Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Juhászné Kunstár Mária ,  Marczis György ,  Mihály Mária ,  Székely András ,  Tóth István
Füzet:	2007/április, 206 - 207. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Az egymástól 24 km távolságra lévő $A$ és $B$ városból egyszerre indul egymással szembe két gépkocsi. Találkozásuk után $4$ perccel az a gépkocsi, amelyik a $B$ városból indult, megérkezik az $A$ városba, a másik pedig a találkozás után $16$ perccel a $B$ városba. Határozzuk meg a gépkocsik sebességét.  (11 pont)   2. $a)$ $1000$ almát úgy akarunk $k$ $\left(k\ge 2\right)$ tanuló között szétosztani, hogy az első tanuló kapjon $x$ almát és minden további tanuló rendre 3-mal kevesebbet mindaddig, míg az $1000$ almát maradéktalanul ki nem osztottuk. Hány tanulóról lehet szó? Hány alma jut ekkor az utolsó tanulónak? $b)$ Legközelebb $16$ ember között az $1000$ almát úgy szeretnénk elosztani, hogy az első $11$ embernek egyforma számú almát adjunk, de ezt követően $50\%$-kal mindig többet, mint az előzőnek. Ekkor a végén marad még $15$ alma. Az egyes emberek által kapott almák számát feljegyezzük, s így kapunk $16$ adatot. Mennyi az így kapott adatok átlaga és módusza?  (12 pont)   3. Oldjuk meg a következő egyenleteket: $a)$ $\frac{x^2+2x+1}{\sqrt[]{{\left(x+1\right)}^2}}+x+1=0$; $b)$ ${10}^{\text{lg}3x}=2x-3$; $c)$ $\sqrt[]{x-1}\cdot \sqrt[]{x+5}=\sqrt[]{x^2+4x-5}$; $d)$ $\sqrt[]{1-\text{sin}{}^{2}x}\cdot \text{tg}x=\text{sin}x$.  (14 pont)   4. Egy paralelogramma egyik átlójának hossza egy bizonyos szög szinuszával, a másik ugyanennek a szögnek a koszinuszával, míg a rövidebbik oldala a szög kétszeresének szinuszával egyenlő. A két átló által bezárt szög ${60}^{\circ }$. Számoljuk ki a paralelogramma oldalhosszainak pontos értékét.  (14 pont)   II. rész   5. Egy biológushallgató két tárgylemez közt lévő vizes közeget figyel mikroszkóppal, amely egy 0,9 mm oldalú négyzet alakú területet foglal el. Ezen négyzet oldalainak harmadával megegyező oldalhosszúságú, $9$ négyzetből álló négyzethálót vetít rá a látótérre, amely sakktáblaszerűen szürkével és fehérrel színezett úgy, hogy a bal alsó sarok szürke. Legyen két eseményünk az, hogy amikor először a mikroszkópba néz, akkor egy pontszerű baktériumot $A$: fehér négyzetben lát. $B$: a közeg négyzetének bal oldalához közelebb látja, mint az alsó oldalához. $a)$ Számítsuk ki a $P\left(A\right)$, $P\left(B\right)$, $P\left(\overline{A}\cdot B\right)$ valószínűségeket. $b)$ Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 0,01 mm sugarú gömb alakú porszemet úgy pillant meg, mintha a porszemnek lenne valamelyik szürke négyzettel közös pontja? (A porszemet a mikroszkópban egy 0,01 mm sugarú körlapnak látjuk, és az elhelyezkedése véletlenszerű a megfigyelt közegben.)  (16 pont)   6. $a)$ Tekintsük azokat az ötjegyű számokat, amelyekre igaz, hogy utolsó három számjegyük különböző, ezen számjegyek összege $5$ és közülük egyik se prímszám. Mennyi ezek közül a $8$-cal oszthatók összege? $b)$ Tekintsük az összes olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre $n!+3$ négyzetszám. Hány ilyen négyzetszám van?  (16 pont)   7. Az $A\left(-2;0\right)$ és a $B\left(2;0\right)$ pont egy derékszögű háromszög átfogójának két végpontja. $a)$ Határozzuk meg a harmadik csúcspont koordinátáit, ha az $A$ csúccsal szemközti befogó hossza $2$. $b)$ A $B$ középpontú $2$ sugarú kör egy olyan háromszög beírható köre, amelynek egyik csúcspontja az $A$ pont, és az $A$ ponttal szemközti oldal az $E\left(2+\sqrt[]{3};1\right)$ pontban érinti a kört. Határozzuk meg e háromszög másik két csúcspontjának koordinátáit. $c)$ Mekkorák a keresett háromszög szögei?  (16 pont)   8. Egy egyenes körkúp felszínét, térfogatát és a beírt gömbjének felszínét jelölje sorra $A$, $V$ és $G$. Igazoljuk, hogy $A^{2}G=36\pi \cdot V^2$.  (16 pont)   9. Legyen adva a valós számokon értelmezett $f\left(x\right)=x-\frac{2}{3}{x}^3$ függvény. $a)$ A $\left[-2;1\right]$ intervallum mely $x$ értékei esetén veszi fel ez a függvény a maximális, illetve a minimális értékét? Mekkorák ezek az értékek? $b)$ Ezen az intervallumon hol lesz a grafikonhoz húzott érintő párhuzamos a $g\left(x\right)=-3x+2007$ függvény grafikonjával? $c)$ Mi lehet a $h\left(x\right)$ függvény hozzárendelési szabálya, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle h\left(f\left(x\right)\right)=\sqrt[3]{x-\frac{2}{3}{x}^3}?}\end{array}$ Határozzuk meg az $f\left(h\left(x\right)\right)$ összetett függvényt.  (16 pont)