A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A népszerű TOTÓ játékban focimeccs eredményét kell megtippelni. Nem a pontos végeredményt kell eltalálni, hanem csak azt, hogy a két csapat közül melyik nyer. Ha az otthon játszó csapat győz, akkor a helyes tipp 1, ha a vendégcsapat, akkor 2, ha pedig a meccs döntetlen, akkor . A 14. meccs eredményét csak akkor veszik figyelembe, ha az első 13 meccs mindegyikére helyes tippet adtunk. A játék szervezője minden héten kijelöli azokat a meccseket, melyek kimenetelére tippelni kell. A játék résztvevői tippeket, azaz az jelekből álló hosszú sorozatokat készítenek. Minden tippért egy előre meghatározott összeget fizetnek a szervezőnek (a magyarországi játékban jelenleg 40 Ft-ot). Miután lejátszották a meccseket, a szervező a tippekért beszedett pénz egy részét (Magyarországon kb. 50% -át) kiosztja azon játékosok közt, akik a legpontosabb előrejelzéseket adták. Általában a telitalálattal, tehát ha valaki mind a 14 meccs kimenetelét eltalálta, jelentős összeget lehet nyerni, 10-nél kevesebb találatért viszont már nem jár pénz. (A cikk írását megelőző hétvégén, 2007. április 1-jén pl. a , 13, 12, 11 és 10 találatos szelvények nyereménye rendre 347 582, 95 065, 4 440, 508 és 170 Ft volt.) Miután a szervező a játékosok által befizetett pénznek csak egy részét osztja szét nyereményként, ezért nyilván érdemesebb szervezőnek lenni, mint játékosnak. Ezen a módon azonban Magyarországon nem nyerhetünk a TOTÓ-n, mert a szervezés állami monopólium. Játékosként több lehetőség kínálkozik. Megpróbálhatunk némi pénzt adni az egyes csapatok csatárainak, hogy játsszanak az átlagosnál jobban, esetleg néhány kapust próbálhatunk arra rávenni, hogy játsszon a szokásosnál gyengébben, vagy némelyik bírót kérhetjük meg arra, hogy érdekeinknek megfelelően fújjon. Ezek azonban sportszerűtlen dolgok. Ebben a cikkben arra mutatunk néhány módszert, hogy ha a mérkőzések lehetséges kimenetelei egyforma valószínűségűek, akkor hogyan érhetünk el biztosan előre meghatározott számú találatot a lehető legkevesebb tippel. A továbbiakban a döntetlen kimenetelt helyett 0-val jelöljük. Feladatunkat tehát kicsit általánosabb formában a következőképp fogalmazhatjuk meg:
Legyenek és rögzített természetes számok. Tekintsük az hosszú jegyekből álló sorozatok halmazát. Adjuk meg azt a lehető legkisebb elemszámú részhalmazt, melyre igaz, hogy bármely eleméhez van olyan -beli elem, amely -től legfeljebb helyen tér el. Áttérve a matematikában szokásos elnevezésekre és jelölésekre, elemeit vektoroknak, az sorozat -edik elemét, -t pedig a vektor -edik koordinátájának nevezzük, és az jelölést használjuk.
2. A Hamming-távolság Azt, hogy egy tippben hány hiba van, az adja meg, hogy hány olyan koordinátája van a tippvektornak, ami eltér az eredményvektor megfelelő koordinátájától. Ezért természetes módon adódik a következő definíció az -beli elemek egymástól való eltérésének mérésére:
Definíció. Az | | -beli elemek Hamming-távolsága, azon indexek száma, melyekre teljesül.
Az így mért eltérést azért nevezik távolságnak, mert rendelkezik a geometriából ismert ,,szokásos'' távolság legfontosabb tulajdonságaival. Ezeket a következő állításban foglaljuk össze.
1. állítás. Tetszőleges vektorok Hamming-távolságára 1. | , és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha . |
(Állításunkat röviden úgy mondják, hogy az halmaz a Hamming-távolsággal ellátva metrikus teret alkot.)
