Cím:	A 2006. évi William Lowell Putnam verseny feladatai
Füzet:	2007/február, 74 - 75. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   A1. Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x^2+y^2+z^2+8\right)}^2\le 36\left(x^2+y^2\right)}\end{array}$ feltételt kielégítő $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ pontok halmazának a térfogatát.   A2. Alice és Bob játszanak. Felváltva vesznek el kavicsokat egy kupacból, amelyben eredetileg $n$ darab kavics van. Minden lépésben egy prímszámnál eggyel kevesebb kavicsot lehet elvenni. Alice kezd és a játékot az nyeri, aki elveszi az utolsó kavicsot. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan $n$ szám van, amelyre Bobnak van nyerő stratégiája. (Ha például $n=17$, akkor Alice elvehet 6 kavicsot és így 11 marad; ha Bob most 1-et vesz el, akkor a megmaradó 10-et Alice elveheti és ezzel nyer.)   A3. Az $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,2006,2007,2009,2012,2016,}\text{...}$ sorozatot a következőképpen definiáljuk: $x_k=k$, ha $k=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,2006}$ és $x_{k+1}=x_k+x_{k-2005}$, ha $k\ge 2006$. Bizonyítsuk be, hogy a sorozatnak létezik 2005 egymást követő tagja, amelyek mindegyike osztható $2006$-tal.   A4. Adott $n>1$ egészre legyen $S=\{\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n\}$. Azt mondjuk, hogy az $S$ egy $\pi$ permutációjának lokális maximuma van a $k\in S$ helyen, ha ${\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>i</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow><mo stretchy="false">></mo><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></math>;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow><mo stretchy="false"><</mo><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math> és <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow><mo stretchy="false">></mo><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false"><</mo><mi>n</mi></math>;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow><mo stretchy="false"><</mo><mi>π</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>n</mi></math>. }}\hfill \end{array}}$ (Például ha $n=5$ és $\pi$ az 1, 2, 3, 4, 5 helyeken rendre a 2, 1, 4, 5, 3 értékeket veszi föl, akkor $\pi$-nek a $k=1$ helyen $2$, a $k=4$ helyen pedig $5$ a lokális maximuma.) Átlagosan hány lokális maximuma van az $S$ egy permutációjának, ha az átlag kiszámításakor az $S$ összes permutációját figyelembe vesszük?   A5. Legyen az $n$ páratlan pozitív egész, a $\theta$ pedig olyan valós szám, amelyre $\theta /\pi$ irracionális. Legyen $a_k=\text{tg}\left(\theta +k\pi /n\right)$, $k=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\text{...}+a_n}{a_1{a}_2\cdots a_n}}\end{array}$ egész szám és határozzuk meg az értékét.   A6. Egy adott kör belsejében véletlenszerűen, egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül kiválasztunk négy pontot. Mekkora a valószínűsége, hogy ezek a pontok egy konvex négyszög csúcsai?   B1. Bizonyítsuk be, hogy az $x^3+3xy+y^3=1$ egyenletű görbe egyetlen olyan háromelemű $A$, $B$, $C$ ponthármast tartalmaz, amelynek pontjai különbözők és egy szabályos háromszög csúcsai. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a területét.   B2. Bizonyítsuk be, hogy minden $n$-elemű $X=\left\{x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\right\}$ valós számhalmazhoz létezik az $X$-nek olyan nem üres $S$ részhalmaza és olyan $m$ egész szám, amelyekre teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle |m+\sum _{s\in S}^{}s|\le \frac{1}{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$   B3. Legyen az $S$ egy síkbeli véges ponthalmaz. Az $S$ egy lineáris felbontásának nevezzük az $S$ olyan $A$, $B$ részhalmazaiból álló ‐ nem rendezett ‐ párokat, amelyekre $A\cup B=S$, $A\cap B=\varnothing$, továbbá van olyan egyenes, amely nem tartalmaz $S$-beli pontot és elválasztja az $A$ és $B$ pontjait. ($A$ vagy $B$ lehet üres halmaz is.) Jelölje az $S$ lineáris felbontásainak a számát $L_S$. Határozzuk meg minden $n$-re az $L_S$ értékének maximumát az $n$ elemű $S$ halmazokon.   B4. Álljon a $\text{Z}$ halmaz az ${\text{R}}^n$ azon pontjaiból, amelyek minden egyes koordinátája $0$ vagy $1$. (A $\text{Z}$ halmaznak ekkor $2^n$ eleme van, amelyek az $n$-dimenziós hiperkocka csúcsai.) Az ${\text{R}}^n$, mint vektortér egy $V$ alterére jelöljük $Z\left(V\right)$-vel a $\text{Z}$ azon elemeinek a számát, amelyek benne vannak $V$-ben. Legyen a $0\le k\le n$ adott egész. Határozzuk meg a $V\cap \text{Z}$ halmaz elemszámának a maximumát a $k$-dimenziós $V\subset {\text{R}}^n$ alterek halmazán.   B5. Adott folytonos $f:\left[0;1\right]\to \text{R}$ függvényre legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle I\left(f\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}f\left(x\right)dx\text{ és }J\left(f\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{\left(f\left(x\right)\right)}^{2}dx\mathrm{.}}\end{array}$ Mennyi $I\left(f\right)-J\left(f\right)$ maximuma a fenti $f$ függvények halmazán?   B6. Legyen $k>1$ adott egész szám. Legyen $a_0>0$ és legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt[k]{a_n}}}\end{array}$ ha $n\ge 0$. Határozzuk meg $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{a_n^{k+1}}{n^k}}\end{array}$ értékét. 1A megoldások a következő oldalon találhatók: http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml.