Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok a 2008/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Nagy-Baló András
Füzet:	2008/november, 469 - 474. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásvázlatok a 2008/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz

Nagy-Baló András
Budapest

I. rész

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\begin{matrix} \frac{log_{2} (2 x - 5)}{log_{2} (x^{2} - 8)} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

(12 pont)

Megoldás. A feladat értelmezési tartománya:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 x - 5 & > 0 \\ x^{2} - 8 & > 0 \\ log_{2} (x^{2} - 8) & \neq 0 \end{matrix}}, azaz x \in] 2 \sqrt[]{2}; 3 [\cup] 3; + \infty] . \end{matrix}

Az egyenletet ekvivalens átalakításokkal rendezzük (közben felhasználjuk a 2 alapú logaritmus függvény kölcsönös egyértelműségét is):

\begin{matrix} 2 log_{2} (2 x - 5) & = log_{2} (x^{2} - 8), \\ log_{2} {(2 x - 5)}^{2} & = log_{2} (x^{2} - 8), \\ {(2 x - 5)}^{2} & = x^{2} - 8, \\ 3 x^{2} - 20 x + 33 & = 0. \end{matrix}

Ez utóbbi egyenlet gyökei:

x_{1} = 3

és

x_{2} = \frac{11}{3}

, amelyek közül az elsőt kizárja az értelmezési tartomány, a második teljesíti az egyenlőséget.
Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása:

x = \frac{11}{3}

2. Mekkora annak a 3 cm sugarú kör köré írt egyenlőszárú trapéznak a területe, amelynek hegyesszögei

60^{\circ}

-osak? (12 pont)

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Ha a

B

és a

C

csúcsnál lévő szögek mértéke

60^{\circ}

, akkor az

A

és a

D

csúcsnál lévő szögek

120^{\circ}

-osak. A trapézba írt kör

O

középpontja a trapéz szögfelezőinek metszéspontja. Így

O B A ∢ = 30^{\circ}

és

O A B ∢ = 60^{\circ}

M

és

N

az alapok felezőpontjai, így

B O M

derékszögű háromszög, melynek

O M

oldala a kör sugara. Mivel

O B M ∢ = 30^{\circ}

és

O M = 3

, azért

B O = 6

és

B M = 3 \sqrt[]{3}

. Ezért

B C = 6 \sqrt[]{3}

.
Hasonló gondolatmenettel az

A N O

derékszögű háromszögből:

A D = 2 \sqrt[]{3}

.
Tudjuk, hogy a trapéz magassága,

M N = 6

, ezért:

\begin{matrix} T = \frac{(B C + A D) \cdot M N}{2} = \frac{(6 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt[]{3}) \cdot 6}{2} = 24 \sqrt[]{3} \approx 41, 57. \end{matrix}

Vagyis a trapéz területe kb. 41,57 cm

^{2}

3. Ejtőernyősök célba ugrása közben feljegyezték, hogy Berci tíz ugrása közül kilenc alkalommal hány méterre ért földet a középponttól. A feljegyzett adatok méterben: 1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 9, 7. Tíz ugrására vonatkozó adatainak 5 m-től való átlagos abszolút eltérése 2,4 m volt.

a)

Állapítsuk meg a hiányzó tizedik adatot.

b)

Határozzuk meg a tíz ugrás adataira vonatkozó átlagot, móduszt, mediánt és a szórást. (13 pont)

Megoldás.

a)

Jelöljük

x

-szel a tizedik adat méterben kifejezett értékét. Jelölje

a

az átlagtól való eltérések összegét:

\begin{matrix} a & = & | 5 - 1 | + | 5 - 2 | + | 5 - 3 | + | 5 - 4 | + | 5 - 5 | + \\ + | 5 - 6 | + | 5 - 7 | + | 5 - 8 | + | 5 - 9 | + | 5 - x | = \\ = & 20 + | 5 - x | . \end{matrix}

Az 5-től való átlagos abszolút eltérés 2,4, vagyis

\begin{matrix} \frac{a}{10} = \frac{20 + | 5 - x |}{10} = 2, 4, ahonnan | 5 - x | = 4. \end{matrix}

Azaz

x = 1

vagy

x = 9

.
Tehát a tizedik adat lehetett 1 m és lehetett 9 m is.

b)

Berci ugrásaira vonatkozó adatsor kétféle lehet.
1. eset: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ekkor az átlag: 4,6, a módusz: 1, a medián: 4,5, a szórás: 2,73.
2. eset: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9. Ekkor az átlag: 5,4, a módusz: 9, a medián: 5,5, a szórás: 2,73.

4. Hány nulla áll a

(\binom{100}{50})

szám végén? (14 pont)

Megoldás.

(\binom{100}{50}) = \frac{100!}{50! \cdot 50!}

100! = 5^{24} \cdot m

és

50! = 5^{12} \cdot n

, ahol

m

és

n

5-tel relatív prímszámok, így

\begin{matrix} (\binom{100}{50}) = \frac{5^{24} \cdot m}{5^{12} \cdot n \cdot 5^{12} \cdot n} = \frac{m}{n^{2}} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

(\binom{100}{50})

természetes szám, viszont

\frac{m}{n^{2}}

nem osztható 5-tel, így egyetlen nulla sincs

(\binom{100}{50})

végén.

