Cím:	Megoldásvázlatok a 2007/1. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2007/február, 77 - 82. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $20$ tömegszázalékos konyhasóoldat (az oldószer víz) melegítése közben az oldószer $15$ százaléka elpárolgott. Ha most az oldathoz $0\mathrm{,}1\text{kg}$ konyhasót adunk, akkor az oldat ugyanannyi tömegszázalékos lesz, mintha az eredeti oldathoz $0\mathrm{,}1\text{kg}$ oldószert és $0\mathrm{,}3\text{kg}$ konyhasót adtunk volna hozzá. Mekkora az eredeti oldat tömege?  (11 pont)   Megoldás. Legyen az eredeti oldat tömege $x$ kg. Az eredeti oldatban $0\mathrm{,}2x$ kg az oldott anyag, és $0\mathrm{,}8x$ kg az oldószer tömege. Miután az oldószer 15%-a elpárolgott, tömege $0\mathrm{,}68x$ kg-ra csökkent. A 0,1 kg konyhasó hozzáadása után: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{ az oldott anyag tömege:}}\hfill & {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>2</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>1</mn></math>,}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ az oldat tömege:}}\hfill & {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>2</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>1</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>68</mn><mi>x</mi></math>. }}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az oldat $\frac{0\mathrm{,}2x+0\mathrm{,}1}{0\mathrm{,}88x+0\mathrm{,}1}\cdot 100$ tömegszázalékos lesz. Ugyanennyi tömegszázalékos lesz az oldat, ha az eredeti oldathoz 0,1 kg vizet, és 0,3 kg sót adunk: $\frac{0\mathrm{,}2x+0\mathrm{,}3}{x+0\mathrm{,}4}\cdot 100$. Vagyis a következő egyenletet írhatjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{0\mathrm{,}2x+0\mathrm{,}1}{0\mathrm{,}88x+0\mathrm{,}1}\cdot 100=\frac{0\mathrm{,}2x+0\mathrm{,}3}{x+0\mathrm{,}4}\cdot 100.}\end{array}$ Rendezés után másodfokú egyenletet kapunk: $12x^2-52x+5=0$. Ennek megoldásai: $x_1\approx 4\mathrm{,}235$, $x_2\approx 0\mathrm{,}0984$. Vagyis az eredeti oldat vagy kb. 4,235 kg, vagy kb. 0,0984 kg. A szöveg alapján ellenőrzés után kiderül, hogy ezek valóban megoldások.   2. Egy elektronikai gyárban gyártott gombelemek $3\%$-a hibás a tapasztalatok szerint. Mekkora a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztott $8\text{db}$ gombelem között $a)$ nincs hibás? $b)$ legalább két hibás van?  (12 pont)   Megoldás. $a)$ $0\mathrm{,}{97}^8\approx 0\mathrm{,}7837$ valószínűséggel nincs köztük hibás. $b)$ Nulla hibás van közöttük: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)\cdot 0\mathrm{,}{97}^8\cdot 0\mathrm{,}{03}^0$ valószínűséggel. Pontosan egy hibás van közöttük: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)\cdot 0\mathrm{,}{97}^7\cdot 0\mathrm{,}{03}^1$ valószínűséggel. Vagyis annak a valószínűsége, hogy legalább két hibás van a véletlenszerűen kiválasztott 8 db gombelem között: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)\cdot 0\mathrm{,}{97}^8\cdot 0\mathrm{,}{03}^0-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)\cdot 0\mathrm{,}{97}^7\cdot 0\mathrm{,}{03}^1\approx 0\mathrm{,}02234.}\end{array}$   3. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^{2}x\cdot \left(2\text{cos}{}^{2}x+1\right)=\frac{105}{128\text{cos}{}^{4}x+64\text{cos}{}^{2}x-64}\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   Megoldás. Az egyenlet nem értelmezhető azokra az $x$-ekre, melyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle 128\text{cos}{}^{4}x+64\text{cos}{}^{2}x-64=0.}\end{array}$ Ezt az egyenletet megoldva kapjuk: $x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, ahol $k$ egész szám. Az egyenlet jobb oldalának nevezőjét átalakítjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^{2}x\left(2\text{cos}{}^{2}x+1\right)=\frac{105}{64\text{cos}{}^{2}x\left(2\text{cos}{}^{2}x+1\right)-64}\mathrm{.}}\end{array}$ A $\text{cos}{}^{2}x\left(2\text{cos}{}^{2}x+1\right)$ kifejezés helyett új ismeretlent bevezetve az $y=\frac{105}{64y-64}$ egyenletet kapjuk. Ebből: $y_1=\frac{15}{8}$, $y_2=-\frac{7}{8}$. A $\text{cos}{}^{2}x\left(2\text{cos}{}^{2}x+1\right)=-\frac{7}{8}$ egyenlet nyilván nem vezet megoldásra (a bal oldal értéke biztosan nem negatív). A $\text{cos}{}^{2}x\left(2\text{cos}{}^{2}x+1\right)=\frac{15}{8}$ egyenletből a $\text{cos}{}^{2}x=-\frac{5}{4}$ nem ad $x$-re megoldást, a $\text{cos}{}^{2}x=\frac{3}{4}$ pedig a következő megoldásokra vezet: $x_1=\frac{\pi }{6}+m\cdot \pi$, ahol $m$ egész szám, $x_2=\frac{5\pi }{6}+n\cdot \pi$, ahol $n$ egész szám.   4. Sanyi lottózott ($90$ szám közül $5$-öt kell bejelölni, és $5$ számot húznak ki). Kiválasztott nyolc számot (a lehetséges $90$-ből), és csak ezeket felhasználva megjátszotta az összes lehetséges számötöst. $a)$ Hány X-et rajzolt összesen a szelvényekre? $b)$ A kiválasztott $8$ számból $2$-őt kihúztak. Hány kettes találata volt? $c)$ Hány hármas találata lett volna, ha a kiválasztott $8$ számból $4$-et kihúztak volna?