A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: | | (11 pont)
Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartományát megvizsgálva kapjuk, hogy (ez a legerősebb feltétel, a logaritmus értelmezése miatt). Mivel egész szám, azért . Másrészt mivel a bal oldalon minden tag nemnegatív, azért , hiszen esetén már nagyobb 2010-nél (és a szigorú monoton növekedése miatt értéke 5-nél nagyobb -ekre még nagyobb lesz). Vagyis csak és jöhet szóba, ezek közül behelyettesítéssel adódik, hogy az egyenlet egyetlen egész gyöke .
2. Egy háromszög egyik oldala , a rajta fekvő két szög és . Számítsuk ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy a háromszöget megforgatjuk a leghosszabb oldala körül. (12 pont)
Megoldás. A megadott szögek alapján , így a leghosszabb az oldal, ekörül forgatjuk meg a háromszöget. A keletkező forgástestet tekinthetjük két, közös alapkörű forgáskúpnak, ahol az alapkör sugara a háromszög oldalához tartozó magassága lesz. A háromszög területét kétféleképpen felírva: | | A kúpok magasságát -gyel és -vel jelölve térfogatuk: | | A kérdezett térfogat: .
3. Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeit. egyenlőtlenség egész gyökei; -nál kisebb pozitív egészek, melyeknek legalább 4 db osztójuk van; A számjegyek összegének lehetséges értékei az olyan háromjegyű számokban, amelyeknek a számjegyei számtani sorozatot alkotnak. Adjuk meg a halmaz elemeit. (14 pont)
Megoldás. Az halmaz esetén a logaritmus definíciója szerint és , vagyis: | | A szöveg szerint: | |
A halmaznál mivel a számjegyek összege a középső számjegy 3-szorosa, azért a halmaz elemei 3-mal oszthatók. A legkisebb a 3 lehet, a legnagyobb pedig a 27 (amelyek között mindegyik elő is fordulhat megfelelő számjegyek összegeként), vagyis: | |
A kapott halmazok alapján:
4. A mely elemeire igaz, hogy , és egy mértani sorozat szomszédos elemei ebben a sorrendben? (14 pont)
Megoldás. Mivel a mértani sorozat tagjai között nem lehet 0, azért , és , azaz , ahol . A mértani sorozatban a középső tag négyzete egyenlő két szomszédjának szorzatával, ezért . Ebből | | A kikötés miatt oszthatunk -szel, majd rendezés után (felhasználva, hogy kapjuk, hogy . Ennek gyökei: és . (A nyilván nem lehet megoldás.) , amiből . Ezek közül csak esetben esik a gyök a -ba. , amiből . Ezek közül és esetben esnek a gyökök a -ba. Tehát a feladat három megoldása: , és . Ellenőrizhető, hogy a kapott értékek valóban megfelelnek a feladat feltételeinek.
II. rész 5. Az pont illeszkedik az a pont pedig az egyenletű egyenesre. Határozzuk meg az és pontok koordinátáit, ha az szakasz felezőpontja . (16 pont)
Megoldás. Az egyenest tükrözve az pontra, az pont a -be kerül. Ezért ha az egyenest tükrözzük -re, akkor a tükörkép az egyenest -ben fogja metszeni. Felírjuk az egyenesnek -re vonatkozó tükörképének egyenletét. Ehhez vesszük két tetszőleges pontját, pl. és , ezek -re vonatkozó tükörképei és , a rajtuk áthaladó egyenes egyenlete . Kiszámítjuk és metszéspontjának koordinátáit. Megoldva az és az egyenleteiből álló egyenletrendszert kapjuk, hogy . pontnak -re való tükörképe adja: .
