Cím:	Megoldásvázlatok a 2009/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2009/november, 469 - 477. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Legyen az $A$ halmaz az $a)$, a $B$ halmaz a $b)$ kifejezés értelmezési tartománya. $\begin{array}{c}{\displaystyle a)\text{log}{}_{x+5}\left(x^2-9x+14\right)\mathrm{,}b)\sqrt[]{\frac{10-x}{x^2+4}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ábrázoljuk számegyenesen a $B\setminus A$ halmaz elemeit.  (11 pont)   Megoldás. Az $a)$ részben szereplő kifejezés esetében a következő feltételeknek kell teljesülni: $x+5>0$, $x+5\ne 1$ és $x^2-9x+14>0$. Az első két feltételből $x>-5$ és $x\ne -4$. A másodfokú egyenlőtlenség zérushelyei: $x_1=2$, $x_2=7$, tehát az egyenlőtlenség megoldása: $x<2$ vagy $x>7$. Mindent összevetve: $A=\left]-5;-4\right]\cup \left]-4;2\right]\cup \left]7;\infty \right]$. Ezek után ábrázoljuk az $A$ halmaz elemeit a számegyenesen.     A $b)$ részben szereplő kifejezés esetében a $\frac{10-x}{x^2+4}\ge 0$ egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Mivel e tört nevezője minden $x$-re pozitív, így az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha $10-x\ge 0$, azaz $x\le 10$. Vagyis: $B=\left]-\infty ;10\right]$. A $B$ halmazt is ábrázoljuk a számegyenesen.     A $B\setminus A$ halmaz elemeit úgy kapjuk, hogy a $B$ halmaz elemei közül kiveszünk minden olyan elemet, mely $A$-nak is eleme. Tehát: $B\setminus A=\left]-\infty ;-5\right]\cup \left\{-4\right\}\cup \left[2;7\right]$. Számegyenesen ábrázolva:     2. Egy egyenes körhenger alakú zárt tartály alapkörének sugara 15 cm, magassága 60 cm. A tartályt vízszintes helyzetben két rúdra erősítették. A vízzel félig töltött tartály alján van egy $D$ dugó (lásd ábra). Ha ezt kihúzzák, akkor a tartály alá helyezett egyenes hasáb alakú felül nyitott edényekbe folyik a víz. Minden hasáb alapnégyzetének oldala 10 cm. Az első hasáb magassága 50 cm, a másodiké 49 cm, a harmadiké 48 cm és így tovább. Amikor az első hasáb megtelik, onnan átfolyik a másodikba, ha az is megtelik, akkor átfolyik a harmadikba stb.     Hány hasáb telik meg vízzel?  (12 pont)   Megoldás. A tartályban levő víz térfogata a tartály térfogatának a fele. $\begin{array}{c}{\displaystyle V_{\text{víz}}=\frac{r^2\pi m}{2}=\frac{{15}^2\pi \cdot 60}{2}\approx 21205\mathrm{,}75.}\end{array}$ Az edények térfogatát sorban kiszámoljuk: $V_{50}=5000$, $V_{49}=4900$, $V_{48}=4800$, $V_{47}=4700$, $V_{46}=4600$, $\text{...}$. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle 5000+4900+4800+4700=19400\text{és}5000+4900+4800+4700+4600=24\mathrm{000,}}\end{array}$ azért 4 db edény (az 50, 49, 48 és 47 cm magas) telik meg vízzel.   3. A négyzetszámokat ,,csomagokba'' helyezzük az alábbi módon: $1$. csomag: $\left(1\right)$, $2$. csomag: $\left(\mathrm{4,9}\right)$, $3$. csomag: $\left(\mathrm{16,25,36}\right)$, $4$. csomag: $\left(\mathrm{49,64,81,100}\right)$, stb. $a)$ Melyik számmal kezdődik a $16$. csomag? $b)$ Melyik csomagban szerepel a $8281$ négyzetszám?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ Az első csomagban 1, a másodikban 2, a harmadikban 3, stb. $\text{...}$, az $n$-edik csomagban $n$ darab négyzetszám szerepel. Így a 16. csomagban szereplő első szám az előtte szereplő 15 csomagban levő összes négyzetszámot követő első négyzetszám. Az első 15 csomagban levő számok száma: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+2+3+4+\text{...}+15=\frac{\left(1+15\right)\cdot 15}{2}=120.}\end{array}$ Ezek szerint a 16. csomag a 121. négyzetszámmal kezdődik, vagyis a csomagban szereplő első szám: ${121}^2=14641$. $b)$ A $k$-adik csomag első száma az előtte levő $k-1$ csomagban szereplő összes négyzetszámot követő első négyzetszám. Az első $k-1$ csomagban levő számok száma $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+2+3+\text{...}+\left(k-1\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ így a $k$-adik csomag a $\left(\frac{k\left(k-1\right)}{2}+1\right)$-edik négyzetszámmal, míg a $\left(k+1\right)$-edik csomag a $\left(\frac{k\left(k+1\right)}{2}+1\right)$-edik négyzetszámmal kezdődik. Ha a 8281 a $k$-adik csomagban van, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left[\frac{k\left(k-1\right)}{2}+1\right]}^2\le 8281<{\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}+1\right]}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Vonjunk négyzetgyököt az egyenlőtlenség-láncolat tagjaiból: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{k\left(k-1\right)}{2}+1\le 91<\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\mathrm{1,}\frac{k\left(k-1\right)}{2}\le 90<\frac{k\left(k+1\right)}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k\left(k-1\right)\le 180<k\left(k+1\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az egyenlőtlenség-láncolat két szélén egy-egy szomszédos egész szám szorzata szerepel. Kevés próbálkozással ‐ hogy ne kelljen a másodfokú egyenlőtlenségeket megoldanunk ‐ megkapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 13\cdot 12=156\le 180<13\cdot 14=182.}\end{array}$ Tehát $k=13$, vagyis a 8281 a 13. csomagban szerepel.   Megjegyzés. Bár nem tartozott a feladathoz, de érdekességként számoljuk ki, hogy a 8281 a 13. csomagnak hányadik tagja. A 13. csomagban 13 négyzetszám van és ‐ mint láttuk ‐ a $\frac{13\cdot 12}{2}+1=79$-edik négyzetszámmal kezdődik. Mivel a $8281={91}^2$, tehát a 91. négyzetszám, így a 8281 négyzetszám a 13. csomag utolsó tagja.   4. Anna és Csaba háza egy egyenes út mentén található. Egy alkalommal megbeszélték, hogy együtt mennek kerékpározni. Déli $12$ órakor a házaik közötti útszakasz egy olyan pontjában találkoztak, ahonnan egy biciklis körút indul.     Találkozáskor Anna napi átlagsebesség-mérője 23 km/h, Csabáé pedig 28 km/h átlagsebességet jelzett. (Ezen a napon délig mindketten csak erre az útra használták a kerékpárjukat.) A 26 km-es körutat $1$ óra alatt tették meg, ekkor a déli találkozási pontba visszaérve elbúcsúztak egymástól és mindketten hazamentek. A búcsúzáskor Anna átlagsebesség-mérője 25 km/h-t, Csabáé 27 km/h-t mutatott. Milyen messze lakik egymástól Anna és Csaba?  (14 pont)   Megoldás. Legyen $S_a$ és $t_a$ az Anna által a találkozásig megtett út, illetve a ráfordított idő. Ekkor átlagsebessége: $\frac{S_a}{t_a}=23$, vagyis $S_a=23t_a$. A találkozás után egy órát bicikliztek és 26 km utat tettek meg, így az átlagsebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{S_a+26}{t_a+1}=\mathrm{25,}\text{azaz}{S}_a+26=25t_a+25.