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ A kérdés az, hogy hányféleképpen tudunk kiválasztani 8 számból 5-öt úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. Ez $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)=56$ szelvénnyel számolva $56\cdot 5=280$ szám bejelölését jelenti. $b)$ A kéttalálatos szelvényeken biztosan szerepel a két kihúzott szám, ezen kívül még három szám szerepel a maradék hat ki nem húzott számból. Tehát 6-ból kell 3-at kiválasztani a sorrendre való tekintet nélkül. Ez $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ eset. Vagyis Sanyinak 20 db kéttalálatosa volt. $c)$ A kihúzott négy számból pontosan három szerepel a háromtalálatos szelvényeken. Ezekből a számhármasokból 4 db van. A három kihúzott szám mellett mindegyik szelvényen 2 db szám szerepel a 4 db ki nem húzott számból. Tehát 4-ből kell 2-t kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. Ez $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$-féleképpen lehetséges. Tehát Sanyinak $4\cdot 6=24$ db háromtalálatosa lenne.   II. rész   5. Sík talajon áll három darab $r$ sugarú gömb úgy, hogy páronként érintik egymást. Mekkora a mindhárom gömböt és az alapsíkot is érintő gömb és a négy gömbközéppont által meghatározott tetraéder térfogatának az aránya?  (16 pont)   Megoldás. A három egyforma egymást érintő gömb közül az egyiknek a középpontja legyen $O_1$ az ábra szerint. Ugyanennek a gömbnek és az alapsíknak az érintési pontja legyen $T_1$, a három egyforma gömböt és az alapsíkot is érintő gömb középpontja $O_2$, az $O_2$ középpontú gömb és az alapsíknak az érintési pontja $T_2$, végül az $O_2$ pontból a $T_1{O}_1$ szakaszra állított merőleges talppontja $Y$. Az $O_1{T}_1$ szakasz hossza legyen $r$, az $O_2{T}_2$ szakasz hossza $x$.     Mivel az $O_1$ és az $O_2$ középpontú gömbök érintik egymást, azért $O_1{O}_2=r+x$. A $T_1{T}_2=O_{2}Y$ szakasz hossza: $\frac{2\sqrt[]{3}}{3}r$, mivel a három egyforma egymást érintő gömb középpontjai egy $2r$ oldalú szabályos háromszöget határoznak meg, és $T_1{T}_2$ e háromszög magasságának $\frac{2}{3}$ részével egyezik meg. Az $O_1{O}_{2}Y$ derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(r-x\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt[]{3}}{3}r\right)}^2={\left(r+x\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből adódik, hogy $x=\frac{r}{3}$. A gömbök középpontjai által meghatározott tetraéder alapja egy $2r$ oldalú szabályos háromszög, magassága pedig $r-x=\frac{2}{3}r$; térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T_{\text{alap}}\cdot m}{3}=\frac{{\left(2r\right)}^2\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4}\cdot \frac{2}{3}r}{3}=\frac{2\sqrt[]{3}{r}^3}{9}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $x$ sugarú gömb térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4\pi {\left(\frac{r}{3}\right)}^3}{3}=\frac{4\pi r^3}{81}\mathrm{.}}\end{array}$ A térfogatok aránya: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4\pi r^3}{81}:\frac{2\sqrt[]{3}{r}^3}{9}=\frac{2\pi \sqrt[]{3}}{27}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Tekintsük a következő $\text{R}\to \text{R}$ függvényt: $f\left(x\right)=|x^3-2x^2-8x|-3$. $a)$ Hol van a függvénynek szélsőértéke? $b)$ Írjuk fel a függvény érintőjének egyenletét az $x=3$ abszcisszájú pontjában.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Vizsgáljuk meg először a $g\left(x\right)=x^3-2x^2-8x$ függvényt. A $g$ zérushelyei: $x=-2$, $x=0$, $x=4$. A $g$ deriváltja: $g\text{'}\left(x\right)=3x^2-4x-8$, második deriváltja: $g\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-4$.     