Bizonyítás. Az 1. és a 2. állítás nyilvánvalóan adódik a definícióból. A 3. állítást háromszög-egyenlőtlenségnek nevezik, mert formálisan megegyezik az elemi geometriából ismert, ugyanígy nevezett állítással. Ha , akkor pontosan darab olyan koordinátája van -nek és -nek, amelyek különböznek. Tekintsük -nak az ugyanilyen indexű koordinátáit. Ezek mindegyike és megfelelő koordinátái közül legfeljebb az egyikkel egyezik meg, azaz legalább az egyiktől különbözik. Tehát ha csak ezeket a koordinátákat nézzük, már akkor is összesen legalább eltérés lesz és , illetve és közt. Attól függően, hogy a további koordinátában van vagy nincs eltérés, lesz az állításban szigorú egyenlőtlenség, illetve egyenlőség.
A távolság segítségével a ,,szokásos'' módon definiálhatjuk a gömböket.
Definíció. Adott vektor és egész szám esetén középpontú sugarú gömbnek nevezzük és -rel jelöljük azon -beli elemek halmazát, melyeknek -től való Hamming-távolsága legfeljebb . Azaz:
Az, hogy egy gömb hány vektort tartalmaz, csak a gömb sugarától függ.
2. állítás. Tetszőleges középpont körüli sugarú gömb pontosan vektort tartalmaz az halmazból.
Bizonyítás. Ha a gömb középpontja , akkor a gömb azokat a vektorokat tartalmazza, amelyek legfeljebb koordinátában térnek el -től. Ha egy vektor pontosan koordinátában különbözik -től, akkor -féleképp tudjuk kiválasztani ezt az darab koordinátát, s minden egyes koordináta helyére egymástól függetlenül azt a 2‐2 koordinátát írhatjuk, amelyek különböznek megfelelő koordinátáitól. Ha az meccset tartalmazó TOTÓ-ban azt szeretnénk, hogy legalább találatunk legyen, akkor olyan tipphalmazt kell megjátszanunk, amelyre a középpontú sugarú gömbök uniója tartalmazza a teljes halmazt. Ha ugyanis ez teljesül, akkor tetszőleges eredmény esetén lesz olyan tippünk, amelyre , azaz tippünk a helyes eredménnyel legalább koordinátában megegyezik. Ebből az észrevételből azonnal adódik következő tételünk, melyet gömbpakolási korlátnak neveznek:
3. tétel. Ha az meccset tartalmazó TOTÓ-ban a tipphalmazzal biztosan elérünk legalább találatot, akkor a tipphalmaz elemszámára teljesülnie kell a egyenlőtlenségnek.
Bizonyítás. A 2. állítás szerint minden sugarú gömb vektort tartalmaz. Mivel a tippek körüli gömbök uniójának tartalmaznia kell -t, ezért ha ezt a számot megszorozzuk a tippek számával, akkor eredményül legalább elemszámát, azaz -t kell kapnunk.
3. Jó tipphalmazok Nézzünk meg először két triviális esetet. Ha biztos telitalálatot szeretnénk elérni, akkor . Tehát a tippjeink körüli 0 sugarú gömbök uniójának, azaz maguknak a tippek halmazának tartalmaznia kell -t. Vagyis biztos telitalálatot csak akkor érhetünk el, ha minden lehetőséget megjátszunk. (Ezt persze Hamming-távolság és gömbök nélkül is tudtuk.) Mit kell tennünk, ha az meccsből álló játékban biztos 5 találatot szeretnénk elérni? Legyen az a tipp, amelynek minden koordinátája . Ezzel a három tippel biztosan elérünk legalább 5 találatot, ugyanis minden 13 hosszú vektornak van legalább 5 darab egyenlő koordinátája, hiszen ha egy vektor mindhárom lehetséges koordinátából legfeljebb 4-et tartalmazna, akkor hossza legfeljebb lenne. Gömbökkel megfogalmazva állításunkat: A TOTÓ-ban azonban az 5 találatos szelvénnyel nem lehet nyerni. Nyereményt általában csak a meccsek számával majdnem megegyező találatszámra fizetnek. Vagyis az érdekes tipphalmazok azok, melyekre értéke kicsi. A továbbiakban bevezetjük az jelölést. Ekkor a szám azt adja meg, hogy legfeljebb hány meccs eredményét hibázhatjuk el. Nagy értékekre a jó tipphalmazok megadása nagyon nehéz feladat, még akkor sincs a probléma csak néhány -re megoldva, ha . A következő táblázatban összefoglaljuk az ismert eredményeket és esetén. Az -nel jelölt sor és az -rel jelölt oszlop kereszteződésében álló első szám a legjobb ismert tipphalmaz elemszáma, az utána zárójelben szereplő szám pedig az optimális tipphalmaz méretére vonatkozó legjobb alsó becslés. Ha nincs zárójelbe írt szám, akkor az azt jelenti, hogy a konstrukció optimális, azaz be van bizonyítva, hogy kevesebb tippel nem érhető el a kívánt találatszám. A zárójelben lévő becslés legtöbbször a 3. tételben szereplő gömbpakolási korlátból következik, néhány esetben azonban jobb annál.