II. rész

5. Egy tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra. Mutassuk meg, hogy létezik olyan gömb, amelyre mind a hat él felezőpontja illeszkedik. (16 pont)

Megoldás. Az ábra jelöléseit használjuk. Mivel

A_{1} A_{2} ∥ A_{3} A_{6}

és

A_{1} A_{2} = A_{3} A_{6} = \frac{1}{2} A C

(mindkettő párhuzamos

A C

-vel, mert középvonalak a

B A C

, illetve a

D A C

háromszögekben), azért az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{6}

négyszögnek egy szemközti oldalpárja párhuzamos és azonos hosszúságú. Vagyis

A_{1} A_{2} A_{3} A_{6}

paralelogramma. Tudjuk, hogy

A C

merőleges

B D

-re, ezért a velük párhuzamos

A_{1} A_{2}

és

A_{2} A_{3}

is merőlegesek egymásra (

A_{2} A_{3}

középvonal

C B D

háromszögben), így

A_{1} A_{2} A_{3} A_{6}

téglalap.

A téglalap átlói azonos hosszúságúak és felezik egymást, így

O

-val jelölve átlóinak felezőpontját:

O A_{1} = O A_{2} = O A_{3} = O A_{6}

.
Hasonlóan gondolkozva igazolható, hogy

A_{1} A_{4} A_{3} A_{5}

is téglalap. Az

A_{1} A_{3}

felezőpontja

O

, így ennek a téglalapnak is

O

a középpontja, tehát:

O A_{1} = O A_{4} = O A_{3} = O A_{5}

.
Mivel

O

ugyanakkora távolságra található minden él felezőpontjától, így az

O A_{1}

sugarú

O

középpontú gömb tartalmazza az

A_{1}

A_{2}

A_{3}

A_{4}

A_{5}

A_{6}

pontok mindegyikét.

6. Emese havi bére nettó 150 000 Ft. Tegyük fel, hogy ezt a nettó havi bért évente

10 %

-kal emelik. Hány év múlva vásárolhatja meg béréből a 15 000 000 Ft értékű lakást, ha minden hónapban a fizetésének

60 %

-át takarítja meg és közben a lakás ára nem változik? (16 pont)

Megoldás. Egy év elteltével a megtakarított pénze:

12 \cdot 150 000 \cdot \frac{60}{100}

.
Ehhez adódik a második eltelt év után:

\begin{matrix} 12 \cdot (150 000 + 150 000 \cdot \frac{10}{100}) \cdot \frac{60}{100} = 12 \cdot 150 000 \cdot \frac{110}{100} \cdot \frac{60}{100} . \end{matrix}

A harmadik év elteltével még hozzáadódik:

\begin{matrix} 12 \cdot 150 000 \cdot {(\frac{110}{100})}^{2} \cdot \frac{60}{100} . \end{matrix}

n + 1

-edik év elteltével:

\begin{matrix} 12 \cdot 150 000 \cdot {(\frac{110}{100})}^{n} \cdot \frac{60}{100} . \end{matrix}

Így

n + 1

év eltelte után a megtakarított pénze:

\begin{matrix} 12 \cdot 150 000 \cdot \frac{60}{100} \cdot [1 + \frac{110}{100} + {(\frac{110}{100})}^{2} + {(\frac{110}{100})}^{3} + ... + {(\frac{110}{100})}^{n}] = \\ = 12 \cdot 150 000 \cdot \frac{60}{100} \cdot \frac{1 - {(\frac{110}{100})}^{n + 1}}{1 - \frac{110}{100}} = 10 800 000 [{(\frac{110}{100})}^{n + 1} - 1] . \end{matrix}

Azt a legkisebb

n

természetes számot keressük, amelyre ez eléri vagy meghaladja a 15 000 000-t:

\begin{matrix} 10 800 000 \cdot [{(\frac{110}{100})}^{n + 1} - 1] & \geq 15 000 000, \\ {(\frac{110}{100})}^{n + 1} & \geq 2, 3889. \end{matrix}

n = 9

a legkisebb megfelelő természetes szám.
Vagyis 10 év elteltével veheti meg a lakást.

7. Adott a következő két egyenlettel egy-egy görbe:

y = \sqrt[]{9 - x^{2}}

és

y = x^{2} - 3

. Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amelyet e két görbe által meghatározott síkidom

y

tengely körüli forgatásával kapunk. (16 pont)

Megoldás. Az első egyenlet origó középpontú, 3 egység sugarú félkör egyenlete, míg a második egy parabola, melynek szimmetriatengelye az

y

tengely, tengelypontja

A (0; - 3)

. Az ábra mutatja az elhelyezkedésüket.

