Kezdőlap


Cím:	A Kunfalvi Rezső fizikaverseny elméleti feladatai
Füzet:	2011/szeptember, 365 - 368. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Egy $m$ tömegű, vékony abroncs kerületére ugyancsak $m$ tömegű, pontszerű nehezéket erősítettünk. Az abroncsot az ábra szerint érdes, vízszintes talajra állítjuk úgy, hogy a nehezék kezdetben a lehető legmagasabban helyezkedjen el. A rendszert instabil egyensúlyi helyzetéből elengedve az abroncs tisztán gördülő mozgásba kezd. (A nehézségi gyorsulás $g$ , a tapadási súrlódási együttható elegendően nagy ahhoz, hogy az abroncs soha ne csússzon meg, az abroncs pontjai mindvégig ugyanabban a függőleges síkban mozognak.)

a)

Mekkora az abroncs és a talaj között ható kényszererő és a tapadási súrlódási erő nagysága, amikor a nehezék éppen az

α = 0^{\circ}

;

90^{\circ}

, illetve

180^{\circ}

-os szöggel jellemezhető helyzetben van?

b)

Mekkora

α

szögnél lesz az abroncs középpontjának gyorsulása a legnagyobb?

2. feladat. Ideális gáznak nevezünk egy termodinamikai rendszert, ha a részecskék közti kölcsönhatási energia elhanyagolható a részecskék mozgási energiájához képest, valamint ha a részecskék mérete elhanyagolható a teljes rendszer térfogatához képest. Valódi gázok kellően magas hőmérsékleten, kellően alacsony sűrűség mellett jó közelítéssel teljesítik ezeket a feltételeket, és kielégítik a jól ismert ideális gáztörvényt:

\begin{matrix} p V = n R T . \end{matrix}

(id)

(Itt

p

V

T

és

n

rendre a gáz nyomását, térfogatát, abszolút hőmérsékletét és mólszámát jelöli,

R = 8, 31 \frac{J}{mol\cdotK}

az univerzális gázállandó.)
Ha azonban a gáz hőmérsékletét csökkentjük, illetve sűrűségét növeljük, akkor az (id) egyenlet korrekcióra szorul. Ebben a tartományban az úgynevezett Van der Waals-állapotegyenlet igen jó közelítéssel írja le a gázok viselkedését, sőt, még a folyadék‐gáz fázisátalakulásról is számot ad:

\begin{matrix} (p + \frac{a n^{2}}{V^{2}}) (V - n b) = n R T, (a, b > 0) . \end{matrix}

(vdW)

(Ezt az állapotegyenletet Van der Waals empírikus alapon írta fel a XIX. század végén, azonban az egyenlet elméleti úton is levezethető.)
A (vdW) egyenletben szereplő

a

és

b

mennyiség az adott gázra jellemző pozitív állandó. A

b

paraméter úgy interpretálható, mint egy mólnyi részecske saját térfogata (hiszen ennyivel csökkentjük a gáz számára rendelkezésre álló térfogatot), az

a

paraméter pedig a részecskék közti vonzó kölcsönhatásról ad számot, mely a nyomást csökkenti.

a)

Rajzoljuk föl kvalitatíven a

p

‐

V

síkon a Van der Waals-gáz izotermáit! Mutassuk meg, hogy létezik egy olyan

T_{c}

kritikus hőmérséklet, amely fölött az izotermák szigorúan monoton csökkenőek, azonban a kritikus hőmérséklet alatti,

T < T_{c}

izotermáknak van monoton növekedő szakaszuk a

p

‐

V

síkon! Határozzuk meg a

T_{c}

kritikus hőmérsékletet! (

a

b

n

és

R

függvényében.)

b)

T_{c}

kritikus izotermának van egy vízszintes érintőjű inflexiós pontja. Határozzuk meg e ponthoz tartozó

V_{c}

kritikus térfogatot, valamint

p_{c}

kritikus nyomást! (

a

b

n

és

R

függvényében.)

c)

Határozzuk meg a dimenzió nélküli

K_{c} = \frac{n R T_{c}}{p_{c} V_{c}}

kritikus együttható értékét! (A kísérletileg meghatározott kritikus értékekből kapott

K_{c}

érték He-nál,

N_{2}

-nél, illetve víznél rendre 3,13, 3,42, illetve 4,46.)

d)

A (vdW) állapotegyenletben térjünk át a

π : = \frac{p}{p_{c}}

ω : = \frac{V}{V_{c}}

, illetve

τ : = \frac{T}{T_{c}}

úgynevezett redukált állapotjelzőkre, és segítségükkel írjuk föl a Van der Waals-gáz redukált állapotegyenletét!

e)

