A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a egyenlőtlenséget. (12 pont)
Megoldás. A helyére -t helyettesítve az egyenlőtlenség alakba írható. Oszthatjuk mindkét oldalt -val, mivel minden esetén. Az egyenlőtlenséget alakban is írhatjuk. Az egyenlőtlenség megoldása: , azaz . Mivel minden esetén, azért .
2. Egy háromszög leghosszabb oldalának hossza , legrövidebb oldalának hossza pedig . A háromszög legnagyobb szöge kétszer akkora, mint a legkisebb. Mekkorák a háromszög szögei és hiányzó oldala? (12 pont)
Megoldás. A leghosszabb oldallal szemben van a legnagyobb szög, a legkisebbel szemben a legkisebb, tehát ha és , akkor . Felírható a szinusztétel: Felhasználva, hogy , kapjuk, hogy , azaz . Ebből , és . Ezek megfelelnek a feltételnek. A hiányzó oldalt koszinusztétellel számolhatjuk ki: .
3. Anna és Bence egy játékban négy szabályos dobókockát dobál. Anna nyer, ha a dobott számok között vannak egyenlők, Bence nyer, ha a dobott számok között van legalább egy -os. Amennyiben mindkét feltétel teljesül, a játék döntetlen; ha egyik feltétel sem teljesül, tovább játszanak. Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre? (7 pont) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy játék döntetlenre végződik? (6 pont)
Megoldás. Mindkettőjük esetében az összes eset: . Minden dobás különböző esetben lesz, ezért az Anna számára kedvező esetek száma: . Az, hogy a dobások között nincs 6-os, esetben fordulhat elő, ezért a Bence számára kedvező esetek száma: . Fentiekből következően Annának van nagyobb esélye nyerni. Legyen azoknak a dobásoknak a száma, melyeknél Anna nyer, azoknak a száma, amikor Bence, a döntetlen esetek száma és azoké, amikor egyik sem teljesül (azaz sem 6-os, sem egyforma nincs a 4 dobás között). Tudjuk az részből, hogy , és , amiből . Továbbá (minden dobás különböző, és nincs 6-os közte), ezért . A keresett valószínűség:
4. Az háromszög oldalainak hossza: , , . A háromszög köré írható kör középpontja legyen , a beírható kör középpontja . Számítsuk ki a szakasz hosszát. (14 pont)
Megoldás. Mivel , a háromszög derékszögű, így a pont az átfogó felezőpontja. Használjuk az ábra jelöléseit.
A beírható kör sugara: , a derékszögű háromszög területe: , a félkerülete: . A összefüggés alapján: . Tudjuk, hogy négyszög négyzet, így , ezért , amiből következik. A derékszögű háromszögben:
II. rész 5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet: | | (16 pont)
Megoldás. A gyökjel alatti kifejezést alakba írva látható, hogy , mivel , így a bal oldal: minden értelmezett , esetén. A jobb oldali kifejezés miatt egy számnak és reciprokának az összege, amiről tudjuk, hogy pozitív szám esetén nagyobb vagy egyenlő 2-nél (egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a szám 1), negatív számok esetén pedig kisebb vagy egyenlő -nél (ez most nem jöhet szóba, hiszen a bal oldal nem negatív). Az egyenlőség tehát csak úgy állhat fenn, ha a bal és a jobb oldal értéke is pontosan 2. Egyrészt , azaz , másrészt , azaz . Az így kapott egyenletrendszer megoldása az , számpár, amely megoldása az eredeti egyenletnek is.
6. Egy élű kockát átlyukasztunk az egyik lapjára merőlegesen. A kivágott rész egy olyan négyzetes oszlop, melynek alaplapja egy élű négyzet, magassága pedig . Igazoljuk, hogy ha a keletkezett test térfogata az eredeti kocka térfogatánál -kal kisebb, akkor felszíne az eredeti felszínnél -kal nagyobb. Igazoljuk, hogy az előző állításban más szám nem írható a helyére, azaz -os térfogatcsökkenés semmilyen és esetén nem járhat -os felszínnövekedéssel, ha . (16 pont)
Megoldás. Az eredeti kocka térfogata: , a négyzetes oszlopé: . A feltétel szerint , amiből , azaz .