}\end{array}$ Felhasználva az előbb $S_a$-ra kapott kifejezést: $\begin{array}{c}{\displaystyle 23t_a+26=25t_a+\mathrm{25,}\text{amiből}2t_a=\mathrm{1,}\text{azaz}{t}_a=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel számolva kapjuk, hogy $S_a=23\cdot \frac{1}{2}$. Tehát Anna a találkozásig 11,5 km utat tett meg. Most számoljuk ki azt, hogy Csaba mekkora utat tett meg a találkozásig. Ha ez az út $S_c$, a ráfordított idő $t_c$, akkor átlagsebessége $\frac{S_c}{t_c}=28$, vagyis $S_c=28t_c$. Az egy órás körút megtétele után napi átlagsebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{S_c+26}{t_c+1}=\mathrm{27,}\text{azaz}{S}_c+26=27t_c+27.}\end{array}$ Azt kaptuk Csaba esetében, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 28t_c+26=27t_c+\mathrm{27,}\text{ahonnan}{t}_c=\mathrm{1,}\text{továbbá}{S}_c=28.}\end{array}$ Vagyis Csaba a találkozásig 28 km utat tett meg. Ezek szerint Anna és Csaba 39,5 km-re lakik egymástól.   II. rész   5. Egy svájci kantonban olyan lottójáték van forgalomban, melynél az első $50$ pozitív egész számból kell $5$-öt eltalálni. Egy szenvedélyes lottózó először kiválasztja az első két számot, majd harmadiknak az első kettő összegét, negyediknek az első három összegét, végül ötödiknek az első négy szám összegét. $a)$ Legfeljebb mekkorának választhatja ez az ember a legkisebb számot? $b)$ Ha emberünk a legkisebb számot a lehető legnagyobbnak választja, akkor mely számok szerepelhetnek a kitöltött szelvényén? $c)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy emberünknek telitalálata lesz, ha a fenti eljárásnak megfelelően minden lehetséges módon kitölt egy-egy szelvényt?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Legyen a kiválasztott két szám $a$ és $b$ ($a<b$). Ekkor a lottószelvényen megjátszott számok: $a$, $b$, $a+b$, $2a+2b$, $4a+4b$. Mivel a megjátszható legnagyobb szám 50, azért $4a+4b\le 50$, azaz $a+b\le 12\mathrm{,}5$. Mivel $a<b$, azért ez csak úgy lehetséges, ha $a\le 5$. Tehát ilyen módon a megjátszható legkisebb szám legfeljebb 5 lehet. $b)$ Mivel a legkisebb megjátszható számok közül a legnagyobb 5, és $5+b\le 12$, azért a második szám értéke csak 6 vagy 7 lehet. Ezek szerint, ha emberünk a legkisebbnek kiválasztható számok közül a legnagyobbat, azaz az 5-öt választja, akkor az alábbi számokat játszhatja meg: 5, 6, 11, 22, 44 vagy 5, 7, 12, 24, 48. $c)$ Nézzük meg, hogy a kitöltési eljárás szerint hányfajta lottószelvényt lehet megjátszani. Ha a legkisebb kiválasztott szám az 5, akkor ‐ mint láttuk ‐ két szelvénnyel lehet játszani. Ha a legkisebb kiválasztott szám a 4, akkor a $4+b\le 12$ alapján $b$ értékei: 8, 7, 6 vagy 5. Ezek szerint ekkor négy szelvénnyel lehet játszani. Ha a legkisebb kiválasztott szám 3, akkor $b$ lehetséges értékei: 9, 8, 7, 6, 5 vagy 4. Így ez esetben hat szelvénnyel lehet játszani. Ha a kiválasztott legkisebb szám 2, akkor $b$ lehetséges értékei: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 vagy 3. Vagyis ekkor nyolc szelvénnyel lehet játszani. Ha a kiválasztott legkisebb szám 1, akkor $b$ lehetséges értékei: 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 vagy 2. Vagyis ekkor tíz szelvénnyel lehet játszani. Tehát: a megadott módon kitölthető lottószelvények száma: $2+4+6+8+10=30$. A kérdéses lottójátékban minden lehetséges módon kitölthető szelvények száma: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5}\right)=2118760.