A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A helyes válasz: (X). Ha jelöli a összeg maradékát -zel osztva, akkor egyszerű számolással adódik. Elég tehát azt meghatározni, hogy milyen maradékot ad -szal osztva. | | Az első kongruencia 5-szöröséből kivonva a második négyszeresét, azt kapjuk, hogy . Így .
2. A helyes válasz: (X). Ha a Föld sugarú, homogén tömegeloszlású gömb lenne, amely sugarú pályán kering a Nap körül, akkor a kérdéses arány | | lenne. Ez éppen egy kicsivel kevesebb, mint 11 000. Mégsem a (2)-es válasz a helyes, hiszen a Föld nem egyenletes tömegeloszlású, a belső magja sokkal nagyobb sűrűségű, mint a külső kéreg és a köpeny. Emiatt a Föld tehetetlenségi nyomatéka bizonyosan kisebb, mint a fenti képletben szereplő érték, a mozgási és a forgási energia aránya pedig nagyobb, mint 11 000.
3. A helyes válasz: (2). Felhasználva, hogy , illetve a addíciós formulákat, az átrendezett feltétel tangensét véve kapjuk, hogy | | Innen rendezés után , amit alakba írva leolvasható, hogy két megoldás van: , és , .
4. A helyes válasz: (X). Adott össztöltés ( elemi töltés) esetén a Coulomb-erő (ami a töltések szorzatával arányos) akkor a legnagyobb, ha mindkét vízcsepp ugyanakkora, töltésű. A két erő ‐ az tömegű cseppek közötti távolságtól függetlenül ‐ akkor lesz egyenlő, ha ahonnan az adatok behelyettesítése után adódik. Ez a meglepő eredmény is érzékelteti, hogy mennyire gyenge a gravitációs kölcsönhatás az elektrosztatikus mellett.
5. A helyes válasz: (X). A gyakoriságok: 0 ‐ 99 999 485 134; 1 ‐ ; 2 ‐ ; 3 ‐ ; 4 ‐ ; 5 ‐ ; 6 ‐ ; 7 ‐ ; 8 ‐ ; 9 ‐ .
6. A helyes válasz: (1). Határozzuk meg annak a vízcseppnek a sugarát, amelynél a kétféle energia nagyságrendileg egyenlő lenne. A felületi energia , ahol a csepp sugara. A sűrűségű csepp tömege: , a gravitációs kötési energia pedig kb. hiszen a csepp egyes darabkáinak átlagos távolsága hozzávetőleg . (Az integrálszámítással megkapható pontosabb képlet tartalmaz még egy -ös szorzótényezőt, de mivel csak nagyságrendi becslésre törekszünk, ezt a faktort a továbbiakban elhagyjuk.) A kétféle energia akkor lenne egyenlő, ha | | lenne. Ez sokkal nagyobb, mint egy emberfej, s mivel a sugár növekedtével a gravitációs tér energiája sokkal gyorsabban ( szerint) nő, mint az -tel arányos felületi energia, az emberfej nagyságú vízcsepp felületi energiája sokkal nagyobb, mint a gravitációs terének energiája.
7. A helyes válasz: (X). Az alábbi 12 ,,síkbeli'':
és további 17 ,,térbeli'' alakzatot:
összesen tehát 29 különböző (egymásba eltolással és forgatással át nem vihető) testet lehet összeállítani.
8. A helyes válasz: (1). Az gravitációs erő és közegellenállási erő együttes hatására mozgó golyó mozgásegyenlete ahol állandó. (Kihasználtuk, hogy a sebesség négyzetével is és a golyó keresztmetszetével is arányos, tehát , továbbá .) A két golyó akkor mozog ugyanolyan módon, ha a szorzat mindkettőre ugyanakkora, vagyis ha a fagolyó nagyobb, mint a vasgolyó.
9. A helyes válasz: (2). (Lásd az F. 1722. feladat megoldását az 1972. évi februári számunkban.)
10. A helyes válasz: (2). A pingponglabdára ható közegellenállási erő és a tömeg hányadosa nagyobb, mint ugyanez a mennyiség a vasgolyónál. Emiatt a felfelé dobott pingponglabda nyilván hamarabb és alcsonyabban áll meg, mint a vasgolyó. A mozgás második feléről nem tudunk elemi úton határozott kijelentést tenni, hiszen a lefelé eső pingponglabda gyorsulása kisebb ugyan, mint a vasgolyóé, de az általa megtett út is rövidebb, mint a nehezebb golyóé. A mozgásegyenlet (amely a sebesség négyzetére nézve lineáris differenciálegyenlet) megoldható (lásd pl. Budó: Mechanika, ), és a megoldásból leolvasható, hogy a nagyobb sűrűségű test ér hamarabb vissza.
11. A helyes válasz: (2). (Lásd a Gy. 1409. gyakorlat megoldását az 1972. évi októberi számunkban.)
12. A helyes válasz: (X). A villámhárító vezetéke általában rézből készül, ennek anyagi állandóit (vezetőképesség, sűrűség és fajhő) ismerjük. A villámcsapás ideje a másodperc töredéke, innen kiszámíthatjuk, hogy a vezeték még -nyit sem melegszik fel.
13. A helyes válasz: (X) (Lásd az F. 1775. feladat megoldását az 1972. évi áprilisi számunkban.)
13+1. A helyes válasz: (X). A legfelső kocka középpontja 3,5 egység magasan van, az asztal szélétől pedig egységnyire ,,lóghat ki'', így az asztal szélétől mért távolsága (Pitagorasz tétele szerint) 3,541 egység. Ha viszont a tornyot az asztal sarkánál építjük fel, és mindkét irányban kilógatjuk az asztalról, a saroktól mért távolsága | |
Ez a TOTÓ nehezebbnek bizonyult a szokásosnál. A legtöbb találatot (8-at) Sümegi Károly (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 12. o.t.) érte el. Összesen 32-en tippeltek, 7 szelvény volt 7 találatos. Legtöbben a 11. (utána a 3. és az 1.) megoldását találták el. A legkevesebb találatot a 13., majd a 2. és a 10. feladat kapta. |