Cím: Tudományos népszerűsítő előadások a Fővárosi Fazekas Mihály Gimnáziumban
Szerző(k):  Hraskó András 
Füzet: 2009/március, 139 - 140. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2009. március 24-én kedden 16 órától Gács András mesél a Fővárosi Fazekas Mihály Gimnázium Nagytermében egy olyan matematikai területről, mely a kombinatorika, algebra és geometria határán van. Alább az előadó által írt beharangozó olvasható.

 
Véges geometriák
 

1. Maximum hány kártyát tehetünk ki a SET játékban úgy, hogy egyetlen set se legyen köztük?1
 
 

Az ábrán látható rácsban legfeljebb hány rácspontot színezhetünk kékre úgy, hogy ne jöjjön létre olyan téglalap, amelynek minden csúcsa kék és oldalai rácsvonalak?
 
 

3. A 13-as totón (+1 mérkőzés nincs) hány szelvény kell a biztos legalább 12 találathoz?
4. Három ember fejére egy-egy fekete vagy fehér sapkát tesz valaki. Mindenki látja a két társa fejét, de senki nem látja a sajátját. Miután körülnéznek, a következő szavak egyikét kell felírniuk egy cédulára: fekete, fehér, passz. Ha mindenki vagy passzt ír vagy a saját színét, de nem passzolnak mindhárman, akkor hatalmas pénz üti a markukat. Milyen (előre megbeszélt) stratégiával van a legnagyobb esélyük a sikerre? És ha nem három, hanem tizenöt ember van? (A feladat Pósa Lajostól származik).
5. Tekintsük az {1,2,3,4} számok alábbi tizenkét permutációját:
1234,1342,1423,2143,2314,2431,3124,3241,3412,4132,4213,4321.
Ha megadunk két számot és előírjuk, hogy hányadik helyeken forduljanak elő, akkor a fenti listában pontosan egy megfelelő permutációt találunk. Pl. a 2-es a 3. helyen és egyúttal a 4-es a 2. helyen az 1423 permutációban és csak abban van. Ez négynél több számra is lehetséges? Meg lehet-e adni az A={1,2,...,n} halmaznak permutációit úgy, hogy bármely i, j, k, l; ij, kl A-beli elemekre pontosan egy olyan permutációnk legyen, melynek i. helyén k, j. helyén pedig l van?
6. Ha a világegyetem nem a valós számokkal, hanem egy hatalmas p prímszámmal lenne koordinátázva, azaz a koordináták értéke csak egy 0 és p-1 közti egész szám lehetne úgy, hogy minden számítást modulo p kell végezni, akkor milyen pályán mozognának az égitestek?
Az előadásban, többek között a fenti példák közös gyökerét vizsgálva, kétféle (algebrai, illetve kombinatorikai) szemszögből próbáljuk megvilágítani, mik is azok a véges geometriák.
Friss információk a http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/ linken olvashatók. Az iskola címe: 1082 Budapest, Horváth Mihály tér 8.
1A játékot lásd a http://www.setgame.com/set/ weboldalon.
A játékról cikk jelent meg lapunkban: Deme-Farkas Rita: Variációk a SET témájára, KöMaL, 2008/2., 71‐75. oldal.