Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2009/október, 400 - 402. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Legyen az $A$ halmaz az $a)$, a $B$ halmaz a $b)$ kifejezés értelmezési tartománya. $\begin{array}{c}{\displaystyle a)\text{log}{}_{x+5}\left(x^2-9x+14\right)\mathrm{,}b)\sqrt[]{\frac{10-x}{x^2+4}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ábrázoljuk számegyenesen a $B\setminus A$ halmaz elemeit.  (11 pont)   2. Egy egyenes körhenger alakú zárt tartály alapkörének sugara 15 cm, magassága 60 cm. A tartályt vízszintes helyzetben két rúdra erősítették. A vízzel félig töltött tartály alján van egy $D$ dugó (lásd ábra). Ha ezt kihúzzák, akkor a tartály alá helyezett egyenes hasáb alakú felül nyitott edényekbe folyik a víz. Minden hasáb alapnégyzetének oldala 10 cm. Az első hasáb magassága 50 cm, a másodiké 49 cm, a harmadiké 48 cm és így tovább. Amikor az első hasáb megtelik, onnan átfolyik a másodikba, ha az is megtelik, akkor átfolyik a harmadikba stb.     Hány hasáb telik meg vízzel?  (12 pont)   3. A négyzetszámokat ,,csomagokba'' helyezzük az alábbi módon: 1. csomag: (1), 2. csomag: $\left(\mathrm{4,9}\right)$, 3. csomag: $\left(\mathrm{16,25,36}\right)$, 4. csomag: $\left(\mathrm{49,64,81,100}\right)$, stb. $a)$ Melyik számmal kezdődik a 16. csomag? $b)$ Melyik csomagban szerepel a 8281 négyzetszám?  (14 pont)   4. Anna és Csaba háza egy egyenes út mentén található. Egy alkalommal megbeszélték, hogy együtt mennek kerékpározni. Déli 12 órakor a házaik közötti útszakasz egy olyan pontjában találkoztak, ahonnan egy biciklis körút indul.     Találkozáskor Anna napi átlagsebesség-mérője 23 km/h, Csabáé pedig 28 km/h átlagsebességet jelzett. (Ezen a napon délig mindketten csak erre az útra használták a kerékpárjukat.) A 26 km-es körutat 1 óra alatt tették meg, ekkor a déli találkozási pontba visszaérve elbúcsúztak egymástól és mindketten hazamentek. A búcsúzáskor Anna átlagsebesség-mérője 25 km/h-t, Csabáé 27 km/h-t mutatott. Milyen messze lakik egymástól Anna és Csaba?  (14 pont)     II. rész   5. Egy svájci kantonban olyan lottójáték van forgalomban, melynél az első 50 pozitív egész számból kell 5-öt eltalálni. Egy szenvedélyes lottózó először kiválasztja az első két számot, majd harmadiknak az első kettő összegét, negyediknek az első három összegét, végül ötödiknek az első négy szám összegét. $a)$ Legfeljebb mekkorának választhatja ez az ember a legkisebb számot? $b)$ Ha emberünk a legkisebb számot a lehető legnagyobbnak választja, akkor mely számok szerepelhetnek a kitöltött szelvényén? $c)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy emberünknek telitalálata lesz, ha a fenti eljárásnak megfelelően minden lehetséges módon kitölt egy-egy szelvényt?  (16 pont)   6. Adott a $\left[0;9\right]$ intervallumon értelmezett $f\left(x\right)=2\sqrt[]{x}$ függvény. $a)$ Egy szabályos háromszög egyik csúcsa az origó, egy másik csúcsa az $x$ tengelyre, a harmadik csúcsa pedig az $f\left(x\right)$ függvény görbéjére illeszkedik. Mekkora e háromszög területe? $b)$ Egy téglalap egyik oldala az $x$ tengelyre, egy másik oldala az $x=9$ egyenesre, egy csúcsa pedig az $f\left(x\right)$ függvény görbéjére illeszkedik. Határozzuk meg a legnagyobb ilyen téglalap területét. $c)$ Az $f\left(x\right)$ függvénygörbe és az $x$ tengely közötti területet az $x=a$ egyenes felezi. Határozzuk meg az $a$ paraméter értékét.  (16 pont)   7. Egy óbudai vendéglőben az egyenlő szárú háromszög alakú szalvétákat úgy hajtogatják, hogy az $ABC$ háromszög $AB$ alapjának $A$ csúcsa a $BC$ szár $F$ felezőpontjába kerüljön. Ekkor a hajtás élének egyik végpontja az $AC$ szár $C$-hez közelebbi $H$ harmadoló pontjába kerül.     Hová kerül a hajtás élének másik $\left(X\right)$ végpontja?  (16 pont)   8. Karcsi meglátott a kirakatban egy igen kedvező árú sportcipőt. Bement, hogy megvásárolja, de legnagyobb megdöbbenésére a pénztárnál a kirakatban látott ár négyszeresét akarták fizettetni vele. Kiderült, hogy a kirakatrendező a cipő árát jelző négyjegyű szám számjegyeit véletlenül fordított sorrendben írta ki. Mennyibe került a sportcipő?  (16 pont)   9. $a)$ Az $ABC$ háromszög oldalai 10, 12 és 15 cm hosszúak. Az oldalakon (az oldalak végpontjait kivéve) minden egész cm helyen megjelöltük a pontokat. Ezután képeztük az összes olyan háromszöget, melynek csúcspontjai a megjelölt pontok közül valók. Hány darab ilyen háromszöget képezhetünk? $b)$ A $PQR$ szabályos háromszög oldalai $n$ cm hosszúak, ahol $n>2$ egész szám. Az oldalakon (az oldalak végpontjait kivéve) minden egész cm helyen megjelöltük a pontokat. Ezután képeztük az összes olyan háromszöget, melynek csúcspontjai a kijelölt pontok közül valók, majd képeztük az összes olyan négyszöget, melynek két csúcsa egy oldalon, másik két csúcsa pedig a háromszög másik, illetve a harmadik oldalának kijelölt pontjai közül való. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből?  (16 pont)