A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. Egy kerékpáros útjának első felét 12 km/h, a másik felét 18 km/h sebességgel tette meg. Visszafelé szeretne egyenletes sebességgel haladni és ugyanannyi idő alatt megtenni az utat, mint odafelé. Mekkora legyen a sebessége? (11 pont)
Megoldás. Legyen az út hossza km. Ekkor a kerékpáros az útjának első felét h, a másik felét pedig h alatt tette meg. Szeretné a visszautat, vagyis a km utat h alatt megtenni. Ekkor a sebessége: Vagyis 14,4 km/h legyen a kerékpáros sebessége visszafelé.
2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán: | | (13 pont) |
Megoldás. Az első egyenletet írhatjuk szorzatalakban: . Ebből következik, hogy vagy . Mindkét esetben a második egyenletbe helyettesítjük be az -re kapott kifejezést. Az első esetben: . Az ebből kapott értékekhez kiszámítjuk az -et is: , , , . A második esetben: . Ebből az egyenletből nem kapunk egész megoldásokat. Az egyenletrendszer megoldásai: , és , .
3. Az szakaszon vegyünk fel egy pontot, amelyre , . Az szakasz ugyanazon oldalára megrajzoljuk az és a négyzetet. A egyenest a egyenes a pontban, az egyenes pedig a pontban metszi. Adjuk meg és ismeretében a és a szakasz hosszát. (13 pont)
Megoldás. A szöveg alapján elkészített ábrán: . Felírhatjuk a megfelelő oldalak arányát: Ebből kapjuk, hogy .
Az előzőekhez hasonlóan: . Felírhatjuk a megfelelő oldalak arányát: , azaz . Ebből kapjuk, hogy . Mindebből az is következik, hogy .
4. Hány darab -nél nagyobb, de -nél kisebb tagja van az sorozatnak? (14 pont)
Megoldás. A következő egyenlőtlenségrendszer pozitív egész megoldásainak a számát kell meghatároznunk: , azaz . A 2 és a 3 logaritmus segítségével felírható: . Az lg függvény növekedő, ezért: , vagyis . A megfelelő értékek: , vagyis 899 db pozitív egész megoldása van az egyenlőtlenségrendszernek.
II. rész
5. Koordináta-rendszerben adott az és a pont. Adjuk meg az tengelyen azt a pontot, amelyre és az tengelyen azt a pontot, amelyre ; (5 pont) az pontot, amelyre minimális; (5 pont) a pontot, amelyre minimális. (6 pont)
Megoldás. Az szakasz felezőmerőlegesének minden pontjára teljesül, hogy az -tól és a -től vett távolsága egyenlő. Ezért ennek az egyenesnek és a tengelyeknek a közös pontját kell meghatároznunk.
Az szakasz felezőpontja: . Az egyenes egy normálvektora: . Felírhatjuk az egyenes egyenletét: . Ez az egyenes a pontban metszi az tengelyt, és a pontban metszi az tengelyt. Ezek a keresett pontok. Az pont tengelyre vett tükörképe . Felírhatjuk az egyenes egyenletét: . Ez az egyenes a megfelelő pontban metszi az tengelyt (ezt a tengelyes tükrözés tulajdonságainak felhasználásával beláthatjuk), vagyis . Legyen a . Ekkor a minimumhelyét keressük. A kifejezést az átalakítások után a , illetve a alakra hozhatjuk, amely esetén lesz minimális. A keresett pont: .
6. Két szabályos dobókockával dobunk, a citromsárgával dobott érték legyen , a narancssárgával dobott pedig legyen . Mekkora a valószínűsége annak, hogy a egyenletnek két egész gyöke lesz? (8 pont) Három szabályos dobókockával dobunk, a pirossal dobott érték legyen , a fehérrel dobott legyen , a zölddel dobott pedig legyen . Mekkora a valószínűsége annak, hogy a egyenletnek két különböző gyöke lesz és ezek egymás reciprokai? (8 pont)
Megoldás. Az értékének négyzetszámnak kellene lennie. Mivel a dobott számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ezért a hányados megfelelő értékei: 1 és 4. A kedvező eseteket a táblázatból kiolvashatjuk.
