A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Egy kocka élének hossza centiméterben mérve egész szám. A kocka felületét pirosra festettük, majd az oldallapjaival párhuzamos vágásokkal 1 cm élű kiskockákra daraboltuk. Hány centiméter volt a kocka éle, ha a pontosan egy festett lapú kiskockák száma megegyezik a festetlen kiskockák számával? Hány olyan különböző méretű kocka létezik, amelyből 0,5 és 0,6 közé eső valószínűséggel választhatunk ki festetlen kiskockát? (A kiskockák kiválasztásának valószínűségét vegyük egyenlőnek.) (11 pont)
Megoldás. Legyen a kocka éle cm . A festetlen kiskockák száma: . A pontosan egy festett lapú kiskockák száma: . Tudjuk, hogy | | Az nem megoldása a feladatnak. Az az egyedüli megoldás. A kocka éle 8 cm. Legyen a keresett valószínűség . Tudjuk, hogy , azaz:
amiből századpontossággal kapjuk, hogy: . Tehát az lehetséges értékei: 10, 11, 12. Vagyis 3-féle megfelelő kocka létezik.
2. Bizonyítsuk be, hogy minden természetes szám esetén az szám -re végződik; . (12 pont)
Megoldás. Az kifejezés pontosan akkor végződik 1-re, ha az kifejezés 0-ra végződik, azaz osztható 10-zel. Végezzük el a következő átalakításokat:
A fenti kifejezés öt egymás utáni természetes szám szorzata, tehát biztosan van a tényezők között 2-vel, illetve 5-tel osztható. Így a kifejezés minden természetes szám esetén osztható 10-zel. A 2 hatványai sorban a következő számokra végződnek: 2, 4, 8, 6, 2, 4, stb., vagyis a -edik hatvány mindig 2-re végződik, így a kifejezés utolsó számjegye mindig 5 lesz. Vagyis a kifejezés valóban minden természetes szám esetén osztható 5-tel.
3. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget: | | (14 pont)
Megoldás. Meghatározzuk az egyenlőtlenség értelmezési tartományát.
Tehát . Ha , akkor a logaritmus függvény csökkenő, ezért: | | vagyis: . Tehát ebben az esetben a megoldás: . Ha , akkor a logaritmus függvény növekvő, ezért: | | vagyis: . Tehát ebben az esetben a megoldás: . Ha , akkor a logaritmus függvény növekvő, ezért: vagyis: . Tehát ebben az esetben a megoldás: . Mindent egybevetve a feladat megoldása: .
4. Egy növekvő számtani sorozat első, negyedik és tizedik tagja egy mértani sorozat első három tagja. A számtani sorozat nyolcadik tagja . Határozzuk meg a mértani sorozat első tagját. A 3, 4, 5, 6 számjegyekből képezzünk véletlenszerűen egy csupa különböző számjegyből álló négyjegyű számot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott szám -gyel osztható? (14 pont)
Megoldás. Jelöljük a számtani sorozat tagjait -nel. Tudjuk, hogy , , , vagyis . A mértani sorozat tulajdonsága miatt: | | amiből kapjuk: Az egyenlet gyökei: (ez a feladatnak nem megoldása, mivel a sorozat növekvő), . Vagyis a mértani sorozat első tagja: . A 3, 4, 5, 6 számjegyekből képezhető különböző számjegyekből álló négyjegyű számok száma: . A néggyel osztható számok utolsó két számjegye, mint kétjegyű szám osztható néggyel, így a szóba jöhető számok 36, 56 vagy 64-re végződhetnek. Vagyis a kedvező esetek száma 6 (mert mindhárom esetben a maradék két számjegy kétféleképpen írható a szám elejére). A keresett valószínűség:
II. rész
5. Egy derékszögű háromszög alakú saroktelekre téglalap alapterületű házat tervezünk úgy, hogy annak két oldala az utcával párhuzamos legyen. A telek két merőleges oldalának hossza 50 m és 30 m. Hogyan válasszuk meg a ház oldalainak hosszát, ha a lehető legnagyobb alapterületű házat szeretnénk megtervezni? (16 pont)
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Az és háromszögek hasonlósága miatt fennáll a következő aránypár: Rendezve az egyenlőséget:
A maximális területű téglalapot keressük: | | Keressük a másodfokú függvény szélsőértékét. A függvény zérushelyei: , . A másodfokú függvény képének szimmetriája miatt a szélsőérték -nél van. Mivel a főegyüttható negatív, ezért itt maximuma van. Vagyis a ház oldalainak hossza: m, m.
