Cím:	Latin négyzetek, szép sudoku megoldások és véges geometriák I.
Szerző(k):	Kiss György
Füzet:	2010/március, 130 - 136. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1 1. Latin négyzetek   $n$-edrendű latin négyzetnek olyan $n\times n$-es táblázatot nevezünk, amelynek mezőit úgy töltjük ki az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ számokkal, hogy minden sorban és minden oszlopban mindegyik szám pontosan egyszer szerepel. A jól kitöltött sudoku tábla tehát egy $9\times 9$-es latin négyzet. Ha semmi egyéb feltételt nem támasztunk, akkor egyszerűen tudunk bármekkora latin négyzetet készíteni: az első sorba beírjuk 1-től $n$-ig növekvő sorrendben a számokat, majd a következő sorokat úgy készítjük, hogy az előző sort mindig ciklikusan eggyel balra léptetjük. Ilyen $6\times 6$-os latin négyzet látható az 1. ábrán.   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   1. ábra   Napjainkban elsősorban a statisztikusok használnak latin négyzeteket mintavételekhez. Ha például egy város 4 különböző négyévfolyamos gimnáziumába járó diákjainak tudását szeretnénk 4 tantárgyból felmérni úgy, hogy ne kelljen minden diáknak minden tárgyból megírnia a dolgozatot, de az eredmény reprezentálja az iskolák és az egyes évfolyamokra járó tanulók tudását is, akkor a következőképpen járhatunk el: az iskolákat megszámozzuk 1-től 4-ig és minden iskola minden évfolyamáról kiválasztunk egy-egy tanulót. Készítünk egy $4\times 4$-es latin négyzetet, melynek sorai az évfolyamoknak, oszlopai pedig a négy tantárgynak felelnek meg. Ha az $i$-edik sor $j$-edik oszlopában a $k$ számjegy áll, akkor a $k$-adik iskola $i$-edik évfolyamos tanulója a $j$-nek megfelelő tantárgyból ír dolgozatot. Az első természetesen adódó kérdés a latin négyzetekkel kapcsolatban az, hogy adott $n$ esetén hány különböző latin négyzet létezik. A továbbiakban ha a latin négyzetek számáról beszélünk, akkor mindig feltesszük, hogy az első sorban az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ számok növekvő sorrendben szerepelnek. Ez nem befolyásolja a négyzetek tulajdonságait, hiszen csak a jelölés megválasztását jelenti. Könnyű belátni, hogy $2\times 2$-es latin négyzetből egy, $3\times 3$-asból pedig kettő van (ez utóbbi abból következik, hogy a második sor első eleme 2 vagy 3 lehet, s ennek a megadása után már egyértelműen meghatározható a többi elem). A két $3\times 3$-as négyzet:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   ${\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   2. ábra   Az $n$ növekedésével nagyon gyorsan nő a latin négyzetek száma.   ${\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ négyzetek száma }}\hfill \\ {\displaystyle \text{4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1344 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>9408</mn><mo>×</mo><mn>120</mn></math> }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>16</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>927</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>968</mn><mo>×</mo><mn>6</mn><mo stretchy="false">!</mo></math> }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>535</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>281</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>401</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>856</mn><mo>×</mo><mn>7</mn><mo stretchy="false">!</mo></math> }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>377</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>597</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>570</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>964</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>258</mn><mspace width="0.5mm"></mspace><mn>816</mn><mo>×</mo><mn>8</mn><mo stretchy="false">!</mo></math> }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A pontos számot csak $n\le 15$ esetén ismerjük. Ha $n=15$, akkor ez nagyságrendileg ${10}^{86}$.  M. Hall egy tétele alsó becslést ad, eszerint az $n\times n$-es latin négyzetek száma legalább $2!\cdot 3!\cdot \text{...}\cdot \left(n-1\right)!$.   