Cím:	A centrálaxonometriáról az A. 456. feladat kapcsán
Szerző(k):	Szilasi Zoltán
Füzet:	2009/május, 267 - 273. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bevezetés   Síkgeometriai feladatok megoldásánál gyakran hasznos fogás a tekintett ábrát valamely térbeli alakzat vetületeként felfogni; erre sok érdekes példa található a [9] szakköri füzetben, valamint a jóval újabb [4] dolgozatban. E módszer ismeretében a KöMaL-ban kitűzött A. 456.-os feladat kapcsán természetes módon vetődött fel a kérdés, hogy nem kezelhető-e egyszerűbben ez a probléma is azáltal, ha a vizsgálandó konfigurációt a térből történő vetítéssel származtatjuk. Kiderült, hogy az ötlet működőképes, azzal a finomítással, hogy előbb az euklideszi teret projektív térré bővítjük, s azt követően ún. centrálaxonometriát alkalmazunk, amely az euklideszi tér axonometrikus ábrázolásának projektív változata. Dolgozatunkban először röviden áttekintjük az euklideszi tér axonometrikus ábrázolását, majd vázoljuk az euklideszi tér projektív bővítését és ennek centrálaxonometrikus ábrázolását. Ezek után rátérünk a kérdéses feladat ,,centrálaxonometrikus megoldására'', amely érzésünk szerint azt is megmutatja, hogy a bizonyítandó állítás ,,miért igaz''.   Az axonometrikus ábrázolásról   Tekintsünk a háromdimenziós euklideszi térben egy $\left(O;E_1\mathrm{,}{E}_2\mathrm{,}{E}_3\right)$ derékszögű koordinátarendszert, ahol $O$ az origó, az $O{E}_1$, $O{E}_2$ és $O{E}_3$ egyenesek rendre az $x$-, az $y$- és a $z$-tengely, és az $E_1$, $E_2$, $E_3$ pontok, az ún. egységpontok, az origótól $1$ távolságra vannak. Axonometrikus ábrázolásnál az origó $O\text{'}$ és az egységpontok $E{\text{'}}_1$, $E{\text{'}}_2$, $E{\text{'}}_3$ képét egy adott síkban tetszőlegesen rögzítjük, természetesen azzal a megszorítással, hogy a tengelyek képei különböző egyeneseknek adódjanak. Ezután az $O{E}_i$ tengely ($i\in \left\{\mathrm{1,2,3}\right\}$) valamely $P_i$ pontjának $P{\text{'}}_i$ képét azzal definiáljuk, hogy az $O\text{'}E{\text{'}}_i$ egyenes $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{d\left(O\mathrm{,}{P}_i\right)}{d\left(E_i\mathrm{,}{P}_i\right)}=\frac{d\left(O\text{'}\mathrm{,}P{\text{'}}_i\right)}{d\left(E{\text{'}}_i\mathrm{,}P{\text{'}}_i\right)}}\end{array}$ feltételeknek eleget tevő pontja legyen, ahol $d$ az euklideszi tér előjeles távolsága.     1. ábra   A következő lépés a koordinátasíkokra illeszkedő pontok képének értelmezése. Ha $P$ mondjuk az $xy$-koordinátasík pontja, akkor tekintjük ennek az $x$-, illetve az $y$-tengelyre eső $P_x$, illetve $P_y$ merőleges vetületét, és a leírt módon meghatározzuk ezek $P{\text{'}}_x$, illetve $P{\text{'}}_y$ képét. A $P$ pont $P\text{'}$ képpontját a $P{\text{'}}_x$ ponton át az $y$-tengely képével és a $P{\text{'}}_y$ ponton át az $x$ tengely képével párhuzamosan húzott egyenesek metszéspontjaként definiálhatjuk. Végül a tér egy tetszőleges $P$ pontjának $P\text{'}$ képét a következőképpen készítjük el. Merőlegesen vetítjük a pontot mondjuk az $xy$ és $yz$ koordinátasíkra; legyenek a vetületek képei $P{\text{'}}_{xy}$ és $P{\text{'}}_{yz}$. A $P{\text{'}}_{xy}$ ponton át a $z$-tengely képével, a $P{\text{'}}_{yz}$ ponton át pedig az $x$-tengely képével húzzunk párhuzamost, $P\text{'}$ ezek metszéspontja. Egyszerűen átgondolható, hogy a $P\text{'}$ pont nem függ attól, hogy melyik két koordinátasíkot választottuk ki. Megmutatható, hogy a tér tetszőleges pontját egyértelműen meghatározza a pont így értelmezett axonometrikus képe, valamint valamelyik koordinátasíkra eső merőleges vetületének axonometrikus képe. Pohlke tétele szerint egy térbeli alakzat axonometrikus képe hasonló az alakzat valamely síkra vonatkozó párhuzamos vetületéhez. Ebből következik, hogy az axonometria egyenestartó abban a tágabb értelemben, hogy egyenes axonometrikus képe egyenes vagy pont. Az axonometriával kapcsolatos részleteket illetően a [2] munkára utalunk.   