Kezdőlap


Cím:	Matematika és fizika totó megoldása
Füzet:	2007/január, 57 - 59. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A helyes válasz: (X). Ha $a_{n}$ jelöli a $\sum_{i = 1}^{n} i$ összeg maradékát $10$ -zel osztva, akkor egyszerű számolással $a_{n + 20} = a_{n}$ adódik. Elég tehát azt meghatározni, hogy $3^{2006}$ milyen maradékot ad $20$ -szal osztva.

\begin{matrix} 3^{2006} \equiv 1 (mod 4) és 3^{2006} = 9^{1003} \equiv - 1 (mod 5) . \end{matrix}

Az első kongruencia 5-szöröséből kivonva a második négyszeresét, azt kapjuk, hogy

3^{2006} \equiv 9 (mod 20)

. Így

a_{3^{2006}} = a_{9} = 5

2. A helyes válasz: (X). Ha a Föld

r

sugarú, homogén tömegeloszlású gömb lenne, amely

R

sugarú pályán kering a Nap körül, akkor a kérdéses arány

\begin{matrix} \frac{\frac{1}{2} m R^{2} ω_{kering}^{2}}{\frac{1}{2} \frac{2}{5} m r^{2} ω_{forog}^{2}} = \frac{5}{2} {(\frac{R}{r} \cdot \frac{T_{forog}}{T_{kering}})}^{2} = \frac{5}{2} {(\frac{150 000 000}{6370} \cdot \frac{1}{365})}^{2} \approx 10 400 \end{matrix}

lenne. Ez éppen egy kicsivel kevesebb, mint 11 000. Mégsem a (2)-es válasz a helyes, hiszen a Föld nem egyenletes tömegeloszlású, a belső magja sokkal nagyobb sűrűségű, mint a külső kéreg és a köpeny. Emiatt a Föld tehetetlenségi nyomatéka bizonyosan kisebb, mint a fenti képletben szereplő érték, a mozgási és a forgási energia aránya pedig nagyobb, mint 11 000.

3. A helyes válasz: (2). Felhasználva, hogy

tg (\frac{π}{4}) = 1

, illetve a

tg (α \pm β)

addíciós formulákat, az átrendezett feltétel tangensét véve kapjuk, hogy

\begin{matrix} tg [\frac{π}{4} - arctg \frac{1}{2}] = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{x y}}, azaz \frac{1}{3} = \frac{x + y}{x y - 1} . \end{matrix}

Innen rendezés után

x y - 3 x - 3 y = 1

, amit

(x - 3) (y - 3) = 10

alakba írva leolvasható, hogy két megoldás van:

x = 4

y = 13

és

x = 5

y = 8

4. A helyes válasz: (X). Adott össztöltés (

N

elemi töltés) esetén a Coulomb-erő (ami a töltések szorzatával arányos) akkor a legnagyobb, ha mindkét vízcsepp ugyanakkora,

N e / 2

töltésű. A két erő ‐ az

m

tömegű cseppek közötti

x

távolságtól függetlenül ‐ akkor lesz egyenlő, ha

\begin{matrix} γ \frac{m^{2}}{x^{2}} = k {(\frac{N}{2})}^{2} \frac{e^{2}}{x^{2}}, \end{matrix}

ahonnan az adatok behelyettesítése után

N \approx 7

adódik. Ez a meglepő eredmény is érzékelteti, hogy mennyire gyenge a gravitációs kölcsönhatás az elektrosztatikus mellett.

5. A helyes válasz: (X). A gyakoriságok: 0 ‐ 99 999 485 134; 1 ‐

99 999 945 664

;
2 ‐

100 000 480 057

; 3 ‐

99 999 787 805

; 4 ‐

100 000 357 857

; 5 ‐

99 999 671 008

;
6 ‐

99 999 807 503

; 7 ‐

99 999 818 723

; 8 ‐

100 000 791 469

; 9 ‐

99 999 854 780

6. A helyes válasz: (1). Határozzuk meg annak a vízcseppnek a sugarát, amelynél a kétféle energia nagyságrendileg egyenlő lenne. A felületi energia

4 π R^{2} α

, ahol

R

a csepp sugara. A

ϱ

sűrűségű csepp tömege:

m = \frac{4 π}{3} R^{3} ϱ

, a gravitációs kötési energia pedig kb.