Az eredeti kocka felszíne: , a négyzetes oszlop kivágása után maradt test felszíne: . Az helyettesítéssel , illetve adódik. Ezzel az állítást igazoltuk, hiszen . Ha a kocka térfogata -kal csökken, akkor Ha a felszín -kal nő, akkor amiből helyettesítéssel rendezés után adódik.
7. Egy osztály tanulója írt dolgozatot matematikából. A dolgozatokra kapott osztályzatok módusza , mediánja , terjedelme , átlaga . Tudjuk továbbá, hogy -gyel több -es volt, mint -ös és a jegyek szórása kisebb, mint . Határozzuk meg a dolgozatra kapott osztályzatok gyakoriságát. (16 pont)
Megoldás. A 3,5-es mediánból következik, hogy az osztályzatokat növekvő sorrendbe rendezve a két középső 3 és 4 (2 és 5 nem lehet, mert úgy nem lenne 4-es). Eszerint 15 db 4-es és 5-ös van, és mivel ezek közül 1-gyel több a 4-es, ez 8 db 4-est és 7 db 5-öst jelent. Mivel az átlag 3,2, a jegyek összege , ebből a 4-esek és 5-ösök összege , azaz az 1-es, 2-es, 3-as osztályzatok összege 29. Mivel 15 db 2-es összege 30 lenne, azért a jegyek között 1-gyel több 1-es van, mint 3-as, másrészt mivel 2 a módusz, a 2-esek száma legalább 9. A fentiek csak kétféleképpen teljesülhetnek:
(A 14 db 2-es, 0 db 3-as és 1 db 1-es nem lehet, hiszen láttuk, hogy van 3-as.) Ha a fenti két esetben kiszámítjuk a jegyek szórását, azt kapjuk, hogy csak a II. esetben kisebb 1,36-nál. Az egyes osztályzatok gyakorisága tehát: 2 db 1-es, 12 db 2-es, 1 db 3-as, 8 db 4-es és 7 db 5-ös.
8. Az egyenes egyenlete: , a parabola egyenlete: . Az és a pontok illeszkednek az egyenesre, a pont pedig a parabolára. Az pont abszcisszája , a pont ordinátája . Adjuk meg a pont koordinátáit úgy, hogy az háromszög területe a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez a minimális terület? (16 pont)
Megoldás. Az egyenes egyenletébe behelyettesítéssel megkapjuk az és pontok hiányzó koordinátáit: , . Az háromszög területe akkor lesz a legkisebb, ha az oldalhoz tartozó magasság a legkisebb. A feladat tehát megkeresni a parabolának az egyeneshez legközelebb fekvő pontját. Ha az -vel párhuzamos, parabolát érintő egyenes, akkor a keresett pont az egyenesnek az a pontja, melyben a parabolát érinti.
Mivel , azért (), és ezt egyenletébe helyettesítve rendezés után az egyenletet kapjuk. Az egyenes akkor és csak akkor érinti a parabolát, ha a fenti egyenlet diszkriminánsa 0, azaz , amiből . Ezt a fenti egyenletbe helyettesítve adódik a megfelelő pontnak először az , majd az koordinátája: . Mivel , a oldalhoz tartozó magasság pedig 6, azért az háromszög területe: .
9. Három kétjegyű természetes szám egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja, a három szám összege . A három számot növekvő sorrendben egymás mögé írva, a kapott -jegyű szám osztható -cel. Melyik ez a három szám? (16 pont)
Megoldás. A három kétjegyű szám közül a középső , az első , a harmadik (, ). A belőlük kapott hatjegyű szám: , azaz a műveletek elvégzése után | |
Mivel , azért , ami csak úgy lehet, ha A feltétel miatt a csak 2009, vagy lehet. Az első két esetben -re nem egész számot kapunk, a harmadik esetben . Tehát a három kétjegyű szám: 59, 66, 73, a belőlük alkotott hatjegyű szám pedig: 596 673. |