Látható, hogy 5≤n esetén csak az n=11, r=2 és az n=13, r=1 párok esetén éri el a legjobb ismert konstrukció a gömbpakolási korlátból következő lehető legkisebb elemszámot. Ezekben az esetekben a konstrukciók kódelméletiek. Ezekről részletesen olvashatunk Hraskó András és Szőnyi Tamás [2] cikkében. Némelyik tipphalmaz (kicsi n értékekre) a cikk végén található feladatok segítségével állítható elő. Érdemes azt is megfigyelnünk, hogy 13 meccs esetén a biztos 12 találat eléréséhez 59 049 tippre van szükségünk, ami jelenleg 2 361 960 Ft-ba kerül. Ezt összehasonlítva a korábban említett nyereménnyel (4 440 Ft), látható hogy sajnos a TOTÓ-val sem lehet biztosan meggazdagodni.
A most következő példában n=4 és r=1 esetén adjuk meg az egyik optimális konstrukciót, ami a harmadrendű véges affin sík tulajdonságait használja. A véges affin síkokról részletesen olvashatunk a lapunk 2006. decemberi számában megjelent [3] cikkben, vagy a [4] könyvben. Most csak a továbbiakban H-val jelölt harmadrendű affin sík legfontosabb tulajdonságait foglaljuk össze. H-t legegyszerűbben egy derékszögű koordináta-rendszerrel ellátott klasszikus euklidészi sík mintájára képzelhetjük el, csak most a valós számok helyett a {0;1;2} halmaz elemeivel koordinátázunk és modulo 3 számolunk. Legyenek H pontjai az olyan rendezett (a,b) párok, ahol a,b∈{0;1;2} (a klasszikus esetben a sík pontjai a valós számokból készített rendezett pároknak felelnek meg). Az egyenesek kétfélék: egyrészt az [m,d] típusú rendezett párok, ahol m,d∈{0;1;2}, másrészt a [c] típusú elemek, ahol c∈{0;1;2} (a klasszikus esetben a sík nem függőleges egyenesei egyértelműen megadhatók m meredekségükkel és azzal a (0,d) ponttal, ahol az Y tengelyt metszik, míg a függőleges egyenesek egyértelműen leírhatók azzal a (c,0) ponttal, ahol az X tengelyt metszik). Két egyenesre azt mondjuk, hogy párhuzamosak, ha mindkettő [c] típusú, vagy ha mindkettő [m,d] típusú és a két egyeneshez tartozó m értékek megegyeznek. Az (a,b) pont akkor és csak akkor van rajta az [m,d] egyenesen, ha teljesül, hogy (azaz az ma+d szám 3-mal osztva b-t ad maradékul), a [c] egyenesen pedig pontosan akkor, ha a=c. A klasszikus esethez hasonlóan azt mondjuk, hogy az [m,d] egyenes egyenlete Y=mX+d, illetve a [c] egyenes egyenlete X=c. A síkon tehát 3⋅3=9 pont és 3⋅3+3=12 egyenes van. Az ábrán H pontjai koordinátáikkal, egyenesei pedig (amik persze az ábrán nem rajzolhatók meg úgy, mint az euklidészi sík egyenesei) egyenletükkel együtt szerepelnek.