A latin négyzetekhez kapcsolódó első, írásban említett feladat 1723-ból származik: helyezzük el a francia kártya 16 különböző figuráját egy $4\times 4$-es táblázatba úgy, hogy minden sorban is és oszlopban is minden szín és minden figura pontosan egyszer forduljon elő. Nem sokkal később, 1779-ben kapta Euler a következő feladatot II. Katalin cárnőtől: a cári seregben 6 különböző tiszti rendfokozat van. Kiválasztunk 6 különböző ezred tisztjei közül 36-ot úgy, hogy az azonos ezredbeliek közt ne legyenek azonos rangúak. Fel lehet-e sorakoztatni a tiszteket egy $6\times 6$-os alakzatban úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban minden rangból és minden ezredből pontosan egy szerepeljen közülük? Euler sejtette, hogy a feladat nem oldható meg, bizonyítani azonban nem tudta. Ezt csak 1900-ban sikerült G. Tarrynak belátnia. Ezekben a feladatokban olyan latin négyzeteket kell konstruálnunk, melyeknek még extra tulajdonságai is vannak. Ha $L$ latin négyzet, akkor jelölje $L_{i\mathrm{,}j}$ az $i$-edik sorának $j$-edik elemét. Két $n$-edrendű latin négyzet, $L^1$ és $L^2$ ortogonális, ha az $\left(L_{i\mathrm{,}j}^1\mathrm{,}{L}_{i\mathrm{,}j}^2\right)$ párok $1\le i\mathrm{,}j\le n$ esetén az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ számokból képezhető összes rendezett párt pontosan egyszer állítják elő. Például a 2. ábrán szereplő harmadrendű latin négyzetek ortogonálisak. Szemléletesen ha a két latin négyzetben szereplő számokat egy négyzetbe írjuk, akkor minden mezőben különböző rendezett párokat kapunk. Az eddigi feladatokat pedig úgy fogalmazhatjuk meg, hogy adjunk meg különböző méretű ($4\times 4$-est a kártyáknál, illetve $6\times 6$-ost a tiszteknél) ortogonális latin négyzetpárokat. Az $n$-edrendű latin négyzetek egy $\left\{L^1\mathrm{,}{L}^2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{L}^k\right\}$ halmaza ortogonális rendszert alkot, ha közülük bármely kettő ortogonális. Ismert, hogy ha $n>2$ és $n\ne 6$, akkor van $n$-edrendű ortogonális latin négyzetpár. (Ennek bizonyítása megtalálható a [2] könyv 12. fejezetében.) Az ortogonális rendszer mérete viszont nem lehet túl nagy.   Tétel. Az $n$-edrendű latin négyzetek bármely ortogonális rendszere legfeljebb $n-1$ elemű.   Bizonyítás. Legyen $\left\{L^1\mathrm{,}{L}^2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{L}^k\right\}$ ortogonális rendszer. Feltehető, hogy minden négyzet első sorában növekvő sorrendben szerepelnek az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ számok. Nézzük a négyzetek második sorának első elemét. Ez egyik négyzetben sem lehet 1, és bármelyik kettőben egymástól különböző kell, hogy legyen. Ha ugyanis $i\ne j$ esetén $L_{\mathrm{2,1}}^i=L_{\mathrm{2,1}}^j=m$ teljesülne, akkor $L_{\mathrm{1,}m}^i=L_{\mathrm{1,}m}^j=m$ miatt $L^i$ és $L^j$ nem lenne ortogonális, mert az azonos számokat tartalmazó párok az első sorban szerepelnek. Vagyis ebbe a mezőbe legfeljebb $n-1$ különböző számot írhatunk.  $\square$   Ha létezik $n-1$ elemű ilyen halmaz úgy, hogy bármely kettő ortogonális, akkor a latin négyzetek teljes ortogonális rendszeréről beszélünk. Ha $n$ prímszám, akkor egyszerűen készíthetünk teljes ortogonális rendszert. Legyen $m=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n-1$ esetén $a_{i\mathrm{,}j}^m$ az $m\left(i-1\right)+\left(j-1\right)$ szám $n$-nel való maradékos osztásánál kapott maradék (azaz $m\left(i-1\right)+\left(j-1\right)$ értéke modulo $n$) és legyen $L_{i\mathrm{,}j}^m=a_{i\mathrm{,}j}^m+1$. (Ha $n=3$, akkor a 2. ábra bal oldali latin négyzete $L^1$, a jobb oldali pedig $L^2$.) Könnyű belátni, hogy $L^m$ minden $m$-re latin négyzet és az így készített $n-1$ latin négyzet közül bármely kettő ortogonális. Hasonló módon készíthető teljes ortogonális rendszer minden prímhatvány esetén. Ezek a konstrukciók a véges síkok létezésén alapulnak, leírásuk megtalálható pl. a [4] könyv 1. fejezetében. Ha tehát $n$ prímhatvány, akkor létezik latin négyzetek teljes ortogonális rendszere. Más esetekben a probléma nyitott, kivéve az $n=6$ és $n=10$ esetét. Ha $n=6$, akkor Tarry említett eredménye szerint már két ortogonális latin négyzet sem létezik. Ha $n=10$, akkor létezik ortogonális latin négyzetpár, de teljes ortogonális rendszer nem. Ez szintén véges síkokra vonatkozó eredményekből következik [4].   