γ \frac{m^{2}}{R},

hiszen a csepp egyes darabkáinak átlagos távolsága hozzávetőleg

R

. (Az integrálszámítással megkapható pontosabb képlet tartalmaz még egy

\frac{3}{5}

-ös szorzótényezőt, de mivel csak nagyságrendi becslésre törekszünk, ezt a faktort a továbbiakban elhagyjuk.) A kétféle energia akkor lenne egyenlő, ha

\begin{matrix} γ {(\frac{4 π}{3} R^{3} ϱ)}^{2} \frac{1}{R} = 4 π R^{2} α, azaz ha R = \sqrt[3]{\frac{9}{4 π} \frac{α}{γ ϱ}} \approx 10 m \end{matrix}

lenne. Ez sokkal nagyobb, mint egy emberfej, s mivel a sugár növekedtével a gravitációs tér energiája sokkal gyorsabban (

R^{5}

szerint) nő, mint az

R^{2}

-tel arányos felületi energia, az emberfej nagyságú vízcsepp felületi energiája sokkal nagyobb, mint a gravitációs terének energiája.

7. A helyes válasz: (X). Az alábbi 12 ,,síkbeli'':

és további 17 ,,térbeli'' alakzatot:

összesen tehát 29 különböző (egymásba eltolással és forgatással át nem vihető) testet lehet összeállítani.

8. A helyes válasz: (1). Az

m g

gravitációs erő és

K

közegellenállási erő együttes hatására mozgó golyó mozgásegyenlete

\begin{matrix} m g - K = m a, azaz a = g - k \frac{v^{2}}{ϱ R}, \end{matrix}

ahol

k

állandó. (Kihasználtuk, hogy

K

a sebesség négyzetével is és a golyó keresztmetszetével is arányos, tehát

K \sim v^{2} R^{2}

, továbbá

m \sim ϱ R^{3}

.) A két golyó akkor mozog ugyanolyan módon, ha a

ϱ R

szorzat mindkettőre ugyanakkora, vagyis ha a fagolyó nagyobb, mint a vasgolyó.

9. A helyes válasz: (2). (Lásd az F. 1722. feladat megoldását az 1972. évi februári számunkban.)

10. A helyes válasz: (2). A pingponglabdára ható közegellenállási erő és a tömeg hányadosa nagyobb, mint ugyanez a mennyiség a vasgolyónál. Emiatt a felfelé dobott pingponglabda nyilván hamarabb és alcsonyabban áll meg, mint a vasgolyó. A mozgás második feléről nem tudunk elemi úton határozott kijelentést tenni, hiszen a lefelé eső pingponglabda gyorsulása kisebb ugyan, mint a vasgolyóé, de az általa megtett út is rövidebb, mint a nehezebb golyóé. A mozgásegyenlet (amely a sebesség négyzetére nézve lineáris differenciálegyenlet) megoldható (lásd pl. Budó: Mechanika,

16. §

), és a megoldásból leolvasható, hogy a nagyobb sűrűségű test ér hamarabb vissza.

11. A helyes válasz: (2). (Lásd a Gy. 1409. gyakorlat megoldását az 1972. évi októberi számunkban.)

12. A helyes válasz: (X). A villámhárító vezetéke általában rézből készül, ennek anyagi állandóit (vezetőképesség, sűrűség és fajhő) ismerjük. A villámcsapás ideje a másodperc töredéke, innen kiszámíthatjuk, hogy a vezeték még

1^{\circ} C

-nyit sem melegszik fel.

13. A helyes válasz: (X) (Lásd az F. 1775. feladat megoldását az 1972. évi áprilisi számunkban.)

13+1. A helyes válasz: (X). A legfelső kocka középpontja 3,5 egység magasan van, az asztal szélétől pedig

\frac{13}{24}

egységnyire ,,lóghat ki'', így az asztal szélétől mért távolsága (Pitagorasz tétele szerint) 3,541 egység. Ha viszont a tornyot az asztal sarkánál építjük fel, és mindkét irányban kilógatjuk az asztalról, a saroktól mért távolsága

\begin{matrix} d = \sqrt[]{{(\frac{7}{2})}^{2} + {(\frac{13}{24})}^{2} + {(\frac{13}{24})}^{2}} \approx 3, 582 > 3, 58. \end{matrix}

*

Ez a TOTÓ nehezebbnek bizonyult a szokásosnál. A legtöbb találatot (8-at) Sümegi Károly (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 12. o.t.) érte el. Összesen 32-en tippeltek, 7 szelvény volt 7 találatos. Legtöbben a 11. (utána a 3. és az 1.) megoldását találták el. A legkevesebb találatot a 13., majd a 2. és a 10. feladat kapta.