A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Egy téglalap alakú halastó oldalai 120 m és 160 m hosszúságúak. A téglalap egyik átlója mentén ott vernek le egy cölöpöt, ahonnan a kisebbik oldal két vége derékszög alatt látszik. Milyen messze van a cölöp a halastó oldalaitól? (11 pont)
Megoldás. Legyen a cölöp távolsága a rövidebb oldaltól . Ekkor a cölöp távolsága a hosszabb oldaltól . A rövidebb oldal két végpontjától vett távolságot jelölje és .
Alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt három derékszögű háromszögre: és A két utóbbi egyenletből és értékét behelyettesítjük az első egyenletbe: Ennek megoldásai a 0 és az 57,6. A feladat szövege alapján nem lehet 0. Vagyis a cölöp 57,6 és 62,4 méterre van a halastó rövidebb oldalaitól és 43,2, illetve 116,8 méterre a hosszabb oldalaktól.
2. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: ; . (12 pont)
Megoldás. A gyökös kifejezés nem lehet negatív, így az egyenlőtlenség a teljes értelmezési tartományon teljesül, azaz akkor, ha . Vagyis a megoldás: vagy . Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért (ilyenkor is teljesül, a logaritmus értelmezett). A egy másodfokú egyenlőtlenség -re nézve. Innen , azaz vagy , azaz . Vagyis a megoldás: vagy .
3. Két iskola sakkozói versenyeztek egymással. Mindenki mindenkivel egyszer játszott. Először egy-egy iskolán belül bonyolították le a mérkőzéseket, és így összesen játszmára került sor. Amikor a két iskola tanulói mérkőztek egymással, akkor játékra került sor. Hány tanuló vett részt a versenyen iskolánként? (14 pont)
Megoldás. Legyen az iskolák versenyzőinek száma és . Ekkor az iskolákon belüli, és a két iskola tanulói közötti mérkőzések száma. Mivel a megoldásokat a pozitív egész számok körében keressük, így csak az 1‐42, 2‐21, 3‐14, 6‐7 számpárok jöhetnek szóba. Az első egyenletet átalakítva alakba behelyettesítve látható, hogy csak az , (vagy a fordított) számpár ad megoldást. Az egyik iskolából tehát 6, a másikból 7 tanuló vett részt a versenyen.
4. Antal elején 100 000 Ft-ot helyezett el egy bankban évi -os kamatra. Béla -től kezdve minden év elején forintot helyezett el szintén évi -os kamatra. A . év végén Antal és Béla betétje azonos értékre növekedett (-től -ig egyikük sem vett ki a betétjéből pénzt). Mennyi értéke 1000 Ft-ra kerekítve? (14 pont) Megoldás. Antal pénze minden év végén 20%-kal nőtt, tehát 1,2-szeresére változott. Az 5 év alatt Ft-ra nőtt. A Béla által minden év elején betett forintok 5, 4, 3, 2, 1 évig kamatoznak, így az ő pénze:
Mivel a két betét azonos értékű, így , vagyis Ft.
II. rész 5. Az deltoid szimmetriatengelye az átló, ahol és . A deltoid területe területegység. Az egyik átló az origótól számítva arányban osztja a másikat. Határozzuk meg a hiányzó csúcspontok koordinátáit. (16 pont)
Megoldás. Az átló hossza: miatt
Az és átló metszéspontja az átlót arányban osztja, ezért . Az pontban állítsunk merőlegest az átlóra: Az pont körül távolsággal rajzolt kör egyenlete: A két alakzat metszéspontjai lesznek a és a csúcsok. A hiányzó két csúcs tehát: , .
6. Forgassunk meg egy egyenlő szárú háromszöget egyik szára, majd az alapja körül. Jelölje , illetve az így keletkezett forgástestek térfogatát. Számítsuk ki a háromszög szögeit, ha . (16 pont) Megoldás. Ha az háromszöget az szára körül forgatjuk meg, akkor a keletkezett forgástest térfogata: Ha a alap körül forgatjuk: . A feladat feltételei alapján: A háromszög területét kétféle módon számolva tudjuk, hogy , vagyis | | Ugyanakkor az alapon fekvő szögre | | A háromszög szögei tehát: , és .
7. Adjuk meg azokat az ; ; számjegyeket, melyekre fennáll, hogy az egyjegyű , a kétjegyű és a háromjegyű pozitív számok egy mértani sorozat egymást követő elemei. Adjuk meg azokat az ; ; számjegyeket, melyekre fennáll, hogy az egyjegyű , a kétjegyű kétszerese és a háromjegyű pozitív számok egy számtani sorozat egymást követő elemei. (16 pont)
Megoldás. A mértani sorozat egymást követő elemeire: Így miatt . Tehát két eset lehet: és , illetve és . Csak az elsőnél adódik megoldás: , , . Valóban az 5, 25, 125 egy mértani sorozat egymást követő elemei. A számtani sorozat egymást követő elemeire: | | A bal oldal osztható öttel, ezért is osztható öttel és pozitív. Vagyis . Ekkor . A jobb oldal értéke 30-nál kisebb, ezért lehetséges értékei: 1 vagy 2. Ha , akkor . Ha , akkor nincs megfelelő . A megoldás: , , . Valóban az 5, , 135 egy számtani sorozat egymást követő elemei.
8. Egy lövész valószínűséggel találja el a célpontot. Mi a valószínűsége annak, hogy lövés közül legalább -szer célba talál? Legalább hány lövést kell leadnia ahhoz, hogy a célt -nál nagyobb valószínűséggel találja el? (16 pont)
Megoldás. | |
a valószínűsége annak, hogy nem talál célba és , hogy még lövésből sem talál célba. Az a kérdés, hogy ez mikor lesz -nál kisebb: . Ebből: | |
Tehát, ha a lövész legalább 4 lövést ad le, akkor -nál nagyobb valószínűséggel talál célba.
9. Adjuk meg az hozzárendeléssel megadott függvény grafikonját a -on. Adjuk meg az függvény értelmezési tartományát, értékkészletét, zérushelyeit, a függvény menetét, periódusát. (16 pont)
Megoldás. Mivel csak pozitív számnak van logaritmusa, azért | | Tehát a függvény értelmezési tartománya: | | Ezen feltételek mellett alakra hozható a függvény hozzárendelési szabálya. A függvény értékkészlete: , zérushelye nincs, minimuma nincs, maximuma 3, maximumhelyei , , periódusa . Szigorúan monoton nő a -on, szigorúan monoton csökken a -on, ahol . A függvény grafikonja a -on:
|