2. A sudoku tábla és a négydimenziós véges affin tér   A kitöltött sudoku tábla egy olyan $9\times 9$-es latin négyzet, melynek még az a tulajdonsága is megvan, hogy ha $3\times 3$-as kis négyzetekre osztjuk, akkor minden kis négyzetben is pontosan egyszer fordul elő 1-től 9-ig minden szám. A 3. ábrán látható sudoku táblának további érdekes tulajdonságai is vannak.     3. ábra   Nevezzük nagy sornak, illetve nagy oszlopnak az ábrán vastag vonallal határolt 3-3 sort, illetve oszlopot tartalmazó részeket. Így 3-3 nagy sor és nagy oszlop van, bármely nagy sor és nagy oszlop metszete egy kis négyzet. Minden kis négyzet 3-3 kis sort, illetve kis oszlopot tartalmaz, melyeket fentről lefelé, illetve jobbról balra megszámozunk. Nevezzük törött oszlopnak valamely nagy sorban lévő 3 kis négyzet ugyanannyiadik kis oszlopait, törött sornak valamely nagy oszlopban lévő 3 kis négyzet ugyanannyiadik kis sorait, pozíciónak pedig a 9 kis négyzet mindegyikében egy rögzített sorszámú kis sor és egy rögzített sorszámú kis oszlop metszetét. A törött sorok, törött oszlopok és pozíciók tehát 9-9 mezőt tartalmaznak. A 3. ábrán látható sudoku megoldásra az is igaz, hogy 1-től 9-ig minden szám pontosan egyszer fordul elő minden törött sorban, törött oszlopban és pozícióban. Az ilyen kitöltést szép megoldásnak nevezzük. A továbbiakban célunk az összes szép megoldás megadása. Ehhez először koordinátákkal látjuk el a sudoku tábla mezőit. Számozzuk meg $\mathrm{0,1,2}$-vel a nagy sorokat, az egyes nagy sorokon belül a sorokat, a nagy oszlopokat és az egyes nagy oszlopokon belül az oszlopokat a 4. ábrán látható módon fentről lefelé, illetve balról jobbra.     4. ábra   Ekkor minden mezőhöz egy-egy 4 hosszú, a 0, 1, 2 számjegyeket tartalmazó számnégyest rendelhetünk. Az első számjegy legyen a mezőt tartalmazó nagy sorhoz, a második a sorhoz, a harmadik a nagy oszlophoz, a negyedik pedig az oszlophoz rendelt szám. (A 4. ábrán megjelölt mezőhöz tehát az $\left(\mathrm{1,2,0,1}\right)$ számnégyest rendeljük.) Így a 81 mezőt megfeleltetjük a 81 db 4 hosszú 0‐1‐2 számokból álló számnégyesnek. A továbbiakban ezeket a számnégyeseket (a lineáris algebrában megszokott módon) vektoroknak nevezzük, és leírásukra az $\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}=\left(x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}{x}_3\mathrm{,}{x}_4\right)$ jelölést használjuk. Speciálisan $\text{0}$$=\left(\mathrm{0,0,0,0}\right)$. Értelmezzük két vektor összegét és egy vektor egész számszorosát úgy, ahogy az elemi geometriában a szokásos vektorok esetén megszoktuk, azaz legyen $\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}=\left(x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}{x}_3\mathrm{,}{x}_4\right)$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">y</span>}=\left(y_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{y}_3\mathrm{,}{y}_4\right)$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">y</span>}=\left(x_1+y_1\mathrm{,}{x}_2+y_2\mathrm{,}{x}_3+y_3\mathrm{,}{x}_4+y_4\right)\mathrm{,}}\end{array}$ valamint tetszőleges $\alpha$ egész szám esetén $\alpha \text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}=\left(\alpha x_1\mathrm{,}\alpha x_2\mathrm{,}\alpha x_3\mathrm{,}\alpha x_4\right)$. Az összeadást és a szorzást persze modulo 3 végezzük, azaz az egész számok helyett csak azok hármas maradékát tekintjük. Tehát pl. $-1=2$, $1+2=0$ és $2+2=2\cdot 2=1$. Tetszőleges ${\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_1\mathrm{,}{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_k$ vektorok és ${\alpha }_1\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\alpha }_k$ egész számok esetén az ${\alpha }_1{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_1+{\alpha }_2{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_2+\text{...}+{\alpha }_k{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_k$ vektort az ${\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_1\mathrm{,}{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_k$ vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Ha az ${\alpha }_1{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_1+{\alpha }_2{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_2+\text{...