A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.Tudományos népszerűsítő előadások a Fővárosi Fazekas Mihály Gimnáziumban Hraskó András 2010. október 5-én kedden 16 órától Virág Bálint, iskolánk volt diákja, a kanadai Toronto Egyetem munkatársa mesél véletlen gráfokról a Fővárosi Fazekas Mihály Gimnáziumban. Friss információk a http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/ linken olvashatók. Az iskola címe: 1082 Budapest, Horváth Mihály tér 8.
Alább az előadó által írt beharangozó olvasható.
Véletlen gráfok Két párhuzamos út ( és ) között A) -es, B) -as négyzetrács elrendezésben terveznek utakat. Ha a rácspontok közötti mindegyik kis útszakasz (az egyik esetben 5, a másikban 13 ilyen van) egymástól függetlenül valószínűséggel épül meg illetve nem épül meg, akkor mennyi az esélye, hogy az , utak egyikéről át lehet jutni a másikra a megépülő utakon át?
1. ábra Általában, ha egy gráfból úgy készítünk új gráfot, hogy éleit egymástól függetlenül valószínűséggel megtartjuk, valószínűséggel pedig elhagyjuk, akkor perkolációról beszélünk. A perkolációk vizsgálatának nagy lökést adott a felismerés, hogy általuk nagy hálózatok is modellezhetők, elemezhetők.
2. ábra Az egyik tipikus kérdés, hogy a létrejövő ,,nagy'' hálózatban vagyis gráfban van-e ,,nagy'' összefüggő részgráf, tehát csúcspontok egymással élekkel összekötésben álló rendszere. A ,,nagy''-ot a matematika a ,,végtelen''-nel nevezi meg, így például már bizonyított az alábbi két eredmény:
I. tétel: Ha a kiinduló gráf a 2. ábrán látható, de végtelenül folytatódó 3-reguláris fa és , akkor nulla annak a valószínűsége, hogy a perkolációban van végtelen összefüggő részgráf.
II. tétel: A (mindegyik irányban) végtelen négyzetrács perkolációjában pontosan akkor lesz végtelen összefüggő részgráf, hogy ha .
A téma nehézségét mutatja, hogy a II. tétel három dimenziós változata máig megoldatlan. |
|