6. Határozzuk meg a és pontok koordinátáit, ha az függvény inflexiós pontja, első koordinátája lokális maximumhelye, második koordinátája pedig a lokális maximum értéke. Írjuk fel a másodfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha képének tengelypontja a pont és a grafikon áthalad a ponton is. Számítsuk ki a két függvény grafikonja által közrefogott és csúcsokkal rendelkező síkidom területét. (16 pont)
Megoldás. , ennek zérushelyei és 3. Mivel az függvény (a harmadfokú tag pozitív együtthatója miatt) az első lokális szélsőértékig növekvő, azért a lokális maximumhely. A pont második koordinátáját pedig behelyettesítéssel kapjuk: . , ennek zérushelye 1, ez első koordinátája. A második pedig Tehát , . Mivel a parabola tengelypontja , hozzárendelési szabálya: alakú (). Behelyettesítve koordinátáit: , amiből . Tehát , azaz . A kérdezett terület: | |
Bár nem volt feladat ábrázolni, a két függvény grafikonja (illetve azok egy részlete) így néz ki:
7. Néhány egybevágó, egység élű kocka 3-3 lapját befestjük pirosra, mindegyik kockát egyformán, úgy, hogy egy közös csúcsban találkozó három lap legyen színes. ilyen kockából egy -es nagyobb kockát építünk úgy, hogy a kis kockákat véletlenszerűen helyezzük egymásra.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nagy kocka minden lapja (teljesen) piros? Mekkora lenne ez a valószínűség, ha kis kockából -as nagy kockát építünk? Az összerakott -as kockát szétvágjuk a síkkal ( az él, a él ábra szerinti harmadoló pontja), majd az egész építményt lebontjuk. Az így kapott testek közül azonos valószínűséggel, véletlenszerűen választunk egyet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy kis kockát választunk? (16 pont)
Megoldás. Egy kockát összesen 24-féleképpen helyezhetünk el (pl. bármelyik lapja lehet alul és ezután 4-féle helyzetbe forgathatjuk). Ahhoz, hogy a -es nagy kocka minden lapja piros legyen, minden kis kockának úgy kell állnia, hogy a 3 beszínezett lapja legyen kívül. Ez a 24 esetből 3-szor teljesül (a kis kockáknak a 3 piros lap találkozásánál levő csúcsa meghatározott és ezután 3-féle helyzetbe forgathatjuk). Tehát annak esélye, hogy egy kis kocka jó helyzetben áll: a teljes kocka esetén a valószínűség Az részhez hasonlóan a nagy kocka 8 csúcsában levő kis kocka valószínűséggel áll jó helyzetben. Azok a kis kockák, amelyek a nagy kocka lapjainak közepénél vannak, valószínűséggel állnak jó helyzetben (6 ilyen kis kocka van), a nagy kocka éleinek közepén levő kis kockák (ilyenből 12 van) pedig valószínűséggel (a 24 esetből 6-ban). A nagy kocka közepén álló kis kocka nyilván tetszőleges helyzetben lehet, vele nem kell foglalkozni. A keresett valószínűség tehát | |
A sík összesen 12 kis kockát szel ketté (a felső szinten 3-at, a középsőn 6-ot, az alsón 3-at). Ezért a lebontás után marad kis kocka és még nem kocka alakú test. Annak valószínűsége tehát, hogy kis kockát választunk:
8. Az , függvény grafikonjának mely pontja van a legközelebb, illetve a legtávolabb a ponthoz? (16 pont)
Megoldás. A függvényt célszerű ábrázolni, bontsuk lineáris függvényekre:
A -hez legközelebbi pontot megkaphatjuk, ha merőlegeseket bocsátunk a grafikon egyes darabjaira. A távolság , a távolság , tehát a ponthoz legközelebb az pont van. A -től legtávolabbi pont meghatározásához számoljuk ki a töröttvonal két végpontjának, illetve az ábrán -vel jelölt pontnak -től való távolságát. A és a pont -től egyaránt távolságra van, de a pont nem tartozik a függvény grafikonjához. Az pont távolságra van -től, azaz a legtávolabbi pont: .
9. Két szomszédos természetes szám, Nagyobb (N) és Kisebb (K) beszélgetnek: K: Nekem osztóm van. N: Nekem több. K: A számjegyeim összege . N: Nekem kevesebb. K: Pontosan két egyforma számjegyem van. N: Nekem is! Melyik ez a két szám? (16 pont)
Megoldás. Az, hogy a nagyobb számban kisebb a számjegyek összege, csak úgy lehet, hogy a kisebb szám 9-re végződik (egyébként a nagyobb számban 1-gyel nagyobb lenne a számjegyek összege). Ekkor a nagyobb számban a számjegyek összege csak lehet, hiszen az egyesek helyén 9 helyett 0 fog állni, a tízesek helyén álló számjegy pedig 1-gyel nő. (Még csökkenhetne a számjegyek összege többel is, ha a kisebb szám 1-nél több 9-esre végződne, de esetünkben ez nem lehet, mert a számjegyeik összege 11.) A nagyobb szám tehát 0-ra végződik és 3 a számjegyeinek összege. Mivel a számnak pontosan 2 azonos számjegye van, ez csak úgy lehet, hogy van még egy darab 0, egy darab 1-es és egy 2-es számjegye. Két 0-ra a fentiek miatt nem végződhet a szám, ezért csak két lehetőség van: 1020 és 2010. A kisebb szám rendre 1019 és 2009 lenne. , tehát valóban 6 osztója van (és 2010-nek valóban ennél több), viszont 1019 prímszám, tehát nincs 6 osztója. Azaz a keresett két szám 2009 és 2010. |