Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Benyovics Ágnes
Füzet:	2010/április, 208 - 209. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Egy kocka élének hossza centiméterben mérve egész szám. A kocka felületét pirosra festettük, majd az oldallapjaival párhuzamos vágásokkal 1 cm élű kiskockákra daraboltuk. $a)$ Hány centiméter volt a kocka éle, ha a pontosan egy festett lapú kiskockák száma megegyezik a festetlen kiskockák számával? $b)$ Hány olyan különböző méretű kocka létezik, amelyből 0,5 és 0,6 közé eső valószínűséggel választhatunk ki festetlen kiskockát? (A kiskockák kiválasztásának valószínűségét vegyük egyenlőnek.)  (11 pont)   2. Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes szám esetén $a)$ az $n^5-5n^3+4n+1$ szám 1-re végződik; $b)$ $5\mid 2^{4n+1}+3$.  (12 pont)   3. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{x+3}\left(x^2-9x-10\right)\le \text{log}{}_{x+3}12.}\end{array}$  (14 pont)   4. $a)$ Egy növekvő számtani sorozat első, negyedik és tizedik tagja egy mértani sorozat első három tagja. A számtani sorozat nyolcadik tagja 10. Határozzuk meg a mértani sorozat első tagját. $b)$ A 3, 4, 5, 6 számjegyekből képezzünk véletlenszerűen egy csupa különböző számjegyből álló négyjegyű számot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott szám 4-gyel osztható?  (14 pont)   II. rész   5. Egy derékszögű háromszög alakú saroktelekre téglalap alapterületű házat tervezünk úgy, hogy annak két oldala az utcával párhuzamos legyen. A telek két merőleges oldalának hossza 50 m és 30 m. Hogyan válasszuk meg a ház oldalainak hosszát, ha a lehető legnagyobb alapterületű házat szeretnénk megtervezni?  (16 pont)   6. A derékszögű koordinátarendszer első síknegyedéből az ábrán látható két egyenes egy 2010 egység területű négyszöget vág le.     $a)$ Határozzuk meg a két egyenes metszéspontjának koordinátáit. $b)$ Írjuk fel az egyenesek egyenletét.  (16 pont)   7. Két számot választunk véletlenszerűen a $\left[0;1\right]$ számközben. Mi a valószínűsége annak, hogy összegük 1-nél, szorzatuk pedig $\frac{4}{25}$-nél kisebb lesz?  (16 pont)   8. Egy forgáskúp és egy henger alaplapja közös. A kúp csúcsa a henger fedőlapjának középpontja. Határozzuk meg a kúp tengelyének és alkotójának hajlásszögét, ha a henger és a kúp felszínének aránya $7:4$.  (16 pont)   9. A $\left[0;2\right]$ intervallumon értelmezett $f\left(x\right)=x^3+1$ és $g\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2$ függvények grafikonját megforgatjuk az $x$ tengely körül. $a)$ Számítsuk ki az így kapott forgástestek alap- és fedőlapjának területét. $b)$ Számítsuk ki a két test térfogatát.  (16 pont)