A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Adott az számtani sorozat. Igazoljuk, hogy a képlettel értelmezett sorozat is számtani sorozat. (11 pont)
Megoldás. A sorozat bármely két szomszédos elemének különbsége állandó kell, hogy legyen. Tudjuk, hogy
Ekkor , ami valóban állandó.
2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: (12 pont)
Megoldás. Meghatározzuk az egyenlet értelmezési tartományát: , de , . Legyen , ekkor az egyenlet: amiből , . A nem lehet. A egyenletből kapjuk az egyenlet egyedüli megoldását, és ez az .
3. Melyek azok a pontok, amelyekre teljesül, hogy ? (14 pont)
Megoldás. Rendezzük át az egyenlőtlenséget: . Ha , akkor . Ezt koordináta-rendszerben ábrázoljuk: Ha , akkor , azaz . Ezt is ábrázoljuk koordináta-rendszerben: A két eset egyesítése adja a megoldást:
4. Egy urnában piros és kék golyó van. Egymás után kihúzunk ötöt úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a húzott golyót. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók között több a piros, mint a kék? (14 pont)
Megoldás. Az összes eset száma: . Háromféle eset lesz megfelelő: I. eset: Ha 3 pirosat és 2 kék golyót húzunk. Ez esetben valósul meg. II. eset: Ha 4 pirosat és 1 kék golyót húzunk. Ez esetben valósul meg. III. eset: Ha 5 pirosat húzunk. Ez esetben valósul meg. Ezek alapján a keresett valószínűség: | |
II. rész 5. Egy távközlési társaság előfizetővel rendelkezik 6500 Ft-os havidíj mellett. A piackutatások azt mutatják, hogy ha csökkentenék a havidíjat 100 Ft-tal, akkor új előfizetőhöz jutnának, és ez igaz lenne minden újabb 100 Ft-tal történő csökkentésre. (A havidíj összege ennél a társaságnál mindig -zal osztható szám.) Mekkora havi előfizetési díj mellett lenne, a piackutatások szerint, a legnagyobb bevétele a társaságnak? (16 pont)
Megoldás. Az hozzárendeléssel megadott függvény írja le a társaság bevételét, ahol és . A függvényt a következő alakra hozhatjuk: Az másodfokú függvény szélsőértéke -nél van, és ez maximumhely. Tudjuk, hogy csak egész szám lehet. A másodfokú függvény képének tengelyes szimmetriájából következik, hogy az és helyeken a függvény értéke egyenlő lesz. Vagyis a legkedvezőbb előfizetési díj a társaság részére az 5900 Ft vagy az 5800 Ft lenne.
6. Legyen , , rendre az háromszög , , oldalán egy-egy tetszőleges pont. Legyen , , . Bizonyítsuk be, hogy (16 pont)
Megoldás. Használjuk a háromszög-egyenlőtlenségeket: , . Ezeket összeadva kapjuk: Ugyanígy adódik: , . Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva és osztva kettővel: amiből kapjuk az egyik bizonyítandó összefüggést: A továbbiakban is a háromszög-egyenlőtlenségeket használjuk: , . Ezeket összeadva kapjuk: Ugyanígy adódik: , . Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva és osztva kettővel: amiből kapjuk a másik bizonyítandó összefüggést:
7. Egy egyenes körkúpba írjunk bele egy félgömböt úgy, hogy az a körlapjával illeszkedjék a kúp alapkörének síkjára, gömbfelülete pedig érintse a kúp palástját. A kúp felszíne úgy aránylik a félgömb görbült felületének a felszínéhez, mint . Mekkora a kúp nyílásszöge? (16 pont)
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit (az ábrán a kúp tengelyére illeszkedő síkmetszetet látjuk). Tudjuk, hogy , , ahol .
Legyen a kúp felszíne, pedig a félgömb görbe felületének felszíne, ekkor | | amiből kapjuk: Felhasználjuk, hogy és : | | ahonnan , . Visszakeresve a két szöget, a kúp nyílásszöge: vagy .
8. Bálint és Jonatán a következő játékot játsszák. Dobnak két kockával; ha a dobott számok szorzata vagy összege hárommal osztható, akkor Bálint, egyébként Jonatán nyeri a játékot. Kinek van nagyobb esélye a győzelemre? (16 pont)
Megoldás. Megadunk két eseményt: : a két szám szorzata osztható hárommal. : a két szám összege osztható hárommal. Tudjuk, hogy . Nézzük a kockadobások kimeneteleit, amikor az összeget figyeljük:
A 36 eset között 12 olyan van, amikor a dobott két szám összege hárommal osztható, ezért Nézzük a kockadobások kimeneteleit, amikor a szorzatot figyeljük:
A 36 eset között 20 olyan van, amikor a dobott két szám szorzata hárommal osztható, ezért . A 36 eset között 4 olyan van, amikor az összeg és a szorzat is osztható hárommal, ezért . Bálint nyerési esélye: , Jonatáné: . Vagyis Bálint nyerési esélye nagyobb.
9. Mely valós számokra igaz, hogy minden valós számra teljesül a egyenlőtlenség? (16 pont)
Megoldás. Mivel azért a nevező minden valós estén pozitív. Szorozzunk be ezzel a nevezővel, ekkor kapjuk: . Ha , akkor az egyenlőtlenség egyetlen valós számra sem igaz. Egyébként , és a diszkrimináns nem pozitív, azaz | | Mivel , ez akkor és csak akkor teljesül, ha . |