Cím: Kunfalvi Rezső fizikaverseny
Füzet: 2009/szeptember, 370 - 372. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Tömeges rugó. Vízszintes, sima, vagyis súrlódásmentes talajon, egyik végével falnak támaszkodó, D=50 N/m direkciós erejű, m=0,15 kg tömegű egyenes csavarrugó nyugszik. A rugó tengelyének irányából egy M=0,5 kg tömegű hasáb v=2 m/s sebességgel érkezik a rugóhoz. A rugó végével való ütközéskor feltehetjük, hogy 10%-os energiaveszteség következik be, továbbá már a rugó 1 cm-es összenyomódásakor létrejön a rugóban az úgynevezett alapmódusnak nevezett állapot, amikor a rugó egyes meneteiben a faltól mért távolsággal egyenesen arányos, lineáris sebességeloszlás alakul ki. A továbbiakban az alapmódus mindaddig megmarad, és mindvégig veszteségmentesnek tekinthető, ameddig a rugó és a hasáb egymással érintkezik. A rugó elegendően hosszú, elegendően lazák a menetei, és mindvégig egyenes marad.
Mekkora sebességgel hagyja el a rugót a hasáb?

 
2. Forduló robogó. Egy robogó (kismotor) első és hátsó kerekének tengelye között a távolság l. A motor meglehetősen síkos, vízszintes talajon halad lassan, óvatosan valamekkora v sebességgel. A vezető állandó sebességnagyság mellett el akar kanyarodni a motorral, ezért a kormányt α szöggel elfordítja. Legalább mekkora legyen a talaj és a motor kerekei közötti μ tapadási súrlódási együttható, hogy a motor ne csússzon meg?
Feltehetjük, hogy a motornak és a vezetőnek a közös tömegközéppontja a kerekek tengelyét összekötő szakasz közepe fölé esik, továbbá a motor bedőlésétől eltekinthetünk.
 
3. Forgó négyzet. Vízszintes, érdes talajon forgassunk meg egy négyzet alakú lemezt az egyik sarka körül, majd rögzített, függőleges, súrlódásmentes tengely mellett hagyjuk szabadon mozogni. Megfigyelhetjük, hogy a lemez t=4 s múlva áll meg. Mennyi idő alatt áll meg a lemez, ha a tengely a középpontján megy át, és a kezdeti szögsebessége ugyanakkora?
 
 

4. Mágneses parittya. Egy P-ben lévő ifjú és egy Q-ban tartózkodó fiatal hölgy őrülten szerelmesek egymásba. A két fiatal tartózkodási helyét w=1000 m szélességű tengerszoros választja el egymástól. Miután az ifjú tanult fizikát, és hallott a mágneses parittyáról, elhatározta, hogy készít egy olyan eszközt, amivel át tudja magát lőni a tengerszoroson. A fiú elkészített egy állítható hajlásszögű rámpát (magyarul lejtőt), amelynek θ hajlásszögét változtatni lehet. A rámpán két párhuzamos fémsínt fektetett le, melyek hossza D=35 m, és egymástól mért távolsága L=2 m. A sínek végéhez a szerelmes ifjú 2424 V-os egyenfeszültségű tápegységet csatlakoztatott. Egy elektromosan vezető rúd szabadon tud csúszni a fémsínpáron úgy, hogy közben a fiú biztonságosan meg tud kapaszkodni a rúdon.
Egy rendkívül ügyes mérnök, látva az őrülten szerelmes fiatalember erőfeszítését, egy olyan szerkezetet tervezett meg, amellyel B=10 T homogén mágneses mezőt lehet a sínpárra merőlegesen létrehozni. Az ifjú tömege 70 kg, a rúd tömege 10 kg, ellenállása R=1Ω.
 
 

Amint az ifjú befejezte a művét, és éppen ellenőrizte a működését, szíve hölgye kétségbeesve felhívta telefonon, és zokogva elmondta neki, hogy édesapja egy gazdag emberhez akarja feleségül adni, de ő inkább véget vet életének. Egyetlen reménységük az lehet, hogy a lány édesapja megígérte, amennyiben a fiú a telefonhívást követően 11 másodpercen belül képes lenne a Q pontba jutni, akkor mégis ő veheti feleségül a lányt.
A fiatalember ekkor azonnal a parittyához lépett, és kilőtte magát a tengerszoroson át Q felé. A rámpa úgy van beállítva, hogy P mindig a legfelső pontja (ahol a fiú elhagyja a síneket) van azonos magasságban a tengerszoros túlpartján lévő Q ponttal.
Az alább felsorolt lépéseket elvégezve vizsgáld meg, hogy a fiú megérkezhet-e időben a Q pontba, és ha igen, akkor milyen θ szögtartomány beállítása mellett!
a) Vezess le egy kifejezést a fiatalember sínekkel párhuzamos gyorsulására!
b) Határozd meg a θ szög függvényében azt az időt, amit a fiatalember a síneken tölt (ts), és amit a levegőben tölt (tl)!
c) Ábrázold grafikusan a teljes T=ts+tl időt a θ hajlásszög függvényében!
d) A parittya fontos tulajdonságainak figyelembevételével, határozd meg azt a θ hajlásszög tartományt, amit a fiatalember használhat! Ha szükségesnek érzed, rajzolj egy másik grafikont is.
Használd a következő közelítéseket:
1) A telefonhívást követően a kilövésig eltelő idő (beleértve a beállításokat is) elhanyagolható, másképp szólva a stopper a t=0 idővel akkor indul, amikor a fiatalember kilövi magát, vagyis a rúd mozogni kezd.
2) A fiatalember a mozgását a fémsínek bármely pontjánál kezdheti.
3) A rámpa felső vége és Q ugyanazon a magasságon van, és a közöttük lévő távolság w=1000 m.
4) Biztonsági kérdésekkel (mint például a landolás, elektromos áramütés, stb.) nem kell törődnöd.
5) A fémsínek ellenállása, a tápegység belső ellenállása, a súrlódás a rúd és a sínek között, valamint a légellenállás elhanyagolható.
6) Számolhatsz g=10m/s2 értékkel.
Matematikai útmutatás:
1. ∫e-axdx=-e-axa.
2. A dxdt=a+bx differenciálegyenlet megoldása:
x(t)=ab(ebt-1)+x(0)ebt.