}\end{array}$ A megadott eljárással kitöltött összes szelvény között $\frac{30}{2118760}\approx 0\mathrm{,}00001416$ a valószínűsége a telitalálatnak.   6. Adott a $\left[0;9\right]$ intervallumon értelmezett $f\left(x\right)=2\sqrt[]{x}$ függvény. $a)$ Egy szabályos háromszög egyik csúcsa az origó, egy másik csúcsa az $x$ tengelyre, a harmadik csúcsa pedig az $f\left(x\right)$ függvény görbéjére illeszkedik. Mekkora e háromszög területe? $b)$ Egy téglalap egyik oldala az $x$ tengelyre, egy másik oldala az $x=9$ egyenesre, egy csúcsa pedig az $f\left(x\right)$ függvény görbéjére illeszkedik. Határozzuk meg a legnagyobb ilyen téglalap területét. $c)$ Az $f\left(x\right)$ függvénygörbe és az $x$ tengely közötti területet az $x=a$ egyenes felezi. Határozzuk meg az $a$ paraméter értékét.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Ha a szabályos háromszög $a$ oldalú, akkor az $x=\frac{a}{2}$ helyen felvett függvényérték egyenlő kell legyen e háromszög magasságával (1. ábra).     1. ábra   Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a\sqrt[]{3}}{2}=2\cdot \sqrt[]{\frac{a}{2}}\mathrm{,}\text{azaz}\frac{3a^2}{4}=\frac{4a}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan az egyedüli pozitív megoldás: $a=\frac{8}{3}$. A háromszög területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{\frac{64}{9}\sqrt[]{3}}{4}=\frac{16\sqrt[]{3}}{9}\approx 3\mathrm{,}08.}\end{array}$ $b)$ Legyen a téglalap egyik oldala az $x=x_0$ egyenesen. Ekkor a téglalap oldalainak hossza $9-x_0$ és $2\sqrt[]{x_0}$, ahol $0<x_0<9$ (2. ábra).     2. ábra   Ekkor a téglalap területe az $x_0$ függvényében: $\begin{array}{c}{\displaystyle T\left(x_0\right)=2\sqrt[]{x_0}\cdot \left(9-x_0\right)=18\sqrt[]{x_0}-2\sqrt[]{x_0^3}\mathrm{.}}\end{array}$ E függvénynek akkor lehet szélsőértéke, ha a deriváltja 0. $\begin{array}{c}{\displaystyle T\text{'}\left(x_0\right)=18\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt[]{x_0}}-2\cdot \frac{3}{2}\cdot \sqrt[]{x_0}=\frac{9}{\sqrt[]{x_0}}-3\sqrt[]{x_0}=\mathrm{0,}\text{azaz}\frac{9}{\sqrt[]{x_0}}=3\sqrt[]{x_0}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $x_0=3$. A $T\text{'}\left(x\right)=\frac{9}{\sqrt[]{x}}-3\sqrt[]{x}$ függvény $x=3$-ban előjelet váltva 0, hiszen $x<3$ esetén $T\text{'}\left(x\right)>0$, $x>3$ esetén pedig $T\text{'}\left(x\right)<0$. Mindez azt jelenti, hogy a $T\left(x\right)$ függvénynek $x=3-$ban valóban szélsőértéke, mégpedig maximuma van. Tehát a beírható legnagyobb területű téglalap területe: $2\sqrt[]{3}\cdot \left(9-3\right)=12\sqrt[]{3}$. $c)$ Ha az $x=a$ egyenes felezi a függvénygörbe és az $x$ tengely közötti területet, akkor ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2\cdot {\int }_0^{a}2\sqrt[]{x}dx={\int }_0^{9}2\sqrt[]{x}dx\mathrm{,}\text{azaz}2\cdot {\int }_0^a\sqrt[]{x}dx={\int }_0^9\sqrt[]{x}dx\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2\cdot {\left[\frac{2}{3}\cdot \sqrt[]{x^3}\right]}_0^a={\left[\frac{2}{3}\sqrt[]{x^3}\right]}_0^9\mathrm{,}\text{tehát}\frac{4}{3}\cdot \sqrt[]{a^3}=\frac{2}{3}\cdot \mathrm{27,}\text{azaz}\sqrt[]{a^3}=\frac{27}{2}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahonnan kapjuk az $a$ paraméter értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{9}{\sqrt[3]{4}}\approx 5\mathrm{,}67.