Kezdőlap


Cím:	A vízgőz adiabatái
Szerző(k):	Radnai Gyula
Füzet:	2011/szeptember, 372 - 374. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A P. 4333. feladat megoldása kapcsán több versenyzőben is felmerült a gondolat: milyen függvénnyel írhatók le a reális anyagok adiabatái?
A reális gázok izotermáira a legismertebb közelítés a Van der Waals-állapotegyenlet felhasználásával adódik:

\begin{matrix} (p + \frac{a}{V^{2}}) (V - b) = állandó,  ha T = állandó. \end{matrix}

Tudjuk azonban, hogy ennek az izotermának van olyan szakasza, amely pozitív meredekségű:

\begin{matrix} {(\frac{Δ p}{Δ V})}_{T = áll.} > 0. \end{matrix}

Lehetséges ez? Az ezen szakaszon fekvő pontok instabil állapotokat reprezentálnak, mivel

Δ V > 0

-hoz

Δ p > 0

tartozik (vagyis az anyag magától felrobban), illetve

Δ V < 0

esetén

Δ p < 0

(tehát az anyag magától összeomlik). A Van der Waals-izotermának ezek a szakaszai tehát lehetetlen folyamatokat jelölnek ki.
Azt is tudjuk, hogy a lehetetlen folyamat helyett egy ,,vízszintes'' szakasz jelenik meg a

(p, V)

diagramon, amely folytonosan, de töréssel csatlakozik az izoterma ívekhez. A vízszintes izoterma mentén halmazállapot-változáson (fázisátalakuláson) megy át a reális anyag.
Van der Waals-közelítésben az adiabata:

\begin{matrix} (p + \frac{a}{V^{2}}) {(V - b)}^{κ} = állandó,  ahol κ = \frac{c_{p}}{c_{V}} . \end{matrix}

Joggal gyanakodhatunk azonban, hogy ennek a

p (V)

függvénynek is lesznek irreális folyamatot reprezentáló részei. Nem is érdemes ezen az úton tovább kísérleteznünk, inkább induljunk ki valamelyik reális anyagon elvégzett mérésből! Ehhez nyújtanak segítséget a vízmérnöki gyakorlatban használt diagramok, vízgőz táblázatok.
Ami a vízgőz izotermákat illeti, ezek a

(p; V)

koordináta-rendszerben valóban olyanok, amilyennek sejtettük: lecsapódás közben

p = állandó

, ha

T = állandó

; míg a száraz (vízcseppeket nem tartalmazó) gőz izotermája eléggé hasonlít az ideális gáz izotermájához: jó közelítésben

\begin{matrix} p \sim \frac{1}{V}, ha T = állandó. \end{matrix}

Hogyan néznek ki a vízgőz adiabaták? Induljunk ki a száraz gőz állapotból! A mérések szerint az ilyen vízgőz adiabatának az egyenlete:

\begin{matrix} p V^{1, 3} = állandó,  vagyis p \sim \frac{1}{V^{1, 3}} . \end{matrix}

Ha ezt értelmezni szeretnénk, kínálkozik az

1, 3 \approx \frac{9}{7}

közelítés. A kinetikus modellben ez olyan molekulákból álló gáznak felel meg, amelyeknek 7 szabadsági fokuk van. Jó fantáziával meg is indokolhatja valaki ezt a 7-et, de nem érdemes erőltetni. Már csak azért sem, mert a vízgőz fajhője nem állandó, hanem a hőmérséklettől függ. Vegyük észre, hogy a víz‐vízgőz kétfázisú tartomány határa a

p

‐

V

diagramon olyan görbe, amely a

p_{1} \sim \frac{1}{V}

izotermánál meredekebb, de a

p_{2} \sim \frac{1}{V^{1, 3}}

adiabatánál enyhébb meredekségű. Csak így értelmezhető ugyanis az a tapasztalat, hogy a lecsapódás megkezdéséhez a száraz vízgőzt izotermikusan össze kell nyomni, adiabatikusan azonban növelni kell a térfogatát.
Az izoterma az 1. ábrán

A

-val jelölt állapot elérése után a kétfázisú tartományban vízszintesen folytatódik tovább. De hogyan folytatódik az adiabata?

1. ábra

A mérések szerint a száraz gőz adiabatájának a folytatása a kétfázisú tartományban is

p \sim \frac{1}{V^{α}}

függvénnyel közelíthető, ahol azonban

α = 1, 135

. Ebből következik, hogy a kétfázisú tartományt ,,jobbról'' határoló görbe még ennél is ,,lankásabb'' kell, hogy legyen.
Már csak az a kérdés, hogy ha a kétfázisú tartományban bárhol felveszünk egy pontot (kijelölünk egy állapotot) és ebből kezdjük adiabatikusan tágítani a rendszert, akkor találunk-e jól közelítő ,,adiabatikus függvényt''. A mérések szerint ezt az adiabatát egy olyan

p \sim \frac{1}{V^{α}}

függvény közelíti legjobban, ahol

\begin{matrix} α = 1, 035 + 0, 1 x . \end{matrix}

Itt

x

jelenti a vízgőz tömegének az össztömeghez viszonyított kezdeti arányát (2. ábra). (Az 1. ábrán látható

A

pontban, mivel ez határpont, ahol a teljes rendszer vízgőzből áll,

x = 1

. Így adódik az ottani

α = 1, 135

-ös kitevő.)

2. ábra

Felhasznált irodalom

[1]	M. W. Zemansky: Heat and Thermodinamics.

[2]	V. A. Kuzovljev: Műszaki hőtan.

Radnai Gyula