Kezdőlap


Cím:	Az Eötvös- verseny 2. feladatához kapcsolódó feladat
Füzet:	1985/március, 139 - 140. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger fala (és a dugattyú rúdja) tökéletesen hőszigetelő. A dugattyú anyaga valamelyest hővezető. Kezdetben mindegyik térfélben 1‐1 mol hélium van $T_{0} = 273 K$ hőmérsékleten. A dugattyú igen lassú mozgatásával a henger bal oldali részének térfogatát $V_{0}$ ról $V_{1}'$ -re csökkentjük. Mennyi ezután a hélium hőmérséklete a hengerben? (Lásd az 1984. évi Eötvös-verseny 2. feladatát!)

Megoldás. Jelöljük az összenyomás során a bal oldali tartályban levő gáz adatait

p_{1}

V_{1}

T

-vel, a jobb oldaliban levőét

p_{2}

V_{2}

T

-vel! A termodinamika I. főtétele értelmében az összes hőközlés a folyamat rövid kis szakaszaiban nulla:

d E + p_{1} d V_{1} + p_{2} d V_{2} = 0

Az összesen 2 mol gáz energiaváltozása:

d E = 2 C_{V} d T

.
A nyomások:

p_{1} = \frac{R T}{V_{1}}

p_{2} = \frac{R T}{V_{2}}

, így első egyenletünk alakja a következő:

\begin{matrix} \frac{2 C_{V}}{R T} d T + \frac{1}{V_{1}} d V_{1} + \frac{1}{V_{2}} d V_{2} = 0. \end{matrix}

Az egész folyamat során ‐ miközben a bal oldali tartályban a gáz a

p_{1}'

V_{1}'

T'

, a jobb oldaliban pedig a

p_{2}'

V_{2}'

T'

állapotba kerül ‐ az összes hőközlés a következő:

\begin{matrix} \frac{2 C_{V}}{R} \int_{T_{0}}^{T'} \frac{1}{T} d T + \int_{V_{0}}^{V_{1}'} \frac{1}{V_{1}} d V + \int_{V_{0}}^{V_{2}'} \frac{1}{V_{2}} d V_{2} = 0. \end{matrix}

Az egyenletet átalakítva

\begin{matrix} ln {{(\frac{T'}{T_{0}})}^{2 C_{V} / R} \cdot \frac{V_{1}' V_{2}'}{V_{0}^{2}}} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(\frac{T'}{T_{0}})}^{2 C_{V} / R} \cdot \frac{V_{1}' V_{2}'}{V_{0}^{2}} = 1. \end{matrix}

V_{2}' = 2 V_{0} - V_{1}

, így a keresett hőmérséklet

\begin{matrix} T' = T_{0} {(\frac{V_{0}^{2}}{(2 V_{0} - V_{1}) V_{1}})}^{R / 2 C_{V}} . \end{matrix}

Ha a gázt eredeti térfogatának negyedére nyomjuk össze, hőmérséklete 359,6 K lesz.