A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket:
(11 pont) Megoldás. Alakítsuk szorzattá a másodfokú kifejezéseket: | | Kikötések: és . Mivel , egyszerűsíthetünk -gyel, majd -vel beszorozva kapjuk a következő egyenletet: . Ennek megoldásai: és . Mindkét szám megoldása az egyenletnek. Kikötés a logaritmus miatt: . A logaritmus azonosságainak alkalmazásával és a logaritmus függvény szigorú monoton tulajdonságának felhasználásával felírható: Ennek az egyenletnek a megoldása: . Ez az eredeti egyenletnek is megoldása, mert minden feltételnek megfelel.
2. Egy metró mozgólépcsőjén egy táska ,,'' másodperc alatt ér le a metrószintre. Egy utas ,,'' másodperc alatt teszi meg ugyanezt az utat a nem működő mozgólépcsőn. Mennyi idő alatt ér le az utas a metrószintre a működő mozgólépcsőn, ha közben ugyanúgy lépeget, mint akkor, amikor nem működik? (12 pont) Megoldás. A megtett út legyen , ekkor a mozgólépcső sebessége: , az utas sebessége: . Ha az utas lépeget a mozgólépcsőn, akkor az ideje: Vagyis s alatt ér le az utas.
3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán: | | (14 pont) | Megoldás. Az első egyenletet -vel beszorozva, majd mindkét oldal koszinuszát véve, kapjuk: A megfelelő addíciós-tételt felhasználva adódik: | | A helyettesítést alkalmazva kapjuk: . A egyenletből: , ahonnan , , . A egyenletből: , ahonnan , , . A kapott valós számok valóban megoldásai az egyenletrendszernek.
4. Az sugarú negyedkör ívének (az ábrán az körív) egyik végpontjából, mint középpontból rajzoljunk ugyancsak sugarú körívet (ez a körív), amely a negyedkör által meghatározott körcikket két részre osztja.
Számítsuk ki a kisebbik részbe írható kör sugarát. (14 pont) Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, tudjuk, hogy: .
A keresett kör sugara , ekkor . Legyen , ekkor . Az háromszögben: . háromszögben: . Az egyenletek összevetéséből: .
II. rész 5. Egy háromszög két csúcspontja és , a harmadik csúcspont az egyenletű egyenesen van. Határozzuk meg ezt a csúcspontot úgy, hogy a háromszög alapú egyenlő szárú háromszög legyen; oldalainak négyzetösszege minimális legyen. (16 pont) Megoldás. Az felező merőleges egyenesének és a megadott egyenesnek a metszéspontja lesz a harmadik csúcs. Az felező merőlegesének egyenlete: A keresett metszéspont koordinátái: .
Kiszámítható, hogy . A pont koordinátái: , ekkor | | A keresett négyzetösszeg: | | A másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért minimumhelye van. A minimumhely: . Így a háromszög harmadik csúcsának koordinátái: .
6. Az és az egyenletű parabolák által bezárt síkidom területét az egyenletű egyenes felezi. Határozzuk meg értékét. Forgassuk meg az és az egyenletű parabolák által bezárt síkidomot az tengely körül. Határozzuk meg a keletkező test térfogatát. (16 pont) Megoldás. Végezzük el a következő átalakításokat:
Az egyik parabola tengelypontja: , a másik paraboláé: .
Belátható, hogy a keletkezett síkidom a szakasz felezőpontjára középpontosan szimmetrikus. Vagyis az egyenletű egyenes felezi a parabolák által bezárt síkidom területét, azaz . A két parabola metszéspontját kiszámítjuk: , . A keresett térfogat:
7. A Csoki Gyárban a fogyasztóvédelmi ellenőrzés során megállapították, hogy valószínűséggel van pontosan az előírt (szabványos) szem cukorka a zacskóban, s csak eséllyel több vagy kevesebb. Véletlenszerűen kiválasztunk zacskót. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindegyikben pontosan szem cukorka lesz? Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább két zacskót találunk az öt zacskó között, amelyek nem szabványosak? Mekkora a valószínűsége annak, hogy zacskó között pontosan szabványos lesz? (16 pont) Megoldás. Minden dobozban 0,95 eséllyel van 40 szem cukorka. Így a megoldás: . Nem kedvező eset, ha mindegyik szabványos, aminek a valószínűsége (lásd az előző esetet). Nem kedvező az sem, ha pontosan egy nem szabványos zacskót választottunk ki. Ennek valószínűsége: . Így a kedvező eset valószínűsége: . .
8. Egy cég millió Ft-tal támogat egy egyetemet. A pénzösszeget beteszik egy bankba éves kamatra. A feltételek alapján millió Ft-ot el kell érnie az összegnek, majd az azt követő évben ösztöndíjként minden év elején a legjobb elsős diáknak kell kiosztani egyenlő arányban úgy, hogy az utolsó kifizetéskor fogyjon el a pénz. Az összeg közben folyamatosan kamatozik, az éves kamat mindvégig . Hány év múlva kezdik el folyósítani az ösztöndíjakat? Mennyi pénzt kap egy-egy hallgató? (16 pont) Megoldás. Az eltelt idő legyen: év. Felírható: . Ebből kapjuk, hogy Vagyis 6 év múlva kezdik folyósítani az ösztöndíjat. 7. év elejére felnövekedett összeg: 15 007 304 Ft (legyen ), minden év elején kifizetett összes ösztöndíj: . Első ösztöndíj kifizetése utáni összeg: , év végére: . Második ösztöndíj után: , év végére: . A gondolatmenetet folytatva a 20. ösztöndíj kifizetése után: | | Ez a feltétel alapján nullával egyenlő. Vagyis: . A zárójelben álló 20 tagú kifejezés összege: | |
Így felírható: , ebből . Így minden évben egy hallgató 132 393 Ft-ot kap.
9. , és város azonos tengerszint feletti magasságban háromszöget alkot, ahol és távolsága 53 km, és távolsága 45 km, és távolsága 28 km. és város közti távolság -hoz közelebbi harmadoló pontjában egy 800 m magas viharjelző tornyot építettek. Az városból mekkora szögben látszik a torony teteje? és várostól egyaránt 20 km-re lévő városból légvonalban milyen messze van a torony teteje? (16 pont) Megoldás. A torony alja legyen , a teteje pedig . A derékszögű háromszögben felírható: | |
Két elhelyezkedés lehet. 1. eset: Az 1. ábra jelöléseit használjuk.
1. ábra Az háromszögben , azaz . Mivel , azért derékszögű háromszög. Vagyis , azaz . A háromszögben felírjuk a koszinusztételt: | |
A háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt: , . 2. eset: A 2. ábra jelöléseit használjuk.
2. ábra . A háromszögben felírjuk a koszinusztételt: | | A derékszögű háromszögben: . A kérdezett távolság vagy kb. 29,66 km vagy kb. 4,79 km. |