Cím:	Megoldásvázlatok a 2010/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Krisztin-Németh Andrea
Füzet:	2010/április, 209 - 213. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Adott az $\left(a_n\right)$ számtani sorozat. Igazoljuk, hogy a $b_n=a_{n+1}^2-a_n^2$ képlettel értelmezett sorozat is számtani sorozat.  (11 pont)   Megoldás. A $\left(b_n\right)$ sorozat bármely két szomszédos elemének különbsége állandó kell, hogy legyen. Tudjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b_n}& {\displaystyle ={\left(a_n+d\right)}^2-a_n^2=2a_{n}d+d^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =2a_{n+1}d+d^2=2\left(a_n+d\right)d+d^2=2a_{n}d+3d^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ekkor $b_{n+1}-b_n=2d^2$, ami valóban állandó.   2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{x+1}+2}{\sqrt[]{x+1}-1}=\frac{x+1}{x-2}\mathrm{.}}\end{array}$  (12 pont)   Megoldás. Meghatározzuk az egyenlet értelmezési tartományát: $x\ge -1$, de $x\ne 0$, $x\ne 2$. Legyen $\sqrt[]{x+1}=a$, ekkor az egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a+2}{a-1}=\frac{a^2}{a^2-3}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $a_1=-1$, $a_2=2$. A $\sqrt[]{x+1}=-1$ nem lehet. A $\sqrt[]{x+1}=2$ egyenletből kapjuk az egyenlet egyedüli megoldását, és ez az $x=3$.   3. Melyek azok a $P\left(x;y\right)$ pontok, amelyekre teljesül, hogy $||x|-1|-|y|\le 0$?  (14 pont)   Megoldás. Rendezzük át az egyenlőtlenséget: $||x|-1|\le |y|$. Ha $y\ge 0$, akkor $||x|-1|\le y$. Ezt koordináta-rendszerben ábrázoljuk:     Ha $y<0$, akkor $||x|-1|\le -y$, azaz $-||x|-1|\ge y$. Ezt is ábrázoljuk koordináta-rendszerben:     A két eset egyesítése adja a megoldást:     4. Egy urnában $7$ piros és $9$ kék golyó van. Egymás után kihúzunk ötöt úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a húzott golyót. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók között több a piros, mint a kék?  (14 pont)   Megoldás. Az összes eset száma: ${16}^5$. Háromféle eset lesz megfelelő: I. eset: Ha 3 pirosat és 2 kék golyót húzunk. Ez $\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot 7^3\cdot 9^2$ esetben valósul meg. II. eset: Ha 4 pirosat és 1 kék golyót húzunk. Ez $\frac{5!}{4!\cdot 1!}\cdot 7^4\cdot 9^1$ esetben valósul meg. III. eset: Ha 5 pirosat húzunk. Ez $7^5$ esetben valósul meg. Ezek alapján a keresett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot 7^3\cdot 9^2+\frac{5!}{4!\cdot 1!}\cdot 7^4\cdot 9^1+7^5}{{16}^5}\approx 0\mathrm{,}3840.}\end{array}$   II. rész   5. Egy távközlési társaság $13000$ előfizetővel rendelkezik 6500 Ft-os havidíj mellett. A piackutatások azt mutatják, hogy ha csökkentenék a havidíjat 100 Ft-tal, akkor $250$ új előfizetőhöz jutnának, és ez igaz lenne minden újabb 100 Ft-tal történő csökkentésre. (A havidíj összege ennél a társaságnál mindig $100$-zal osztható szám.) Mekkora havi előfizetési díj mellett lenne, a piackutatások szerint, a legnagyobb bevétele a társaságnak?  (16 pont)   Megoldás. Az $f\left(x\right)=\left(6500-100x\right)\left(13000+250x\right)$ hozzárendeléssel megadott függvény írja le a társaság bevételét, ahol $0\le x<65$ és $x\in \text{Z}$. A függvényt a következő alakra hozhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=-25000\left(x-65\right)\left(x+52\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $f$ másodfokú függvény szélsőértéke $x=6\mathrm{,}5$-nél van, és ez maximumhely. Tudjuk, hogy $x$ csak egész szám lehet. A másodfokú függvény képének tengelyes szimmetriájából következik, hogy az $x_1=6$ és $x_2=7$ helyeken a függvény értéke egyenlő lesz. Vagyis a legkedvezőbb előfizetési díj a társaság részére az 5900 Ft vagy az 5800 Ft lenne.   6. Legyen $A_1$, $B_1$, $C_1$ rendre az $ABC$ háromszög $BC$, $CA$, $AB$ oldalán egy-egy tetszőleges pont. Legyen $l_a=A{A}_1$, $l_b=B{B}_1$, $l_c=C{C}_1$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{l_a+l_b+l_c}{a+b+c}<\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$  (16 pont)   Megoldás. Használjuk a háromszög-egyenlőtlenségeket: $l_a>b-A_{1}C$, $l_a>c-A_{1}B$. Ezeket összeadva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2l_a>b+c-a\mathrm{.}}\end{array}$ Ugyanígy adódik: $2l_b>a+c-b$, $2l_c>a+b-c$. Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva és osztva kettővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle l_a+l_b+l_c>\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\mathrm{,}}\end{array}$ amiből kapjuk az egyik bizonyítandó összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{l_a+l_b+l_c}{a+b+c}\mathrm{.}}\end{array}$ A továbbiakban is a háromszög-egyenlőtlenségeket használjuk: $l_a<c+A_{1}B$, $l_a<b+A_{1}C$. Ezeket összeadva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2l_a<a+b+c\mathrm{,}}\end{array}$ Ugyanígy adódik: $2l_b<a+b+c$, $2l_c<a+b+c$. Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva és osztva kettővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle l_a+l_b+l_c<\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\mathrm{,}}\end{array}$ amiből kapjuk a másik bizonyítandó összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{l_a+l_b+l_c}{a+b+c}<\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   7. Egy egyenes körkúpba írjunk bele egy félgömböt úgy, hogy az a körlapjával illeszkedjék a kúp alapkörének síkjára, gömbfelülete pedig érintse a kúp palástját. A kúp felszíne úgy aránylik a félgömb görbült felületének a felszínéhez, mint $18:5$. Mekkora a kúp nyílásszöge?  (16 pont)   Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit (az ábrán a kúp tengelyére illeszkedő síkmetszetet látjuk). Tudjuk, hogy $a=\frac{r}{\text{sin}\alpha }$, $\varrho =r\text{cos}\alpha$, ahol $0<\alpha <{90}^{\circ }$.     Legyen $A$ a kúp felszíne, $B$ pedig a félgömb görbe felületének felszíne, ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{r\left(\frac{r}{\text{sin}\alpha }+r\right)\pi }{2r^2\pi \text{cos}{}^2\alpha }=\frac{18}{5}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1+\text{sin}\alpha }{2\text{sin}\alpha \text{cos}{}^2\alpha }=\frac{18}{5}\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználjuk, hogy $\text{cos}{}^2\alpha =1-\text{sin}{}^2\alpha$ és $\text{sin}\alpha +1\ne 0$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2\text{sin}\alpha \left(1-\text{sin}\alpha \right)}=\frac{18}{5}\mathrm{,}36\text{sin}{}^2\alpha -36\text{sin}\alpha +5=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $\text{sin}{\alpha }_1=\frac{5}{6}$, $\text{sin}{\alpha }_2=\frac{1}{6}$. Visszakeresve a két szöget, a kúp nyílásszöge: $112\mathrm{,}{89}^{\circ }$ vagy $19\mathrm{,}{19}^{\circ }$.   8. Bálint és Jonatán a következő játékot játsszák. Dobnak két kockával; ha a dobott számok szorzata vagy összege hárommal osztható, akkor Bálint, egyébként Jonatán nyeri a játékot. Kinek van nagyobb esélye a győzelemre?  (16 pont)   Megoldás. Megadunk két eseményt: $A$: a két szám szorzata osztható hárommal. $B$: a két szám összege osztható hárommal. Tudjuk, hogy $P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$. Nézzük a kockadobások kimeneteleit, amikor az összeget figyeljük:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{dobások}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">3</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">3</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">9</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">9</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">9</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">9</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">12</span> }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A 36 eset között 12 olyan van, amikor a dobott két szám összege hárommal osztható, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(B\right)=\frac{12}{36}=\frac{3}{9}\mathrm{.}}\end{array}$ Nézzük a kockadobások kimeneteleit, amikor a szorzatot figyeljük:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{dobások}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">3</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">12</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">3</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">9</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">12</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">15</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">18</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">12</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">24</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">15</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 25}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">30</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">12</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">18</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">24</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">30</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">36</span> }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A 36 eset között 20 olyan van, amikor a dobott két szám szorzata hárommal osztható, ezért $P\left(A\right)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$. A 36 eset között 4 olyan van, amikor az összeg és a szorzat is osztható hárommal, ezért $P\left(AB\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. Bálint nyerési esélye: $P\left(A+B\right)=\frac{3+5-1}{9}=\frac{7}{9}$, Jonatáné: $1-P\left(A+B\right)=\frac{2}{9}$. Vagyis Bálint nyerési esélye nagyobb.   9. Mely valós $p$ számokra igaz, hogy minden valós $x$ számra teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x^2+2x+3}{x^2+x+1}\le p}\end{array}$ egyenlőtlenség?  (16 pont)   Megoldás. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\mathrm{,}}\end{array}$ azért a nevező minden valós $x$ estén pozitív. Szorozzunk be ezzel a nevezővel, ekkor kapjuk: $0\le \left(p-2\right)x^2+\left(p-2\right)x+p-3$. Ha $p=2$, akkor az egyenlőtlenség egyetlen valós számra sem igaz. Egyébként $p>2$, és a diszkrimináns nem pozitív, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(p-2\right)}^2-4\left(p-2\right)\left(p-3\right)\le \mathrm{0,}\left(p-2\right)\left(-3p+10\right)\le 0.}\end{array}$ Mivel $p>2$, ez akkor és csak akkor teljesül, ha $p\ge \frac{10}{3}$.