Kezdőlap


Cím:	Hőfelvétel vagy hőleadás?
Szerző(k):	Gálfi László
Füzet:	2009/április, 235 - 236. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég ritkán, de azért találkozunk olyan hőtani körfolyamatot vizsgáló feladattal, amelyben a körfolyamat egyik (nem izotermikus, nem adiabatikus) szakaszán a gáz térfogata nő, nyomása csökken.¹ Ilyen például az 1. ábrán látható, a $p$ ‐ $V$ diagramon $A B$ egyenes szakasszal megadott folyamat.

1. ábra

Ilyen esetekben az okozza a nehézséget, hogy meg kell határoznunk: a szakasz melyik részén vesz fel, és melyiken ad le hőt a gáz. Tegyük fel, hogy a szakasz a

C

pontban érint egy

p V^{κ} = állandó

egyenlettel megadható adiabatát. Belátjuk, hogy a gáz az

A C

szakaszon felvesz, a

C B

szakaszon lead hőt.
Rajzoljuk meg az

A

ponton átmenő adiabatát, ennek

C'

pontjában ugyanakkora a gáz térfogata, mint a

C

pontban. Az

A C'

úton nincs hőfelvétel (se hőleadás), a gáz munkát végez, hőmérséklete (belső energiája) tehát csökken. Az

A C

úton a munkavégzés (a görbe alatti terület) nagyobb, mint az

A C'

úton, továbbá a gáz hőmérséklete (belső energiája)

C

-ben nagyobb, mint

C'

-ben; ez csak úgy lehetséges, ha a gáz hőt vesz fel az

A C

szakaszon.
Tekintsük most a

C

-n átmenő adiabata

C B'

szakaszát;

B'

-ben és

B

-ben a gáz térfogata ugyanakkora. A

C B'

úton hőfelvétel (hőleadás) nincs, a munkavégzés nagyobb, mint a

C B

úton, a gáz hőmérséklete (belső energiája) pedig

B

-ben kisebb, mint

B'

-ben. Ez csak úgy lehetséges, hogy a gáz a

C B

szakaszon hőt ad le.

2. ábra

Végezzünk egy kis számítást is! Legyen az

A

-n és

B

-n átmenő egyenes egyenlete (lásd a 2. ábrát)

\begin{matrix} p = p_{0} - a \cdot V (a > 0), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{Δ p}{Δ V} = - a . \end{matrix}

A munkavégzés a

P Q

szakaszon

\begin{matrix} (p + \frac{Δ p}{2}) Δ V, \end{matrix}

ami nagyon kis változás esetén (a másodrendűen kicsi tag elhagyásával)

p \cdot Δ V

-vel közelíthető. A belső energia megváltozása:

\begin{matrix} Δ E & = \frac{f}{2} n R Δ T = \frac{f}{2} n R Δ (\frac{p V}{n R}) = \frac{f}{2} (p Δ V + V Δ p) = \frac{f}{2} (p Δ V - a V Δ V) = \\ = \frac{f}{2} (p - a V) Δ V, \end{matrix}

ahol

n

a gáz mólszáma.
A hőtan első főtétele szerint a gáz által felvett hő:

\begin{matrix} Q = Δ E + p Δ V = Δ V [\frac{f}{2} (p - a V) + p] . \end{matrix}

Q > 0

, azaz

\frac{f}{2} (p - a V) + p > 0

, akkor a gáz hőt vesz fel. Rendezve ezt az egyenlőtlenséget azt kapjuk, hogy a hőfelvétel feltétele:

\begin{matrix} \frac{f + 2}{f} \cdot \frac{p}{V} > a . \end{matrix}

Ideális gázra

κ = \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{f + 2}{f}

, így a táguló gáz hőfelvételének feltételeként a

\begin{matrix} κ \frac{p}{V} > a \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutottunk. Az adiabata egyenlete

p V^{κ} =

állandó, ennek meredeksége

- κ \frac{p}{V}

. (Ezt differenciálszámítás segítségével láthatjuk be, vagy abból a megfontolásból, hogy az adiabata mentén nincs hőfelvétel (se hőleadás), tehát a fentebb levezetett egyenlőtlenség az adiabata mentén haladva egyenlőségbe megy át.)
Ha tehát az állapotváltozást a

p

‐

V

diagramon megadó egyenes valamely pontjában az ottani adiabata meredeksége kisebb, mint az egyenes meredeksége, akkor a pont környezetében a növekvő térfogatú gáz hőt vesz fel, a csökkenő térfogatú hőt ad le.

¹Lásd például a jelen számunkban kitűzött P. 4160. számú feladatot!