Projektív bővítés és centrálaxonometria   Kiindulva a háromdimenziós euklideszi térből, a tér pontjainak és egyeneseinek halmazát bővítsük további pontokkal ‐ melyeket végtelen távoli pontoknak, illetve egyeneseknek fogunk nevezni ‐ az alábbi módon. A tér minden egyenesére egy és csak egy végtelen távoli pont illeszkedjen, két egyenes végtelen távoli pontja akkor és csak akkor egyezzen meg, ha a két egyenes párhuzamos. Minden sík végtelen távoli pontjai illeszkedjenek egy egyenesre, amit a sík végtelen távoli egyenesének mondunk. Az ilyen módon kibővített euklideszi teret nevezzük az euklideszi tér projektív bővítésének, vagy röviden, projektív térnek. A projektív tér síkjait projektív síkoknak hívjuk. A projektív tér kölcsönösen egyértelmű (azaz bijektív) és egyenestartó transzformációit kollineációknak nevezzük. Megmutatható, hogy a projektív térben a körök, ellipszisek, parabolák és hiperbolák projektíven ekvivalensek, azaz kollineációval bármely kettő átvihető egymásba. Így ezeket együttesen kúpszeleteknek vagy nemelfajuló másodrendű görbéknek is mondjuk. Kollineációnál tehát tetszőleges kúpszelet képe ismét kúpszelet. A projektív térben a kúpszeletek egyes fajtáit végtelen távoli pontjaik száma különbözteti meg egymástól. A köröknek és ellipsziseknek nincsen végtelen távoli pontjuk, a paraboláknak egy végtelen távoli pontja van (amely a parabola tengelyével párhuzamos egyenesek közös végtelen távoli pontja), a hiperboláknak pedig két végtelen távoli pontja van (amelyek a hiperbola aszimptotáival párhuzamos egyenesek végtelen távoli pontjai). A kúpszeletekről részletesebben a [5] könyvben olvashatunk. A projektív síkokkal kapcsolatban a [8], az ott értelmezett geometriai transzformációkkal kapcsolatban a [7] könyvet ajánljuk. A projektív síkok precíz, axiomatikus, de egyben élvezetes tárgyalását illetően lásd az [1] munkát. A projektív teret egy projektív síkon az axonometria projektív általánosításának, a centrálaxonometriának az alkalmazásával fogjuk ábrázolni. A térben ismét egy derékszögű koordinátarendszert tekintve, a síkon megadjuk a koordinátarendszer $O$ origójának, a tengelyek $E_1$, $E_2$, $E_3$ egységpontjainak, és a tengelyek $V_1$, $V_2$, $V_3$ végtelen távoli pontjainak ‐ ismét vesszővel jelölt ‐ képeit. Mivel az $E_1{V}_1$, $E_2{V}_2$ és $E_3{V}_3$ egyenesek mindegyikére illeszkedik az origó, ezért az egyes egyenesek képeire is illeszkedik az origó. Tehát az $E{\text{'}}_{1}E{\text{'}}_{2}E{\text{'}}_3$ és $V{\text{'}}_{1}V{\text{'}}_{2}V{\text{'}}_3$ háromszögek az $O\text{'}$ pontra nézve perspektívek. Az ilyen tulajdonságú háromszögek tengelyre nézve is perspektívek Desargues tétele alapján (lásd Kiss György KöMaL-beli dolgozatát [3]), azaz az $E{\text{'}}_{1}E{\text{'}}_2$ és $V{\text{'}}_{1}V{\text{'}}_2$, $E{\text{'}}_{1}E{\text{'}}_3$ és $V{\text{'}}_{1}V{\text{'}}_3$, valamint $E{\text{'}}_{2}E{\text{'}}_3$ és $V{\text{'}}_{2}V{\text{'}}_3$ egyenesek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek. Azt mondjuk erre tekintettel, hogy $E{\text{'}}_{1}E{\text{'}}_{2}E{\text{'}}_3$ és $V{\text{'}}_{1}V{\text{'}}_{2}V{\text{'}}_3$ egy Desargues-féle háromszögpár. Minden Desargues-féle háromszögpár egyértelműen meghatároz egy centrálaxonometrikus leképezést.     