Cím:	A 49. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2008/szeptember, 323 - 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1 Első nap   1. feladat. A hegyesszögű $ABC$ háromszög magasságpontja $H$. Az a $H$-n átmenő kör, amelynek középpontja a $BC$ szakasz felezőpontja, a $BC$ egyenest $A_1$-ben és $A_2$-ben metszi. Hasonlóan, az a $H$-n átmenő kör, amelynek középpontja a $CA$ szakasz felezőpontja, a $CA$ egyenest $B_1$-ben és $B_2$-ben metszi, az a $H$-n átmenő kör pedig, amelynek középpontja az $AB$ szakasz felezőpontja, az $AB$ egyenest $C_1$-ben és $C_2$-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy az $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ pontok egy körön fekszenek.   2. feladat. $\left(a\right)$ Mutassuk meg, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(y-1\right)}^2}+\frac{z^2}{{\left(z-1\right)}^2}\ge 1}\end{array}$ egyenlőtlenség teljesül minden olyan, $1$-től különböző $x$, $y$, $z$ valós számok esetén, amelyekre $xyz=1$. $\left(b\right)$ Mutassuk meg, hogy van végtelen sok olyan, $1$-től különböző racionális számokból álló $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z$ számhármas, amelyre $xyz=1$, és amelyre a fenti egyenlőtlenségben az egyenlőség esete áll fenn.   3. feladat. Bizonyítsuk be, hogy van végtelen sok olyan $n$ pozitív egész szám, amelyre $\left(n^2+1\right)$-nek van olyan prímosztója, ami nagyobb, mint $2n+\sqrt[]{2n}$.   Második nap   4. feladat. Határozzuk meg az összes olyan $f:\left(\mathrm{0,}\infty \right)\to \left(\mathrm{0,}\infty \right)$ függvényt ($f$ tehát a pozitív valós számok halmazából a pozitív valós számok halmazába képez), amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(f\left(w\right)\right)}^2+{\left(f\left(x\right)\right)}^2}{f\left(y^2\right)+f\left(z^2\right)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}}\end{array}$ teljesül, valahányszor $w$, $x$, $y$, $z$ olyan pozitív valós számok, amelyekre fennáll: $wx=yz$.   5. feladat. Legyenek $n$ és $k$ pozitív egészek, amelyekre $k\ge n$ és $k-n$ páros szám. Adott $2n$ lámpa, amelyek $1$-től $2n$-ig vannak számozva, és amelyek mindegyike be(kapcsolt) vagy ki(kapcsolt) állapotban lehet. Kezdetben mindegyik lámpa ki állapotban van. Lépések egy sorozatát tekintjük: egy lépés abból áll, hogy valamelyik lámpa állapotát megváltoztatjuk (be-ről ki-re vagy ki-ről be-re). Legyen $N$ az olyan, $k$ lépésből álló sorozatok száma, amelyek eredményeképpen az $1$-től $n$-ig számozott lámpák bekapcsolt, az $\left(n+1\right)$-től $2n$-ig számozott lámpák pedig kikapcsolt állapotban lesznek. Legyen $M$ az olyan, $k$ lépésből álló sorozatok száma, amelyek eredményeképpen az $1$-től $n$-ig számozott lámpák bekapcsolt, az $\left(n+1\right)$-től $2n$-ig számozott lámpák pedig kikapcsolt állapotban lesznek, és a sorozatban az $\left(n+1\right)$-től $2n$-ig számozott lámpák semelyikét sem kapcsoljuk be semmikor. Határozzuk meg az $N/M$ hányados értékét.   6. feladat. Legyen $ABCD$ konvex négyszög, amelyben $|BA|\ne |BC|$. Jelölje ${\omega }_1$, ill. ${\omega }_2$ az $ABC$, ill. $ADC$ háromszögek beírt körét. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan $\omega$ kör, amelyik érinti a $BA$ félegyenes $A$-n túli részét és a $BC$ félegyenes $C$-n túli részét, továbbá érinti az $AD$ és $CD$ egyeneseket. Bizonyítsuk be, hogy az ${\omega }_1$ és ${\omega }_2$ körök közös külső érintői az $\omega$ körön metszik egymást. 1Az olimpia honlapja: http://www.imo-2008.es/.