Az összes eset száma 36, a kedvező esetek száma pedig 7. A keresett valószínűség: 736. b) Ha a két gyök egymás reciproka, akkor a szorzatuk 1, vagyis zp=1, azaz p=z. Ez a feladathoz szükséges feltétel. Azt is szeretnénk biztosítani, hogy legyen két különböző gyöke az egyenletnek, vagyis a diszkriminánsa legyen pozitív: f2-4pz>0. Ha p=z=1, akkor f lehetséges értékei: 3, 4, 5, 6. Ha p=z=2, akkor f lehetséges értékei: 5, 6. A további p=z esetekhez már nincs megfelelő f. Vagyis a jó számhármasok száma: 6. Három különböző kockával dobva az összes eset száma: 63. A keresett valószínűség:
7. a) Mutassuk meg, hogy az y=x3+(a-3)x2-3x+2 görbesereg minden tagja egy ponton megy át. Adjuk meg ennek a fixpontnak a koordinátáit. (6 pont) b) Hogyan kell megválasztani az a paraméter értékét, hogy a hozzá tartozó görbe x0=3 pontjában húzott érintője áthaladjon a (0;2) ponton? (10 pont)
Megoldás. a) Két tetszőleges a értékhez tartozó görbe közös pontja megadja a fix pontot. Legyen a=0, illetve a=1. Ha a=0, akkor y=x3-3x2-3x+2. Ha a=1, akkor y=x3-2x2-3x+2 (1. ábra).
1. ábra A két görbe közös pontja: P(0;2) (A két egyenlet kivonásával kaptuk meg a közös pont koordinátáit). Ez valóban kielégíti a görbesereg minden tagjának egyenletét. b) Felhasználjuk, hogy a keresett görbe x0=3 pontjához tartozó érintőjének meredekségét a derivált helyettesítési értéke adja: Ebből f'(3)=6a+6=me. Az érintési pont második koordinátája f(3)=9a-7, ezért az érintési pont E(3;9a-7). Az érintő egyenlete az a paraméter függvényében y-9a+7=(6a+6)⋅(x-3). Mivel az érintőnek át kell mennie a P(0;2) ponton, azért 9-9a=-18a-18, amiből a=-3. A görbe egyenlete y=x3-6x2-3x+2, az érintési pont E(3;-34), és az érintő egyenlete y=-12x+2 (2. ábra).
2. ábra 8. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 2, a befogókhoz hozzáírt köreinek sugara 3 és 10. Mekkora az átfogóhoz hozzáírt kör sugara? (16 pont)
Megoldás. Ha elkészítjük az ábrát (és a szokásos jelöléseket használjuk), akkor könnyen igazolható, hogy ϱa=s-b és ϱb=s-a. A két összefüggés összeadásával kapjuk, hogy ϱa+ϱb=c. A megadott adatok szerint: c=13.
Derékszögű háromszög esetén ϱc=s. Ha a háromszög beírt körének a BC oldallal vett érintési pontja és a B csúcs közti távolság x, akkor: (x+2)2+(15-x)2=169, amiből x2-13x+30=0, x1=10, x2=3. Innen a=5, b=12. A derékszögű háromszög mindhárom oldalát ismerve az átfogóhoz hozzáírt kör sugarát kiszámolhatjuk: ϱc=s=5+12+132=15.
Megjegyzés. Általában is megmutathatjuk, hogy derékszögű háromszög esetén: ϱa+ϱb+ϱ=ϱc.
9. Az origó középpontú 13 sugarú körvonalra illeszkedő 12 darab rácspont (olyan pont, amelyek mindkét koordinátája egész szám) meghatároz egy tizenkétszöget. a) Az így kapott síkidom érintőtizenkétszög? (5 pont) b) Számítsuk ki a tizenkétszög területét. (7 pont) c) Legyen egy 13 magasságú egyenes gúla alaplapja ez a tizenkétszög. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? (4 pont)
Megoldás. a) A tizenkétszög három szomszédos csúcsa: A(13;0), B(12;5), C(5;12). Ha érintőtizenkétszög lenne, akkor lenne beírt köre. Egy origó középpontú körnek érintenie kellene az AB=26 és a BC=72 hosszúságú oldalakat is. Az OAB egyenlő szárú háromszögben az O-ból húzható OT1 magasság hosszát Pitagorasz-tétellel kiszámíthatjuk (1. ábra):
1. ábra Az OBC egyenlő szárú háromszögben az O-ból húzható OT2 magasság hosszát is a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk ki: Mivel OT1≠OT2, így nincs beírt köre a tizenkétszögnek, vagyis nem érintőtizenkétszög. b) A feladatban szereplő tizenkétszög 8 db OAB háromszöggel egybevágó, és 4 db OBC háromszöggel egybevágó háromszögből rakható össze. Ezen egyenlő szárú háromszögek alapjainak és az alapokhoz tartozó magasságoknak ismeretében kiszámítjuk a területüket: | tOAB=26⋅5⋅1322=652,tOBC=72⋅17222=1192. | Az előzőek alapján a tizenkétszög területe: | T=8⋅tOAB+4⋅tOBC=8⋅652+4⋅1192=498. |
c) A kúp csúcsa legyen P. Az eddigi jelöléseket is használva a POT1 és a POT2 derékszögű háromszögekből kapjuk a keresett szögek tangensét. (Csak kétféle dőlésű oldallap van, 2. ábra.)
tgα1=POOT1=135⋅132≈1,0198,amibőlα1≈45,56∘.tgα2=POOT2=131722≈1,0815,amibőlα2≈47,24∘.
2. ábra |