}+{\alpha }_k{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_k=\text{<span style="font-weight: bold;">0</span>}$ egyenlőségből következik, hogy ${\alpha }_1={\alpha }_2=\text{...}={\alpha }_k=0$, akkor az ${\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_1\mathrm{,}{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}}_k$ vektorokat lineárisan függetleneknek, egyébként pedig lineárisan összefüggőeknek nevezzük. Legyenek $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\ne \text{<span style="font-weight: bold;">0</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$ tetszőleges vektorok. Ekkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\text{E}}_{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}}=\left\{\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}+\alpha \text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mid \alpha =\mathrm{0,1,2}\right\}}\end{array}$ halmazt a $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$-n átmenő $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}$ irányú egyenesnek nevezzük. Legyenek $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}$, $\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$ tetszőleges vektorok, melyek közül $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ lineárisan függetlenek. Ekkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\text{S}}_{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}}=\left\{\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}+\alpha \text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\beta \text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mid \alpha \mathrm{,}\beta =\mathrm{0,1,2}\right\}}\end{array}$ halmazt a $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$-n átmenő $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ által meghatározott síknak nevezzük. Legyenek $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}$, $\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$, $\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$ tetszőleges vektorok, melyek közül $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}$ lineárisan függetlenek. Ekkor a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\text{H}}_{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}}=\left\{\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}+\alpha \text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\beta \text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\gamma \text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\mid \alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}\gamma =\mathrm{0,1,2}\right\}}\end{array}$ halmazt a $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$-n átmenő $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}$, $\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}$ által meghatározott hipersíknak nevezzük. Jelölje $\text{N}$ a 81 darab vektor által alkotott halmazt. $\text{N}$ elemeit pontoknak nevezzük, az előzőekben definiált egyenesekkel, síkokkal és hipersíkokkal együtt pedig $\text{N}$ a háromelemű test feletti négydimenziós affin tér. Itt most ennek csak a legfontosabb tulajdonságait ismertetjük, az érdeklődő olvasó a részleteket megtalálja a [4] könyvben. Tetszőleges $\text{C}\subset \text{N}$ vektorhalmaz és tetszőleges $\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}$ vektor esetén legyen $\text{C}+\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}=\left\{\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}\mid \text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\in \text{C}\right\}$. Ezt a halmazt a $\text{C}$  $\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}$ vektorral való eltoltjának nevezzük. Az egyeneseket egy-, a síkokat két-, a hipersíkokat pedig háromdimenziós affin altereknek hívjuk. Azt mondjuk, hogy az ${\text{A}}_1$ és ${\text{A}}_2$ affin alterek párhuzamosak, ha van olyan $\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}$ vektor, melyre ${\text{A}}_1={\text{A}}_2+\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}$ teljesül. Egyszerűen meggondolható, hogy az affin alterek rendelkeznek a ,,szokásos'' euklidészi geometriából megismert tulajdonságokkal: $•$ Két különböző ponthoz pontosan egy olyan egyenes van, amely mindkét pontot