6. A derékszögű koordinátarendszer első síknegyedéből az ábrán látható két egyenes egy egység területű négyszöget vág le.
Határozzuk meg a két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Írjuk fel az egyenesek egyenletét. (16 pont)
Megoldás. Az ábra jelöléseit használjuk. Tudjuk, hogy:
Vagyis: .
Mivel egyenlőszárú derékszögű háromszög, így , azaz . Vagyis: . A két egyenes metszéspontja: . Az egyenes egyenlete könnyen felírható, hiszen a meredeksége 1, az tengelyt pedig a pontban metszi: . A egyenes egyenlete is felírható, mert ismerjük két pontjának koordinátáit. Használjuk a két ponton áthaladó egyenes egyenletét: | | Írjuk be az ismert pontok koordinátáit: | | Tehát az egyenesek egyenlete: és .
7. Két számot választunk véletlenszerűen a számközben. Mi a valószínűsége annak, hogy összegük -nél, szorzatuk pedig -nél kisebb lesz? (16 pont)
Megoldás. Jelöljük a vizsgált eseményt -val. A két véletlenszerűen választott és számnak a sík egységnégyzetének koordinátájú pontját feleltetjük meg. Az esemény fennáll, ha az egyenlőtlenségek egyidejűleg teljesülnek. Az ezeknek az egyenlőtlenségeknek eleget tevő pontok az egységnégyzet satírozott részére esnek. Ennek a résznek a területét kell kiszámítanunk.
Meghatározzuk az egyenes és az hiperbola metszéspontjait. Az helyettesítéssel kapjuk: A másodfokú egyenlet megoldásai: , . A megfelelő ordinátákat visszahelyettesítéssel kapjuk: , . A bevonalkázott részben a és a intervallumok fölötti részek együttesen 0,2 nagyságú területet adnak. A intervallumon az hiperbola alatti rész területét kell kiszámítani: | | Az esemény szempontjából kedvező rész területe: . Az egységnégyzet területe: , így az esemény valószínűsége: | | Tehát kb. 0,42 a valószínűsége annak, hogy a véletlenszerűen választott számok eleget tesznek a feltételeknek.
8. Egy forgáskúp és egy henger alaplapja közös. A kúp csúcsa a henger fedőlapjának középpontja. Határozzuk meg a kúp tengelyének és alkotójának hajlásszögét, ha a henger és a kúp felszínének aránya . (16 pont)
Megoldás. Készítsük el a kúp tengelymetszetéről a vázlatrajzot. Az ábra jelölései és a felszínekre vonatkozó összefüggések alapján: | | Egyszerűsítés után kapjuk, hogy | | Tudjuk, hogy és . Ezeket behelyettesítve és felhasználva, hogy , a következőt kapjuk: Rendezve az egyenletet: | | amit közelítő értékekkel így írhatunk: | | Alkalmazzuk a -ra vonatkozó addíciós tételt: Ennek a trigonometrikus egyenletnek a megoldása:
Innen a feladat egyedüli megoldása: . Vagyis a kúp alkotójának és magasságának hajlásszöge: .
9. A intervallumon értelmezett és függvények grafikonját megforgatjuk az tengely körül. Számítsuk ki az így kapott forgástestek alap- és fedőlapjának területét. Számítsuk ki a két test térfogatát. (16 pont)
Megoldás. Lerajzoljuk a függvények grafikonját, és a megforgatás után kapott testek síkmetszetét.
A két test alap és fedőlapja is azonos méretű, hiszen , . Vagyis az alaplapok sugara 1, a fedőlapok sugara 9. Az alaplap területe: , a fedőlap területe: . Használjuk a térfogatképletet:
|