Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2009/január, 10 - 11. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Egy kerékpáros útjának első felét 12 km/h, a másik felét 18 km/h sebességgel tette meg. Visszafelé szeretne egyenletes sebességgel haladni és ugyanannyi idő alatt megtenni az utat, mint odafelé. Mekkora legyen a sebessége?  (11 pont)   2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-4y^2-7x+14y}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xy+x+2y}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ (13 pont)   3. Az $AB$ szakaszon vegyünk fel egy $C$ pontot, amelyre $AC=x$, $BC=y$. Az $AB$ szakasz ugyanazon oldalára megrajzoljuk az $ACDE$ és a $CBHG$ négyzetet. A $DC$ egyenest a $BE$ egyenes a $P$ pontban, az $AH$ egyenes pedig a $Q$ pontban metszi. Adjuk meg $x$ és $y$ ismeretében a $CQ$ és a $CP$ szakasz hosszát.  (13 pont)   4. Hány darab 1-nél nagyobb, de 2-nél kisebb tagja van az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=-1+\text{lg}\left(n+3\right)}\end{array}$ sorozatnak?  (14 pont)   II. rész   5. Koordináta-rendszerben adott az $A\left(-1;4\right)$ és a $B\left(5;2\right)$ pont. Adjuk meg az $x$ tengelyen azt $a)$ a $P$ pontot, amelyre $PA=PB$ és az $y$ tengelyen azt a $Q$ pontot, amelyre $QA=QB$;  (5 pont) $b)$ az $R$ pontot, amelyre $AR+RB$ minimális;  (5 pont) $c)$ a $C$ pontot, amelyre $A{C}^2+C{B}^2$ minimális.  (6 pont)   6. $a)$ Két szabályos dobókockával dobunk, a citromsárgával dobott érték legyen $c$, a narancssárgával dobott pedig legyen $n$. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a $c{x}^2=n$ egyenletnek két egész gyöke lesz?  (8 pont) $b)$ Három szabályos dobókockával dobunk, a pirossal dobott érték legyen $p$, a fehérrel dobott legyen $f$, a zölddel dobott pedig legyen $z$. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a $p{x}^2+fx+z=0$ egyenletnek két különböző gyöke lesz és ezek egymás reciprokai?  (8 pont)   7. $a)$ Mutassuk meg, hogy az $y=x^3+\left(a-3\right)x^2-3x+2$ görbesereg minden tagja egy ponton megy át. Adjuk meg ennek a fixpontnak a koordinátáit.  (6 pont) $b)$ Hogyan kell megválasztani az $a$ paraméter értékét, hogy a hozzá tartozó görbe $x_0=3$ pontjában húzott érintője áthaladjon a $\left(0;2\right)$ ponton?  (10 pont)   8. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 2, a befogókhoz hozzáírt köreinek sugara 3 és 10. Mekkora az átfogóhoz hozzáírt kör sugara?  (16 pont)   9. Az origó középpontú 13 sugarú körvonalra illeszkedő 12 darab rácspont (olyan pont, amelyek mindkét koordinátája egész szám) meghatároz egy tizenkétszöget. $a)$ Az így kapott síkidom érintőtizenkétszög?  (5 pont) $b)$ Számítsuk ki a tizenkétszög területét.  (7 pont) $c)$ Legyen egy 13 magasságú egyenes gúla alaplapja ez a tizenkétszög. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?  (4 pont)