A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A1. Határozzuk meg az feltételt kielégítő pontok halmazának a térfogatát. A2. Alice és Bob játszanak. Felváltva vesznek el kavicsokat egy kupacból, amelyben eredetileg darab kavics van. Minden lépésben egy prímszámnál eggyel kevesebb kavicsot lehet elvenni. Alice kezd és a játékot az nyeri, aki elveszi az utolsó kavicsot. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan szám van, amelyre Bobnak van nyerő stratégiája. (Ha például , akkor Alice elvehet 6 kavicsot és így 11 marad; ha Bob most 1-et vesz el, akkor a megmaradó 10-et Alice elveheti és ezzel nyer.) A3. Az sorozatot a következőképpen definiáljuk: , ha és , ha . Bizonyítsuk be, hogy a sorozatnak létezik 2005 egymást követő tagja, amelyek mindegyike osztható -tal. A4. Adott egészre legyen . Azt mondjuk, hogy az egy permutációjának lokális maximuma van a helyen, ha
(Például ha n=5 és π az 1, 2, 3, 4, 5 helyeken rendre a 2, 1, 4, 5, 3 értékeket veszi föl, akkor π-nek a k=1 helyen 2, a k=4 helyen pedig 5 a lokális maximuma.) Átlagosan hány lokális maximuma van az S egy permutációjának, ha az átlag kiszámításakor az S összes permutációját figyelembe vesszük? A5. Legyen az n páratlan pozitív egész, a θ pedig olyan valós szám, amelyre θ/π irracionális. Legyen ak=tg(θ+kπ/n), k=1,2,...,n. Bizonyítsuk be, hogy egész szám és határozzuk meg az értékét. A6. Egy adott kör belsejében véletlenszerűen, egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül kiválasztunk négy pontot. Mekkora a valószínűsége, hogy ezek a pontok egy konvex négyszög csúcsai? B1. Bizonyítsuk be, hogy az x3+3xy+y3=1 egyenletű görbe egyetlen olyan háromelemű A, B, C ponthármast tartalmaz, amelynek pontjai különbözők és egy szabályos háromszög csúcsai. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a területét. B2. Bizonyítsuk be, hogy minden n-elemű X={x1,x2,...,xn} valós számhalmazhoz létezik az X-nek olyan nem üres S részhalmaza és olyan m egész szám, amelyekre teljesül, hogy B3. Legyen az S egy síkbeli véges ponthalmaz. Az S egy lineáris felbontásának nevezzük az S olyan A, B részhalmazaiból álló ‐ nem rendezett ‐ párokat, amelyekre A∪B=S, A∩B=∅, továbbá van olyan egyenes, amely nem tartalmaz S-beli pontot és elválasztja az A és B pontjait. (A vagy B lehet üres halmaz is.) Jelölje az S lineáris felbontásainak a számát LS. Határozzuk meg minden n-re az LS értékének maximumát az n elemű S halmazokon. B4. Álljon a Z halmaz az Rn azon pontjaiból, amelyek minden egyes koordinátája 0 vagy 1. (A Z halmaznak ekkor 2n eleme van, amelyek az n-dimenziós hiperkocka csúcsai.) Az Rn, mint vektortér egy V alterére jelöljük Z(V)-vel a Z azon elemeinek a számát, amelyek benne vannak V-ben. Legyen a 0≤k≤n adott egész. Határozzuk meg a V∩Z halmaz elemszámának a maximumát a k-dimenziós V⊂Rn alterek halmazán. B5. Adott folytonos f:[0;1]→R függvényre legyen | I(f)=∫01x2f(x)dx és J(f)=∫01x(f(x))2dx. | Mennyi I(f)-J(f) maximuma a fenti f függvények halmazán? B6. Legyen k>1 adott egész szám. Legyen a0>0 és legyen ha n≥0. Határozzuk meg értékét. A megoldások a következő oldalon találhatók: http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml. |
|