2. ábra   A centrálaxonometriában a kijelölt koordinátarendszer valamely tengelyére illeszkedő $P_i$ ($i\in \left\{\mathrm{1,2,3}\right\}$) pont $P{\text{'}}_i\in O\text{'}E{\text{'}}_i$ képét azáltal adjuk meg, hogy előírjuk a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{d\left(O\mathrm{,}{V}_i\right)}{d\left(E_i{V}_i\right)}:\frac{d\left(O\mathrm{,}{P}_i\right)}{d\left(E_i{P}_i\right)}=\frac{d\left(O\text{'}\mathrm{,}V{\text{'}}_i\right)}{d\left(E{\text{'}}_{i}V{\text{'}}_i\right)}:\frac{d\left(O\text{'}\mathrm{,}P{\text{'}}_i\right)}{d\left(E{\text{'}}_{i}P{\text{'}}_i\right)}}\end{array}$ egyenlőség teljesülését. A fenti egyenlőség az ún. kettősviszony megőrzését biztosítja; ez a tulajdonság jellemzi a projektív tér kollineációit. Valamely koordinátasík ‐ mondjuk az $xy$ ‐ valamely $P$ pontja képének meghatározásához most is először tekintjük a pont koordinátatengelyekre eső $P_x$ és $P_y$ merőleges vetületeit, ezek centrálaxonometrikus képeit meghatározva kapjuk a $P{\text{'}}_x$ és $P{\text{'}}_y$ pontokat. A $P{\text{'}}_{x}V{\text{'}}_2$ és $P{\text{'}}_{y}V{\text{'}}_1$ egyenesek metszéspontja adja a $P\text{'}$ képpontot. Tetszőleges további $P$ pont képét is az axonometriánál alkalmazott eljárás mintájára definiáljuk. A $P$ pont $xy$ és $yz$ és $yz$ koordinátasíkokra eső merőleges vetületeit ismét $P_{xy}$-al és $P_{yz}$-vel jelölve, a fenti módon meghatározzuk a $P{\text{'}}_{xy}$ és $P{\text{'}}_{yz}$ pontokat; a $P$ pont $P\text{'}$ centrálaxonometrikus képe a $P{\text{'}}_{xy}V{\text{'}}_3$ és $P{\text{'}}_{yz}V{\text{'}}_1$ egyenesek metszéspontja. Észrevehetjük, hogy most a párhuzamos egyenesek szerepét egymást a végtelen távoli pontokban metsző egyenesek veszik át. Az axonometriához hasonlóan a tér tetszőleges pontját egyértelműen meghatározza a fentiek alapján szerkesztett centrálaxonometrikus képe és valamely koordinátasíkra eső vetületének centrálaxonometrikus képe. A centrálaxonometria szintén egyenestartó leképezés a korábbi értelemben, tehát egyenes képe egyenes vagy pont. Érdekes eltérés, hogy Pohlke tétele nem általánosítható centrálaxonometriára. A Pohlke-tétel szerepét a Szabó‐Stachel‐Vogel-tétel [6] veszi át, eszerint egy alakzat centrálaxonometrikus képe pontosan akkor hasonló az alakzat valamely síkra eső centrális vetületéhez, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle }\end{array}$ (d(O',E'1d(E'1V'1))2:(d(O',E'2d(E'2V'2))2:(d(O',E'3d(E'3V'3))2==tg(V'2V'1V3∢):tg(V'1V'2V3∢):tg(V'1V'3V2∢) teljesül.   Az A. 456. feladat megoldása   Adott az $ABC$ háromszög és belsejében a $D$ pont úgy, hogy az $ABD$, $BCD$, és $CAD$ háromszögekbe írt körök páronként érintik egymást. Jelöljük az érintési pontokat a $BC$, $CA$, $AB$, $AD$, $BD$, $CD$ szakaszokon rendre $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$-vel. Legyen $E$ a $B_1{C}_2$ és $B_2{C}_1$ egyenesek, $F$ pedig az $A_1{C}_2$ és $A_2{C}_1$ egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy az $AF$, $BE$ és $C_{1}D$ egyenesek egy ponton mennek át.     3. ábra   Mivel tetszőleges Desargues-féle háromszögpár meghatároz egy centrálaxonometrikus leképezést, tekinthetjük az adott $ABC$ háromszög csúcsait egy centrálaxonometrikus leképezésben a végtelen távoli pontok képeinek, az $A_2{B}_2{C}_2$ háromszög csúcsait pedig az egységpontok képeinek. Ekkor $D$ az origó képe. Legyen $DA$ az $x$ tengely, $DB$ az $y$ tengely, $DC$ pedig a $z$ tengely képe. Ebben az esetben az $ABD$ háromszög beírt köre az $xy$ sík egy parabolájának centrálaxonometrikus képe, ugyanis