Cím: A 2008. évi WILLIAM LOWELL PUTNAM verseny feladatai
Füzet: 2009/február, 80 - 81. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1
A1. Az f:R2→R függvényre minden valós x, y, z esetén f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan g:R→R függvény, amelyre f(x,y)=g(x)-g(y) teljesül minden valós x és y esetén.

 
A2. Aladár és Barbara a következő játékot játsszák: Felváltva töltögetik ki egy kezdetben üres 2008×2008-as mátrix elemeit. Aladár kezdi a játékot. Minden fordulóban a soron következő játékos választ egy valós számot és beírja egy üres mezőbe. A játéknak akkor van vége, amikor az egész mátrix megtelik. Aladár nyer, ha a létrejövő mátrix determinánsa nem nulla, és Barbara nyer, ha nulla. Melyiküknek van nyerő stratégiája?
 
A3. Vegyünk egy pozitív egészekből álló a1,a2,...,an véges sorozatot. Ha lehetséges, válasszunk két olyan j<k indexet, melyekre aj nem osztója ak-nak, és cseréljük ki aj-t lnko(aj,ak)-ra, ak-t pedig lkkt(aj,ak)-ra. Az eljárást ismételjük, ameddig lehet. Bizonyítsuk be, hogy az eljárás előbb-utóbb mindig véget ér, és a végeredményül kapott sorozat nem függ az indexválasztásoktól. (Megjegyzés: lnko a legnagyobb közös osztót, lkkt a legkisebb közös többszöröst jelöli.)
 
A4. Tekintsük az f:R→R,
f(x)={xha  x≤exf(lnx)ha  x>e.
függvényt. Konvergens-e a következő összeg: ∑n=1∞1f(n)?
 
A5. Legyen n≥3 egész szám, és legyenek f(x) és g(x) olyan valós együtthatós polinomok, melyekre az (f(1),g(1)),(f(2),g(2)),...,(f(n),g(n))∈R2 pontok az óra járásával ellentétes körüljárás szerint egy szabályos n- szög csúcsai. Bizonyítsuk be, hogy f(x) és g(x) közül legalább az egyiknek a fokszáma legalább n-1.
 
A6. Bizonyítsuk be, hogy van olyan c>0 konstans, amelyre minden nemtriviális véges G csoportban létezik elemeknek olyan sorozata, melynek hosszúsága legfeljebb cln|G|, és G minden eleme előáll valamely részsorozatának szorzataként. (A sorozatot alkotó G-beli elemek nem feltétlenül különbözők.) Egy sorozat részsorozatát úgy kapjuk, hogy kiválasztunk néhány nem feltétlenül egymásra következő tagját, és a tagok egymás közti sorrendjét megtartjuk. Például 4, 4, 2 részsorozata a 2, 4, 6, 4, 2 elemsorozatnak, míg 2, 2, 4 nem részsorozata.
 
B1. Legfeljebb hány racionális pont lehet egy R2-beli körön, amelynek középpontja nem racionális pont? (Racionális pontnak azokat a pontokat nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája racionális szám.)
 
B2. Legyen F0(x)=lnx, és Fn+1(x)=∫0xFn(t)dt, ha n≥0 és x>0. Számítsuk ki a
limn→∞n!Fn(1)lnn
határértéket.
 
B3. Legfeljebb mekkora lehet egy egységnyi oldalhosszúságú 4 dimenziós hiperkocka által tartalmazott kör sugara?
 
B4. Legyen p prímszám. Legyen h(x) olyan egész együtthatós polinom, melyre h(0),h(1),...,h(p2-1) különbözőek modulo p2. Mutassuk meg, hogy h(0),h(1),...,h(p3-1) különbözőek modulo p3.
 
B5. Határozzuk meg az összes olyan f:R→R folytonosan differenciálható függvényt, amelyre minden q racionális szám esetén teljesül, hogy f(q) is racionális, és ugyanaz a nevezője, mint q-nak. (Egy q racionális szám nevezőjén azt az egyértelműen meghatározott pozitív egész számot értjük, melyre q=a/b, ahol a egész, és a és b legnagyobb közös osztója 1.)
 
B6. n és k pozitív egészek. Az {1,2,...,n} számoknak egy σ permutációját k-limitáltnak nevezzük, ha minden i-re |σ(i)-i|≤k. Bizonyítsuk be, hogy {1,2,...,n} k-limitált permutációinak száma akkor és csak akkor páratlan, ha n≡0 vagy 1(mod2k+1).
1A versenyről megjelent ismertetés lapunk 2005/2. számában olvasható, a 71‐72. oldalon. A verseny honlapja: http://math.scu.edu/putnam/index.html, a megoldások a http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml honlapon találhatók.