Megkeressük

P

koordinátáit:

\begin{matrix} {\begin{matrix} y = \sqrt[]{9 - x^{2}}, \\ y = x^{2} - 3. \end{matrix} \end{matrix}

x^{2} = y + 3

helyettesítéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} y = \sqrt[]{9 - y - 3} = \sqrt[]{6 - y} (0 \leq y \leq 6), y^{2} + y - 6 = 0, \end{matrix}

ahonnan

y = 2

. Visszahelyettesítve:

P (\sqrt[]{5}; 2)

.
Ahhoz, hogy a kért térfogatot meghatározhassuk,

y

szerint integrálunk:

\begin{matrix} V = π \int_{- 3}^{2} (y + 3) d y + π \int_{2}^{3} (9 - y^{2}) d y = π {[\frac{y^{2}}{2} + 3 y]}_{- 3}^{2} + π {[9 y - \frac{y^{3}}{3}]}_{2}^{3} = \frac{32}{3} π . \end{matrix}

Megjegyzés. Megtehettük volna, hogy

- 90^{\circ}

-kal elforgatjuk a koordináta-rendszerben a síkidomot és a szokásos módon

x

szerint integrálunk.

8. Egy építkezéshez

3

cég szállítja a betont. Az elsőnek

5

, a másodiknak

4

, a harmadiknak

6

betonszállító kocsija van. Egy adott napon

12

kocsi betonra van szükség az építkezésen.
Melyik cégtől hány kocsival rendeljenek, hogy a szállítási költség minimális legyen, ha a szállítási költség kocsinként a három cégtől rendre 40 000 Ft, 60 000 Ft és 50 000 Ft? (16 pont)

Megoldás. Legyen

x

y

z

az első, a második, illetve a harmadik cégtől igénybe vett kocsik száma. Ekkor

x + y + z = 12

;

x \leq 5

;

y \leq 4

;

z \leq 6

;

x \geq 0

;

y \geq 0

;

z \geq 0

.
Az

f = 40 000 x + 60 000 y + 50 000 z

kifejezésnek minimálisnak kell lennie.
Az első egyenletből

z = 12 - x - y \leq 6

, vagyis

x + y \geq 6

, amelyhez hozzávesszük az

x

-re és az

y

-ra vonatkozó feltételeket. Behelyettesítve

z

-t az

f

-be:

\begin{matrix} f = - 10 000 x + 10 000 y + 600 000, \end{matrix}

ahonnan az

\begin{matrix} y = x + \frac{f}{10 000} - 60 \end{matrix}

egyenletet kapjuk.
Az

x + y \geq 6

;

0 \leq x \leq 5

;

0 \leq y \leq 4

egyenlőtlenségek az ábrán látható

A B C

háromszöglapot adják. Az első negyed szögfelezőjével párhuzamos

y = x + \frac{f}{10 000} - 60

egyenletű egyenes kezdőponti ordinátája

\frac{f}{10 000} - 60

. Ez a kezdőponti ordináta az adott feltételek mellett akkor minimális, ha az

\begin{matrix} y = x + \frac{f}{10 000} - 60 \end{matrix}

egyenletű egyenes az

A B C

háromszög ,,legmélyebben'' fekvő rácspontján, az

A (5; 1)

ponton halad át.

Ezt behelyettesítve:

\begin{matrix} 1 = 5 + \frac{f}{10 000} - 60, vagyis f = 560 000. \end{matrix}

Így a legkedvezőbb rendelés: az első cégtől 5 kocsi, a másodiktól 1 kocsi és a harmadiktól 6 kocsi. Ekkor a minimális szállítási költség 560 000 Ft.

Megjegyzés. Ezt az eredményt kapjuk akkor is, ha a rendelkezésre álló kocsik közül a lehető legolcsóbbakat választjuk.

9. Adott az

a x^{2} + b x + c = 0

valós gyökökkel rendelkező másodfokú egyenlet. Tudjuk, hogy

| a + b + c | < | a |

. Igazoljuk, hogy a másodfokú egyenlet legalább egyik gyöke a

] 0; 2 [

intervallumban található. (16 pont)

Megoldás. Az együtthatókra vonatkozó egyenlőtlenséget osszuk végig

| a |

-val:

\begin{matrix} | 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} | < 1, azaz | 1 - (- \frac{b}{a}) + \frac{c}{a} | < 1. \end{matrix}

A Vite-formulák alapján:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

és

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

. Beírva ezeket az utóbbi összefüggésbe:

| 1 - (x_{1} + x_{2}) + x_{1} \cdot x_{2} | < 1

, azaz

| 1 - x_{1} | \cdot | 1 - x_{2} | < 1

. Ez csak akkor igaz, ha a két tényező közül legalább az egyik kisebb 1-nél. Legyen az

| 1 - x_{1} |

tényező, amelyik biztosan kisebb 1-nél. Ekkor

- 1 < 1 - x_{1} < 1

, vagyis

0 < x_{1} < 2

.
Tehát valóban legalább az egyik gyök a

] 0; 2]

intervallumban található.