Az első derivált zérushelyei: $\frac{2\pm \sqrt[]{28}}{3}$, ezek a lehetséges szélsőértékhelyek. A második derivált segítségével megállapítható, hogy a $g$ függvénynek a $\frac{2+\sqrt[]{28}}{3}\approx 2\mathrm{,}431$ lokális minimumhelye, a $\frac{2-\sqrt[]{28}}{3}\approx -1\mathrm{,}097$ pedig lokális maximumhelye. Az $f\left(x\right)=|x^3-2x^2-8x|-3$ függvény a $g$ függvényből úgy származtatható, hogy a $g$ függvény képének az $x$ tengely alá eső részét tükrözzük az $x$ tengelyre, majd az így kapott képet $y$ tengely irányában 3 egységgel lefelé toljuk. Az $f$ függvényt vizsgálva megállapítható, hogy a $g$ függvényhez képest további három szélsőértékhely keletkezik, továbbá a $g$ függvény egyik szélsőértékének minősége is megváltozik a transzformáció következtében. Az $f$ függvény szélsőértékhelyei: ‐ Abszolút minimumhelyek: $x=-2$, $x=0$, $x=4$. ‐ Lokális maximumhelyek: $x=\frac{2+\sqrt[]{28}}{3}$, $x=\frac{2-\sqrt[]{28}}{3}$. $b)$ A $g$ függvény deriváltja az $x=3$ helyen a $g\text{'}\left(3\right)=7$ értéket veszi fel. Tehát a $g$ függvény $x=3$ abszcisszájú pontjában az érintő iránytangense $m_g=7$. Az $f$ függvény $x=3$ abszcisszájú pontjában húzott érintő iránytangense a tükrözés miatt $m_f=-7$. Az érintési pont koordinátája: $\left(3;12\right)$. A kérdéses érintő egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle y-12=-7\left(x-3\right)\mathrm{,}\text{ azaz }y=-7x+33.}\end{array}$   7. Valaki betesz a bankba 50 000 Ft-ot. Az első bank havi $0\mathrm{,}4\%$ kamatos kamatot fizetne egy éven keresztül, havonkénti tőkésítés mellett. A második bank havi $0\mathrm{,}3\%$ kamatos kamatot fizetne egy éven keresztül, havonkénti tőkésítés mellett, valamint minden negyedik hónap után megnöveli a bent lévő tőkeösszeget $0\mathrm{,}5\%$-kal. A harmadik bank fél évre $3\%$ kamatot ad, félévenkénti tőkésítéssel. $a)$ Töltsük ki a következő táblázatot ($1$ tizedes jegyre kerekítve): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6. hó vége}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Első bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{Második bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{Harmadik bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{12. hó vége}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Első bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{Második bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{Harmadik bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ $b)$ A táblázat alapján hány hónapra célszerű az első, illetve a második bankban elhelyezni a pénzünket?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6. hó vége}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Első bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 200}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 400,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 602,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 804,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 008<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 212,1}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Második bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 150}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 300,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 451,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 855,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 008,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 161,3}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Harmadik bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 000}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 000<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 000<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 000<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50 000<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 500<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{Betét}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{összege}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11. hó vége}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{12. hó vége}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Első bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 416,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 622,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 829,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{52 036,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{52 244,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{52 453,5}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Második bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 314,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 726,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 881,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{52 