Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Darnai István
Füzet:	2009/február, 82 - 83. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Egy focicsapat 20 fős keretében 3 kapus, 6 hátvéd, 7 középpályás és 4 csatár van. Az egyik mérkőzésen 1 kapus, 4 hátvéd, 3 középpályás és 3 csatár fog szerepelni. $a)$ Hányféleképpen állíthatja ki az edző a kezdőcsapatot?  (6 pont) $b)$ Az edző legalább 40 pontot szeretne elérni az első 15 összecsapáson. Hányféleképpen történhet ez meg, ha nem számít a megszerzett pontok sorrendje? (A győzelemért 3, a döntetlenért 1, a vereségért 0 pont jár.)  (5 pont)   2. Egy osztály félévi matematikajegyei a következőképpen alakultak:   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline {\displaystyle \text{osztályzat}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}& \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{4}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}\\ {\displaystyle \text{gyakoriság}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{10}}& \hfill {\displaystyle \text{7}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}& \hfill {\displaystyle }\\ \hline\end{array}}$   $a)$ Hányan kaptak jelest, ha tudjuk, hogy az osztályátlag 3,2 és 3,3 közé esik és az osztálylétszám páros?  (9 pont) $b)$ Határozzuk meg az osztályzatok móduszát és mediánját.  (4 pont)   3. Egy 36 fős osztály ötéves érettségi találkozóján 32-en jelentek meg. Az elmondottakból kiderült, hogy a három leggyakoribb nyári úti cél Erdély, a Zemplén és az Őrség volt. Erdélyben 18-an nyaraltak, az Őrségben 21-en, míg a Zemplént 17-en választották. 11-en voltak Erdélyben és az Őrségben, 9-en az Őrségben és a Zemplénben, míg 8-an Erdélyben és a Zemplénben. Ugyanannyian vannak azok, akik mindhárom helyen nyaraltak már, mint azok, akik a felsoroltak egyikén sem jártak. $a)$ Készítsünk Venn-diagrammot.  (9 pont) $b)$ Mekkora a valószínűsége, hogy egy tanulót véletlenszerűen kiválasztva legalább két helyen nyaralt már a felsoroltak közül?  (4 pont)   4. Adott az $ABCDE$ 10 cm oldalhosszúságú szabályos ötszög, és az $A$ középpontú $k$ kör, amely érinti a $CD$ oldalt. Legyen a kör és $DE$ metszéspontja $F$. Mekkora az $EF$ távolság?  (14 pont)   II. rész     5. Agyagból szeretnénk csonkakúp alakú bögrét készíteni. Az alapkör belső átmérője 6 cm, a fedőköré 9 cm, a bögre oldala a vízszintessel ${80}^{\circ }$-os szöget zár be. $a)$ Hány deciliter folyadék fér a bögrébe?  (6 pont) A fedőkör külső átmérője 9,3 cm, a bögre fala mindenütt azonos vastagságú, az alja 4 mm vastag, a fülét 1,5 cm átmérőjű 15 cm magas egyenes körhengerből készítik. Az agyag sűrűsége 2,3 g/cm${}^3$. $b)$ Mennyi 10 000 bögre össztömege? (A tömeget kg-ban adjuk meg.)  (10 pont)   6. $a)$ Határozzuk meg $p$ értékét úgy, hogy a $9x^2+\left(p+16\right)x+2\mathrm{,}4p+1$ kifejezés teljes négyzet legyen.  (9 pont) $b)$ Számoljuk ki a $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}\left(9x^2+66x+121\right)dx}\end{array}$ kifejezés értékét.  (7 pont)   7. Egy 15 millió lakosú országban egy cég vizsgálja a televízióműsorok nézettségét. 1500 háztartás tévékészülékeit szerelték fel egy olyan berendezéssel, amely mindig rögzíti, hogy ki, mikor, melyik csatorna adását nézte. Az így figyelt 3200 emberből ‐ akik nem- és korbeli összetétele a valóságot tükrözi ‐ tudják kiszámítani a nézettségi adatokat. A mintában szereplő 3200 fő kor és nem szerinti eloszlását az alábbi táblázat mutatja.   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0‐17}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{18‐27}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{28‐38}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{39‐49}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{50‐65}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{66‐}}\hfill \\ {\displaystyle \text{nők}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{540}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{240}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{220}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{290}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{110}}\hfill \\ {\displaystyle \text{férfiak}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{520}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{230}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{210}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{270}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Töltsük ki a táblázat hiányzó adatait, ha tudjuk, hogy a 65 évnél idősebb férfiak száma 375 000, és a vizsgált személyek között 100-zal több a nő, mint a férfi.  (6 pont) $b)$ A szombat délelőtti gyerekműsort a minta 70 tagja nézte. Hány nézőt jelent ez országosan?  (2 pont) $c)$ Ha ebben az időben 1,7 millióan tévéztek, akkor az éppen tévézők hány százaléka nézte a gyerekműsort?  (2 pont) $d)$ Egy műsor nézettsége jó, ha az éppen akkor tévézők legalább 25%-a azt nézi. Egy péntek esti vetélkedőműsort 504-en néztek meg a mintából. Jó-e a műsor nézettsége, ha a lakosság 60%-a tévézett ekkor?  (6 pont)   8. Legyen $A$ halmaz a $\left]-\frac{9\pi }{4};2\pi \right]$, $B$ halmaz pedig a $\left[\frac{\pi }{6};\frac{11\pi }{2}\right[$ intervallum. Adjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(7\text{sin}x-2\right)}^2={\left(5\text{sin}x-6\right)}^2-4\left(\text{sin}x+2\right)}\end{array}$ egyenlet megoldásait az $A\backslash B$ és az $A\cap B$ halmazokon.  (16 pont)   9. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\text{log}{}_{21}\left(3^x+1\right)=x\cdot \text{log}{}_{21}7+\text{log}{}_{21}756.}\end{array}$  (16 pont)