb induktivitást kapunk. Ha a csatolás maximális (

k = 1

), akkor az eredő induktivitás eltűnik. Tehát ebben az esetben az eredő induktivitás 0 és 30 mH között változhat, és az

a)

válasznak megfelelő 10 mH-s értéket is felveheti.
Ellentétes irányú tekercselés esetén megmutatható, hogy az elérhető legnagyobb eredő induktivitás 45 mH. Vagyis ekkor az induktivitás 0 és 45 mH közötti érték lehet. Ezek szerint a

c)

válasz nem lehetséges.

Megjegyzés. A (9) összefüggés algebrai átalakításával beláthatjuk, hogy

L_{↑ ↓}

egyik tekercs önindukciós együtthatójánál sem lehet nagyobb

\begin{matrix} L_{↑ ↓} = \frac{L_{1} L_{2} - M^{2}}{L_{1} + L_{2} - 2 M} = L_{1} - \frac{{(M - L_{1})}^{2}}{L_{1} + L_{2} - 2 M} . \end{matrix}

A kölcsönös indukcióra vonatkozó egyenlőtlenség és a számtani- és mértani közepek egyenlőtlensége miatt a fenti képlet utolsó tagjának nevezője nemnegatív, vagyis

L_{↑ ↓} \leq L_{1}

. Hasonlóan, a tekercsek felcserélésével kapjuk, hogy

L_{↑ ↓} \leq L_{2}

Észrevehetjük, hogy az ellentétes irányú csévélésnél van olyan eredő

L

, amelyhez két

M

tartozik. Vegyük pl. a 40 mH értéket. (9)-ből könnyen kiszámolhatjuk, hogy a két megoldás

M

-re 24 mH és 54 mH. A nagyobb induktivitást akkor kapjuk, ha a tekercseket közel helyezzük egymáshoz (erős a csatolás). Ha eltávolítjuk őket, akkor csökken

M

értéke, de a (9) összefüggés szerint újra ugyanakkora lehet az eredő induktivitás.

Megjegyzés.

A (9) kifejezés nevezője eltűnik az ellentétes irányú tekercselés esetében, ha

M_{0} = \frac{L_{1} + L_{2}}{2}

.
Mivel

M \leq \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

és

\sqrt[]{L_{1} L_{2}} \leq \frac{L_{1} + L_{2}}{2}

, azért

M \leq M_{0}

. Az

L_{1} = L_{2} = L

eseten kívül

M

sohasem éri el

M_{0}

értékét. Abban a határesetben, amikor

M = \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

és

L_{1} = L_{2} = L

, akkor az eredő induktivitás

L

lesz, mert

\begin{matrix} {lim}_{M \to L}^{} \frac{L^{2} - M^{2}}{2 (L - M)} = {lim}_{M \to L}^{} \frac{(L - M) (L + M)}{2 (L - M)} = {lim}_{M \to L}^{} \frac{L + M}{2} = L . \end{matrix}

A fentiek ismeretében arra biztatjuk Olvasóinkat, hogy oldják meg a következő feladatot:

2. feladat. Egy

L_{1} = 45 mH

és egy

L_{2} = 90 mH

induktivitású tekercset sorosan kapcsolunk. Milyen határok közé eshet az eredő induktivitásuk, ha a kölcsönös indukció is számottevő?

Hivatkozások

[1]	Litz J.: Elektromosságtan és mágnességtan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest (1998).

[2]	Simonyi K.: Elméleti villamosságtan, Tankönyvkiadó, Budapest (1967); Műszaki Könyviadó, Budapest (2000).

[3]	Gnädig P.: A kölcsönös indukció, KöMaL (2001/2), 110‐116.

Szász Krisztián PhD hallgató, MTA Szilárdestfizikai és Optikai Kutatóintézet.