}\end{array}$   7. Egy óbudai vendéglőben az egyenlő szárú háromszög alakú szalvétákat úgy hajtogatják, hogy az $ABC$ háromszög $AB$ alapjának $A$ csúcsa a $BC$ szár $F$ felezőpontjába kerüljön. Ekkor a hajtás élének egyik végpontja az $AC$ szár $C$-hez közelebbi $H$ harmadoló pontjába kerül.     Hová kerül a hajtás élének másik $\left(X\right)$ végpontja?  (16 pont)   Megoldás. Legyen az $ABC$ egyenlő szárú háromszög $AB$ alapja egységnyi, szárai pedig $b$ hosszúak, és legyen a $BX$ szakasz hossza $x$. A hajtogatás miatt $AX=XF=1-x$. Ha az $ABC$ háromszög alapján levő szögek nagysága $\alpha$, akkor $ACB\sphericalangle ={180}^{\circ }-2\alpha$. Írjuk föl először a $HFC$ háromszög $HF$ oldalára a koszinusztételt. Mivel $HC=\frac{1}{3}b$, $HF=\frac{2}{3}b$, $FC=\frac{1}{2}b$, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{2}{3}b\right)}^2={\left(\frac{1}{3}b\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}b\right)}^2-2\cdot \frac{1}{3}b\cdot \frac{1}{2}b\cdot \text{cos}\left({180}^{\circ }-2\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\left({180}^{\circ }-2\alpha \right)=-\text{cos}2\alpha =-\text{cos}{}^2\alpha +\text{sin}{}^2\alpha =-\text{cos}{}^2\alpha +1-\text{cos}{}^2\alpha =1-2\text{cos}{}^2\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ azért azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4b^2}{9}=\frac{b^2}{9}+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{3}+\frac{2b^2}{3}\text{cos}{}^2\alpha \mathrm{,}\text{azaz}\frac{4}{9}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\text{cos}{}^2\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\text{cos}{}^2\alpha =\frac{5}{8}$, $\text{cos}\alpha =\frac{\sqrt[]{5}}{2\sqrt[]{2}}$ (negatív nem lehet, mert $\alpha$ hegyesszög). Az $ABC$ háromszögben pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{\frac{1}{2}}{b}=\frac{1}{2b}\mathrm{,}\text{így}\frac{1}{2b}=\frac{\sqrt[]{5}}{2\sqrt[]{2}}\mathrm{,}\text{vagyis}b=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{5}}\mathrm{.}}\end{array}$ Most írjuk fel a koszinusztételt az $FBX$ háromszög $FX$ oldalára is. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(1-x\right)}^2=x^2+{\left(\frac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{5}}\right)}^2-2x\cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{5}}\cdot \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1-2x+x^2=x^2+\frac{1}{10}-2x\cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{5}}\cdot \frac{\sqrt[]{5}}{2\sqrt[]{2}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{9}{10}-2x=-\frac{x}{2}\mathrm{,}\text{azaz}\frac{9}{10}=\frac{3}{2}x\mathrm{,}\text{ahonnan}x=\frac{3}{5}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Azt kaptuk, hogy az $ABC$ háromszög $AB$ alapján $BX=\frac{3}{5}$, $AX=\frac{2}{5}$, tehát a hajtás szélének másik végpontja az $AB$ oldalnak az $A$ csúcshoz közelebbi $3:2$ arányú osztópontja lesz.   8. Karcsi meglátott a kirakatban egy igen kedvező árú sportcipőt. Bement, hogy megvásárolja, de legnagyobb megdöbbenésére a pénztárnál a kirakatban látott ár négyszeresét akarták fizettetni vele. Kiderült, hogy a kirakatrendező a cipő árát jelző négyjegyű szám számjegyeit véletlenül fordított sorrendben írta ki. Mennyibe került a sportcipő?  (16 pont)   Megoldás. Ha a cipő ára $\overline{abcd}$ négyjegyű szám, akkor Pisti a kirakatban a $\overline{dcba}$ négyjegyű számot látta. A feltételek szerint $\overline{abcd}=4\cdot \overline{dcba}$. A kapott egyenlőség jobb oldalán páros szám áll, így a bal oldalnak is párosnak kell lennie, azaz $d$ páros számjegy. Az is biztos, hogy $d\le 2$. Ha ugyanis $d>2$ lenne, akkor az egyenlet jobb oldalán már ötjegyű szám szerepelne, ami nem lehet egyenlő egy négyjegyű számmal. Mindebből az következik, hogy csak a $d=2$ lehetséges. Ekkor $\overline{abc2}=4\cdot \overline{2cba}$. Most azt látjuk, hogy az egyenlet jobb oldalának értéke 8000-nél nagyobb. Ez azt jelenti, hogy $a$ értéke 8 vagy 9. Mivel a jobb oldali szám utolsó jegyét, az $a$-t 4-gyel kell szorozni, és ennek a szorzatnak az utolsó jegye 2 lesz (a bal oldalon 2 az utolsó jegy), ezért csak $a=8$ lehet. Vagyis $\overline{8bc2}=4\cdot \overline{2cb8}$. Írjuk ki részletesen ez utóbbi egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 8000+100b+10c+2}& {\displaystyle =4\cdot \left(2000+100c+10b+8\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8002+100b+10c}& {\displaystyle =8032+400c+40b\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 60b}& {\displaystyle =30+390c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2b}& {\displaystyle =1+13c\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel a kapott egyenlet bal oldalának értéke legfeljebb 18, ezért a jobb oldalon $c$ értéke csak 1 lehet ($c=0$ nem lehetséges, hiszen ekkor $b$-re nem kapnánk egész számot). Ha $c=1$, akkor $2b=14$, ahonnan $b=7$. Azt kaptuk tehát, hogy $a=8$, $b=7$, $c=1$, $d=2$. A cipő ára 8712 Ft. (A kirakatban 2178 Ft szerepelt, és valóban: $8712=4\cdot 2178$.)   9. $a)$ Az $ABC$ háromszög oldalai $10$, $12$ és 15 cm hosszúak. Az oldalakon (az oldalak végpontjait kivéve) minden egész cm helyen megjelöltük a pontokat. Ezután képeztük az összes olyan háromszöget, melynek csúcspontjai a megjelölt pontok közül valók. Hány darab ilyen háromszöget képezhetünk? $b)$ A $PQR$ szabályos háromszög oldalai $n$ cm hosszúak, ahol $n>2$ egész szám. Az oldalakon (az oldalak végpontjait kivéve) minden egész cm helyen megjelöltük a pontokat. Ezután képeztük az összes olyan háromszöget, melynek csúcspontjai a kijelölt pontok közül valók, majd képeztük az összes olyan négyszöget, melynek két csúcsa egy oldalon, másik két csúcsa pedig a háromszög másik, illetve a harmadik oldalának kijelölt pontjai közül való. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből?  (16 pont)     Megoldás. $a)$ Ha a háromszög oldalainak egész értékeinél (a végpontokat kivéve) helyeztünk el egy-egy pontot, akkor a háromszög egyes oldalain elhelyezett pontok száma 14, 11 és 9. Legyen $AB=15$, $BC=10$ és $AC=12$.     