tartalmazza. $•$ Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor pontosan egy olyan sík van, amely mindhárom pontot tartalmazza. $•$ Ha adott a $P$ pont és az $\text{A}$ affin altér, akkor pontosan egy $P$-n átmenő, $\text{A}$-val párhuzamos affin altér létezik. $•$ Ha valamely $\text{A}$ affin altér tartalmazza egy $\text{E}$ egyenes két különböző, vagy egy $\text{S}$ sík három nem kollineáris pontját, akkor $\text{A}$ tartalmazza $\text{E}$, illetve $\text{S}$ minden pontját. $•$ Ha az ${\text{S}}_1$ és ${\text{S}}_2$ síkok nem párhuzamosak, akkor vagy pontosan egy közös pontjuk van, s ekkor ${\text{S}}_1$ bármely eltoltjának is pontosan egy közös pontja van ${\text{S}}_2$ bármely eltoltjával; vagy pedig metszetük egy egyenes, s ekkor pontosan egy olyan hipersík van, mely ${\text{S}}_1$-et is és ${\text{S}}_2$-t is tartalmazza. Ezen kívül persze olyan tulajdonságaik is vannak, melyek a modulo 3 számolásból adódnak: $•$ Minden egyenesen 3 pont van. $•$ Minden síkon 9 pont és 12 egyenes van. $•$ Minden hipersíkban 27 pont, 117 egyenes és 39 sík van. Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítását feladatnak hagyjuk. Segítségként megadjuk $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}=\left(\mathrm{1,0,0,0}\right)$ és $\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}=\left(\mathrm{0,1,0,0}\right)$ esetén az ${\text{S}}_{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">0</span>}}$ sík egy lehetséges leírását. A véges affin síkokról részletesen olvashatunk a lapunk 2006. decemberi számában megjelent [3] cikkben, vagy a [4] könyvben. Mivel ${\text{S}}_{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">0</span>}}$ minden pontjának harmadik és negyedik koordinátája 0, azért csak az első és a második koordinátákat adjuk meg. A síkot legegyszerűbben egy derékszögű koordináta-rendszerrel ellátott klasszikus euklidészi sík mintájára képzelhetjük el, csak most a valós számok helyett a $\left\{\mathrm{0,1,2}\right\}$ halmaz elemeivel koordinátázunk és modulo 3 számolunk. A sík pontjai az olyan rendezett $\left(a\mathrm{,}b\right)$ párok, ahol $a\mathrm{,}b\in \left\{\mathrm{0,1,2}\right\}$ (a klasszikus esetben a sík pontjai a valós számokból készített rendezett pároknak felelnek meg). Az egyenesek kétfélék: egyrészt az $\left[m\mathrm{,}d\right]$ típusú rendezett párok, ahol $m\mathrm{,}d\in \left\{\mathrm{0,1,2}\right\}$, másrészt a $\left[c\right]$ típusú elemek, ahol $c\in \left\{\mathrm{0,1,2}\right\}$ (a klasszikus esetben a sík nem függőleges egyenesei egyértelműen megadhatók $m$ meredekségükkel és azzal a $\left(\mathrm{0,}d\right)$ ponttal, ahol az $Y$ tengelyt metszik, míg a függőleges egyenesek egyértelműen leírhatók azzal a $\left(c\mathrm{,0}\right)$ ponttal, ahol az $X$ tengelyt metszik). Két egyenes párhuzamos, ha mindkettő $\left[c\right]$ típusú, vagy ha mindkettő $\left[m\mathrm{,}d\right]$ típusú és a két egyeneshez tartozó $m$ értékek megegyeznek. Az $\left(a\mathrm{,}b\right)$ pont akkor és csak akkor van rajta az $\left[m\mathrm{,}d\right]$ egyenesen, ha teljesül, hogy $b\equiv ma+d\left(\text{mod }3\right)$ (azaz az $ma+d$ szám 3-mal osztva $b$-t ad maradékul), a $\left[c\right]$ egyenesen pedig pontosan akkor, ha $a=c$. A klasszikus esethez hasonlóan azt mondjuk, hogy az $\left[m\mathrm{,}d\right]$ egyenes egyenlete $Y=mX+d$, illetve a $\left[c\right]$ egyenes egyenlete $X=c$. A síkon tehát $3\cdot 3=9$ pont és $3\cdot 3+3=12$ egyenes van. Az 5. ábrán ${\text{S}}_{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">0</span>}}$ pontjai koordinátáikkal, egyenesei pedig (amik persze az ábrán nem rajzolhatók meg úgy, mint az euklidészi sík egyenesei) egyenletükkel együtt szerepelnek.     5. ábra   Irodalomjegyzék   [1] Bailey, R., Cameron, P. J. és Connelly, R.: Sudoku, gerechte designs, resolutions, affine space, reguli and Hamming codes, Amer. Math. Monthly (2008), 383‐404. [2] Dénes, J. és Keedwell, A. D.: Latin Squares and their Applications, Akadémiai Kiadó (Budapest, 1974). [3] Kiss Gy.: Hogyan szervezzünk körmérkőzéses focibajnokságot? KöMaL, 56 (2006), 514‐525. [4] Kiss Gy. és Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó (Szeged, 2001). 1A cikk elkészítését az NK 67867 és a K 81310 számú OTKA pályázat támogatta.