Az izotermák monoton növekedő szakaszai még túlhűtéssel, túlmelegítéssel sem érhetők el. Ezekben a pontokban az anyag instabillá válik, és fázisszeparáció jön létre, azaz együtt, azonos hőmérsékleten és nyomáson van jelen két különböző fázis, folyadék és gáz. Az izotermák monoton növekedő szakaszait határoló görbe a spinodálgörbe.
Határozzuk meg a spinodálgörbe egyenletét a

p

‐

V

síkon, illetve a

π

‐

ω

síkon!
3. feladat. Két hosszú, széles, vékony, téglalap felületű, szigetelő lap egyenletesen töltött, a lapok párhuzamosak, vízszintes síkúak, és egymás felett helyezkednek el. A felső lap felületi töltéssűrűsége

+ σ

, míg az alsó lap töltéssűrűsége

- σ

Mekkora és közelítőleg milyen irányú az elektromos térerősség az ábrán látható

M

pontban, ami a felső lap felett

h

magasságban, a lapok szimmetria-síkjában, a lapok éle felett helyezkedik el? (A lemezek közötti

d

távolság kicsi

h

-hoz képest (

d ≪ h

).)

4. feladat. Pontszerű fényforrás fényerejét 10 cm távolságban lévő kisméretű detektorral mérjük. A detektor és a fényforrás közé sík-párhuzamos üveglemezt teszünk. Ennek üvege átlátszó, a lemez merőleges a fényforrást és a detektort összekötő egyenesre, az üveg törésmutatója

n = 1, 5

. A levegő‐üveg, illetve az üveg‐levegő határfelületen merőleges (illetve közel merőleges) beesés esetén a

k

visszaverődési együttható:

k = \frac{{(n - 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}

, ami megadja a felületen visszaverődő fényintenzitás mértékét.

a)

Figyelembe véve az ,,ide-oda pattogó'' fényt, a beeső fény intenzitásának mekkora hányada halad át a lemezen?

b)

Számítsuk ki, hogy ha nem vesszük figyelembe az ,,ide-oda pattogó'' fényt, akkor hány százalékos eltéréssel kapjuk meg az áthaladó intenzitás hányadot?

c)

Ha a detektorral mérünk, akkor nem ezt az intenzitás hányadot jelzi a detektor. Kvalitatív módon adjuk meg az eltérés okát!

d)

Egyszerűsített sugármenetet tekintve határozzuk meg közelítőleg, hogy milyen vastag lemez esetén mér a detektor ugyanakkora jelet, mint a lemez nélküli eredeti helyzetben?
Megjegyzés. A feladatban hanyagoljuk el az esetlegesen létrejövő interferencia effektusokat.

5. feladat: Ez a feladat három, egymástól független részből áll.
I. rész: Kezdetben nyugvónak tekinthető deuteron és triton (deutérium és trícium atommag) reakciójából alfa-részecske és neutron jön létre, melyek mozgási energiája 17,6 MeV. Közelítőleg mekkora a szétrepülő két részecske mozgási energiája külön-külön? Szükséges-e relativisztikusan számolni?
II. rész: A pion (

π^{+}

) az elektronnál 273-szor nagyobb tömegű elemi részecske, melynek egyik lehetséges bomlási folyamatában pozitron és elektron-neutrínó (

ν_{e})

keletkezik:

\begin{matrix} π^{+} \to e^{+} + ν_{e} . \end{matrix}

Legalább mekkora annak a pionnak a sebessége, melynek bomlásában az

e^{+}

és a

ν_{e}

részecskék egymásra merőlegesen repülnek szét?
(A neutrínót tekintsük zérus nyugalmi tömegűnek, azaz olyan részecskének, melynek energiája és impulzusa között fennáll az

E = p c

összefüggés.)
III. rész: Becsüljük meg, legalább mekkora nyomást fejt ki egy kicsiny,

d

oldalélű, kocka alakú dobozba zárt elektron a doboz falára!
Adatok:
Az elemi töltés:

e = 1, 602 \cdot 10^{- 19}

C.
Az elektron tömege:

m_{e} = 9, 109 \cdot 10^{- 31}

kg.
A proton tömege:

m_{p} \approx 1836 m_{e}

.
A neutron tömege:

m_{n} \approx 1838, 5 m_{e}

.
A deuteron tömege:

m_{d} \approx 1, 999 m_{p}

.
A triton tömege:

m_{t} \approx 2, 994 m_{p}

.
Az alfa-részecske tömege:

m_{α} \approx 3, 973 m_{p}

.
A fénysebesség:

c = 299 792 458 m/s\approx3\cdot10^{8}

m/s.
A Planck-állandó:

h = 6, 626 \cdot 10^{- 34}

Js.