Ha a háromszög két csúcsát az $AB$ oldalról választottuk, akkor ezt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{2}\right)$-féleképpen tehettük meg. Ekkor a harmadik pont vagy az $AC$ oldalon, vagy a $BC$ oldalon van, így a harmadik pont választására 20 lehetőségünk van, tehát a háromszögek szám: $20\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{2}\right)$. Hasonlóképpen adódik a háromszögek száma, ha a háromszög két csúcsát az $AC$ oldalról választjuk: $23\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)$. Ha pedig a $BC$ oldalról választjuk a két pontot, akkor a háromszögek száma: $25\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)$. Ha mindhárom oldalról egy-egy csúcsot választunk, akkor a háromszögek száma: $14\cdot 11\cdot 9$. Összeadva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{2}\right)\cdot 20+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)\cdot 23+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)\cdot 25+14\cdot 11\cdot 9=5371.}\end{array}$ Tehát a képezhető háromszögek száma 5371. $b)$ Az $n$ oldalú $\left(n>2\right)$ szabályos háromszög minden oldalán $n-1$ db pontot jelöltünk meg. Számoljuk össze a képezhető háromszögek és négyszögek számát. Kezdjük a háromszögekkel. Ha valamelyik oldalra két csúcsot teszünk, akkor azt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)$-féleképpen választhatjuk ki. A harmadik csúcs valamelyik másik oldalon kell, hogy legyen, vagyis $2\left(n-1\right)$ pont közül választható. Azt az oldalt, amelyiken két csúcs lesz, háromféleképpen választhatjuk ki, így e háromszögek száma: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\cdot 2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)\cdot \left(n-1\right)=3\cdot \left(n-2\right){\left(n-1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az olyan háromszögek száma, ahol mindhárom csúcs különböző oldalon van: ${\left(n-1\right)}^3$. Tehát az összes képezhető háromszögek száma: $3\left(n-2\right){\left(n-1\right)}^2+{\left(n-1\right)}^3$. Most számoljuk össze a képezhető négyszögeket. Arról az oldalról, melyen a négyszögnek két csúcsa van a csúcsokat $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)$-féleképpen választhatjuk ki. A másik két csúcs közül egy-egy a másik két oldalon van. Mivel a kétcsúcsú oldalt 3-féleképpen választhatjuk ki, ezért az összes képezhető négyszögek száma $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)\cdot {\left(n-1\right)}^2=3\cdot \frac{\left(n-2\right){\left(n-1\right)}^3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Vizsgáljuk meg, milyen $n$-re lesz több négyszög, mint háromszög. Tekintsük az alábbi egyenlőtlenséget: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3\cdot \frac{\left(n-2\right){\left(n-1\right)}^3}{2}}& {\displaystyle \ge 3\left(n-2\right){\left(n-1\right)}^2+{\left(n-1\right)}^3\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3\cdot \frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}{2}}& {\displaystyle \ge 3\left(n-2\right)+n-\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3\left(n^2-3n+2\right)}& {\displaystyle \ge 8n-\mathrm{14,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3n^2-17n+20}& {\displaystyle \ge 0.}\hfill \end{array}}$ A kapott másodfokú kifejezés zérushelyei: $\begin{array}{c}{\displaystyle n_{\mathrm{1,2}}=\frac{17\pm \sqrt[]{289-240}}{6}=\frac{17\pm 7}{6}\mathrm{,}\text{azaz}{n}_1=\frac{5}{3}\mathrm{,}{n}_2=4.}\end{array}$ Tehát az egyenlőtlenség megoldása: $n\le \frac{5}{3}$ vagy $n\ge 4$. A következőre jutottunk: ha $n=3$, akkor háromszögből van több; ha $n=4$, akkor ugyanannyi háromszög képezhető, mint négyszög, végül, ha $n>4$, akkor négyszögből több van, mint háromszögből.