036,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{52 193,0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{52 611,3}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Harmadik bank}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 500<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 500<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 500<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 500<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{51 500<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{53 045<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,8</mn></mphantom></math>}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ $b)$ Az Első bankot akkor célszerű választani, ha 1, 2, 3 vagy 11 hónapra kívánja elhelyezni az összeget, a Második bankot akkor, ha 4, 5, 8, 9 vagy 10 hónapra kívánja elhelyezni a betétet. Egyébként a Harmadik bankot célszerű választani.   8. Egy mentőrepülőgép súlyos sérültet szállítva az $A\left(50;240\right)$ koordinátájú katonai támaszpont kórházába tartott (a koordináták km-ben értendők), de a nyílt tengeren műszaki hiba miatt kényszerleszállást kellett végrehajtania a $C\left(50;20\right)$ koordinátájú pontban. A mentőszolgálat másik mentőrepülőgépe ekkor éppen az $A$ támaszpont felé tartott, helyzete $D\left(160;170\right)$ volt, 160 km-re elegendő üzemanyag állt rendelkezésére, és nem szállított sérültet. A kényszerleszállástól számítva minimum mennyi idő alatt lehet a sérültet a másik repülőgéppel az $A$ támaszpont kórházába szállítani, ha tudjuk, hogy az $A$ támaszponton, illetve $B\left(210;190\right)$ koordinátájú kis szigeten van lehetőség üzemanyag felvételre, és a mentőrepülőgépek átlagsebessége 1000 km/h? Az üzemanyag felvétel (ha szükséges) és a sérült áthelyezése a másik gépre 10‐10 percet vesz igénybe.  (16 pont)   Megoldás. Az ábra szemlélteti a feladatban szereplő objektumok helyzetét. $\begin{array}{c}{\displaystyle DC=\sqrt[]{{\left(160-50\right)}^2+{\left(170-20\right)}^2}\approx 186\text{km, }}\end{array}$ ezért biztos, hogy kell tankolni. A $DC$ távolsághoz hasonlóan számíthatók a következő távolságok: $AC=220$ km, $AD\approx 130\mathrm{,}38$ km, $DB\approx 53\mathrm{,}85$ km, $BC\approx 233\mathrm{,}45$ km.     $DACA$ útvonal esetén az összes távolság $\approx 570\mathrm{,}38$ km, a $DBCA$ útvonal esetén $\approx 507\mathrm{,}28$ km. Mindkét esetben az üzemanyag felvétel és a sérült áthelyezése ugyanannyi ideig tart, tehát a rövidebb, $DBCA$ útvonalat célszerű választani. A $t=\frac{s}{v}$ képlet alapján a repülőgép ez esetben $\approx 0\mathrm{,}50728$ órát, vagyis $\approx 30\mathrm{,}44$ percet tölt a levegőben. Ehhez hozzáadva a sérült áthelyezésének és az üzemanyag felvételnek az idejét, a sérült ezen útvonal választása esetén 50,44 perc alatt kerül kórházba. Tehát a sérült legkevesebb $\approx 50\mathrm{,}44$ perc alatt juthat kórházba.   9. $a)$ Igazmondó (aki mindig igazat mond), Hazudós (aki mindig hazudik) és Bizonytalan (akiről soha nem lehet tudni, hogy éppen hazudott-e vagy nem) versenyt futottak, és úgy értek célba, hogy nem volt holtverseny. Egy matematikus, aki látta a versenyfutást, de nem ismerte őket, a következő kérdéseket tette fel nekik a verseny végén: Az elsőként beérkezőt megkérdezte: Ki lett a második? A válasz így hangzott: Igazmondó. A másodikként beérkezőt megkérdezte: Te ki vagy? A válasz ez volt: Bizonytalan. A harmadikként beérkezőt is megkérdezte: Ki ért be előtted? A válasz: Hazudós. Milyen beérkezési sorrendet állapított meg ezek után a matematikus? $b)$ Válaszoljunk a következő kérdésekre ($A$, $B$, $C$ halmazokat jelölnek): Tudjuk, hogy $A\backslash B=C$. Igaz-e, hogy $B\cup C=A$? Tudjuk, hogy $B\cup C=A$. Igaz-e, hogy $A\backslash B=C$?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az elsőként beérkező nem lehetett ,,Igazmondó'', mert ő mást mondott volna. A másodikként beérkező szintén nem lehetett ,,Igazmondó'', mert akkor nem ,,Bizonytalan''-ként mutatkozott volna be. Tehát ,,Igazmondó'' érkezett a harmadik helyen, és mivel ő igazat mond ezért biztosan ,,Hazudós'' érkezett a második helyen. Az előzőekből adódóan ,,Bizonytalan'' nyerte a futóversenyt. $b)$ Ha $A\backslash B=C$, akkor nem biztos, hogy $B\cup C=A$. Ellenpélda: $A=\left\{1;2;3\right\}$, $B=\left\{1;4;5\right\}$, $C=\left\{2;3\right\}$. Ha $B\cup C=A$, akkor nem biztos, hogy $A\backslash B=C$. Ellenpélda: $A=\left\{1;2;3\right\}$, $B=\left\{1;2\right\}$, $C=\left\{2;3\right\}$.