Az ábra alapján is könnyen ellenőrizhetjük, hogy H rendelkezik a következő tulajdonságokkal:
• | Bármely két különböző pontnak egyértelműen létezik összekötő egyenese. |
• | H minden egyenesén 3 pont van és minden ponton át 4 egyenes megy. |
• | Ha a sík P pontja nincs rajta a sík e egyenesén, akkor P-n át pontosan egy e-vel párhuzamos egyenes megy. A sík egyenesei párhuzamossági osztályokba sorolhatók úgy, hogy két egyenes pontosan akkor van egy osztályban, ha párhuzamosak. Minden osztályban 3 darab egyenes van, a sík minden pontján át minden osztályból pontosan egy egyenes megy. |
A tippeket a H sík pontjainak feleltetjük meg. Minden P ponthoz hozzárendelünk egy négy hosszú vektort, melynek minden koordinátája 0, 1 vagy 2, a következő módon: Tekintsük a sík P-n átmenő négy egyenesét. Ezek közül pontosan egy-egy tartozik a sík mind a négy párhuzamossági osztályába. Ha az egyenesek egyenlete rendre akkor a P-hez rendelt vektor legyen (Tehát az ábrán látható D(1;0) ponthoz a d=(1;0;2;1) vektort rendeljük, mert a D-n átmenő egyenesek egyenletei Y=1, X=0, Y=X+1 és Y=2X+1.) Ha P és Q a sík két különböző pontja, akkor a hozzájuk rendelt két vektornak, p-nek és q-nak pontosan egy koordinátája egyezik meg, hiszen a síkon a két pontnak egyértelműen létezik összekötő egyenese. Vagyis a két vektor Hamming-távolsága d(p,q)=3. Ez viszont azt jelenti, hogy ha a sík pontjaihoz rendelt vektorok köré 1 sugarú gömböket írunk, akkor azoknak nem lesz közös pontjuk. Ha ugyanis k ilyen lenne, akkor a háromszög-egyenlőtlenséget alkalmazva a | 3=d(p,q)≤d(p,k)+d(q,k)≤1+1=2 | nyilvánvaló ellentmondást kapnánk. Minden gömb 1+4⋅2=9 vektort tartalmaz, tehát a sík 9 pontjához tartozó gömbök összesen 9⋅9=81=34 vektort, vagyis az E4 halmaz minden elemét tartalmazzák. Ezért a 4 meccsből álló TOTÓ-ban biztos 3 találatot érhetünk el az alábbi tippsorozattal (a vektorokat a harmadrendű sík pontjaihoz az ábrán látható jelöléseknek megfelelően rendeltük): | A:(0;0;0;0)B:(0;1;1;1)C:(0;2;2;2)D:(1;0;2;1)E:(1;1;0;2)F:(1;2;1;0)G:(2;0;1;2)H:(2;1;2;0)J:(2;2;0;1) |
Feladatok 1. Adjunk meg n=2 esetén 3 tippet, melyekkel biztos 1 találatot érünk el. Mutassuk meg, hogy 2 tipp esetén előfordulhat, hogy 0 találatunk lesz.
2. Adjunk meg n=4 esetén 3 tippet, melyekkel biztos 2 találatot érünk el. (Gondoljunk arra, hogyan kell 13 meccs esetén biztos 5 találatot csinálni.)
3. Az n=3 esetben, ha biztos 2 találatot szeretnénk elérni, akkor a gömbpakolási korlátból azt kapjuk, hogy ehhez legalább 4 tippre van szükségünk (mert 21=3(1+3⋅2)<23<4(1+3⋅2)=28). Mutassuk meg, hogy ekkor a gömbpakolási korlát nem éles, azaz legalább 5 tippre van szükségünk a biztos 2 találat eléréséhez.
4. Adjunk meg 27 tippet, amelyekkel biztos 4 találatot érünk el az 5 meccset tartalmazó játékban.
5. Bizonyos esetekben a meccsek kétesélyesek (azaz feltételezzük, hogy a három lehetséges eredmény közül az egyik biztosan nem fog bekövetkezni). Ilyenkor 0‐1 sorozatokkal modellezhetjük a tippeket. Hogyan szól n darab kétesélyes meccs estén a 3. tételben szereplő gömbpakolási korlát megfelelője? Adjunk meg olyan 16 elemű tipphalmazt a 7 kétesélyes meccsből álló játékban, amellyel biztos 6 találatot érünk el.
Irodalomjegyzék
[1] | Hämäläinen, H., Honkala, I., Lytsin, S. és Östergård, P.: Football Pools ‐ A Game for Mathematicians, American Math. Monthly (August‐Sept. 1995), 579‐588. |
[2] | Hraskó A. és Szőnyi T.: Hibajavító kódok, Új matematikai mozaik (szerk. Hraskó A.), Typotex Kiadó (Budapest, 2002), 139‐170. |
[3] | Kiss Gy.: Hogyan szervezzünk körmérkőzéses focibajnokságot? KöMaL, 56 (2006), 514‐525. |
[4] | Kiss Gy. és Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Könyvkiadó (Szeged, 2001). |
|