a beírt kör térbeli ősképe olyan kúpszelet, amely érinti az $xy$ sík végtelen távoli egyenesét. Ez a parabola az $x$ és $y$ tengelyeket egyaránt a tengelyek egységpontjaiban érinti, így tengelye az $x$ és $y$ tengelyek szögfelezője. Ez szimmetria okokból látható, illetve projektív geometriai eszközökkel a Pascal-tétel segítségével igazolható. (Ezen adatokból a tengely meghatározásának általános módszerét illetően lásd pl. [8].) Tehát $C_1$ az $xy$ síkban az $y$-tengellyel ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenesek végtelen távoli pontjának képe. Hasonlóan látható, hogy $A_1$ az $yz$ síkban az $y$-tengellyel ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró, $B_1$ az $xz$ síkban a $z$-tengellyel ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenesek végtelen távoli pontjának képe. A 4., 5. és 6. ábrákon a térbeli őskép egyes koordinátasíkjait szemléltettük (lásd még: első borító).     4. ábra       5. ábra       6. ábra   Tehát a $B_1{C}_2$ egyenes az $xz$ síkban a $z$ tengely egységpontjára illeszkedő, azzal ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenes képe, a $B_2{C}_1$ egyenes az $xy$ síkban az $y$ tengely egységponjára illeszkedő, azzal ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenes képe. Mindkét egyenes áthalad az $x$ tengely $-1$ koordinátájú pontján, így $E$ ennek a pontnak a centrálaxonometrikus képe (következésképpen illeszkedik az $AO$ egyenesre), mivel a centrálaxonometria egyenestartó leképezés. A $BE$ egyenes ezért az $x$ tengely $-1$ koordinátájú pontján át az $y$ tengellyel húzott párhuzamos egyenes centrálaxonometrikus képe. Hasonlóan, $A_1{C}_2$ az $yz$ sík $z$ tengelyének egységpontján áthaladó, a $z$ tengellyel ${45}^{\circ }$-ot bezáró egyenes képe, $A_2{C}_1$ az $xy$ sík $x$ tengelyének egységpontjára illeszkedő, az $x$ tengellyel ${45}^{\circ }$-ot bezáró egyenes képe. Így e két egyenes $F$ metszéspontja az $y$ tengely $-1$ koordinátájú pontjának centrálaxonometrikus képe (tehát $F$ illeszkedik a $B{B}_2$ egyenesre). Az $AF$ egyenes ekkor az $y$-tengely $-1$ koordinátájú pontján keresztül az $x$ tengellyel húzott párhuzamos egyenes képe. A fentiek alapján a $BE$ és $AF$ egyenesek metszéspontja a $\left(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}\right)$ koordinátájú pont centrálaxonometrikus képe. A $C_{1}D$ egyenes az $xy$ centrálaxonometrikus képe. A $C_{1}D$ egyenes az $xy$ síkban a koordinátatengelyek szögfelező egyenesének képe, és mivel a szögfelező egyenesre a $\left(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}\right)$ pont valóban illeszkedik, ezzel a centrálaxonometria egyenestartása alapján beláttuk a feladat állítását.   Irodalom   [1] H. S. M. Coxeter: Projektív geometria, Gondolat, 1986. [2] Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria, Tankönyvkiadó, 1957. [3] Kiss György: Desargues tétele, KöMaL, 2007. március [4] I. Molnár, J. Szabó: Applications of Methods of Descriptive Geometry in Solving Ordinary Geometric Problems, Teaching Mathematics and Computer Science, 2 (2004), 103‐115. [5] Schopp János: Kúpszeletek, Középiskolai szakköri füzetek, Tankönyvkiadó, 1967. [6] J. Szabó, H. Stachel, H. Vogel: Ein Satz über die Zentralaxonometrie, Sb. Akad. Wiess. Wien, 203 (1995), 3‐11. [7] Vigassy Lajos: Geometriai transzformációk, Középiskolai szakköri füzetek, Tankönyvkiadó, 1963. [8] Vigassy Lajos: Projektív geometria, Középiskolai szakköri füzetek, Tankönyvkiadó, 1970. [9] Vigassy Lajos: Síkmértani szerkesztések térmértani megoldással, Középiskolai szakköri füzetek, Tankönyvkiadó, 1957.