Cím:	Megoldásvázlatok a 2006/8. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Remeténé Orvos Viola
Füzet:	2006/december, 533 - 537. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Aladár szerint a háromjegyű, Barnabás szerint pedig az ötjegyű számok közül választva lesz nagyobb a valószínűsége annak, hogy a kapott számban van $6$-os számjegy. Melyiküknek van igaza?  (11 pont)   Megoldás. Könnyebb kiszámolni azt, hogy hány olyan szám van, amelyben nincs 6-os számjegy, aztán majd ezek számát kivonjuk az összes eset számából. Az ötjegyűek között az első helyen nem lehet a 0 és a 6, a többi helyen pedig csak a 6 nem lehet. Tehát az esetek száma: $8\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9=52488$. Olyan ötjegyű szám, amelyben van 6-os összesen $90000-52488=37512$ db van. Annak a valószínűsége, hogy 6-ost tartalmazó ötjegyű számot választunk: $\frac{37512}{90000}\approx 0\mathrm{,}417$. A háromjegyűek között olyan szám, amelyben nincs 6-os, $8\cdot 9\cdot 9=648$ db van, így $900-648=252$ darabban van 6-os. Annak valószínűsége tehát, hogy 6-ost tartalmazó háromjegyű számot választunk: $\frac{252}{900}=0\mathrm{,}28$. Látható, hogy az ötjegyűek között nagyobb a valószínűsége a 6-ost tartalmazó szám kiválasztásának. 2. Adott egy $5\text{cm}$ és egy $3\text{cm}$ sugarú kör. A körök középpontja $10\text{cm}$-re van egymástól. Milyen távol van a kisebbik kör középpontjától a két kör közös belső érintőinek metszéspontja?  (12 pont)   Megoldás. Ismeretes, hogy a belső érintők a középpontokat összekötő szakaszon metszik egymást.     A belső érintő megszerkesztésével két hasonló háromszög keletkezik, az $O_1{E}_{1}M$ és az $O_2{E}_{2}M$. A megfelelő oldalak arányából a következő egyenlethez jutunk: $\frac{10-x}{5}=\frac{x}{3}$ ($x$ jelöli a kisebbik kör középpontjának és a belső érintők metszéspontjának a távolságát). A megoldás: $x=3\mathrm{,}75$ cm. A kisebbik kör középpontjától 3,75 cm-re van a belső érintők metszéspontja. 3. Milyen maradékot ad ${16}^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1$, ha elosztjuk $2^{100}+1$-gyel?  (14 pont)   Megoldás. Felhasználjuk a következőket: $a+b\mid a^{2k}-b^{2k}$ és $a+b\mid a^{2k+1}+b^{2k+1}$. Ezek alapján: ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>400</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{amiből következik, hogy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>16</mn></mrow><mrow><mn>101</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>16</mn></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>300</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{amiből következik, hogy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mn>101</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>8</mn></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>200</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{amiből következik, hogy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>101</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>4</mn></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{amiből következik, hogy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>100</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>1</mn><mo>∣</mo><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>101</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn></math>. }}\hfill \end{array}}$ Ezek felhasználásával a feladatban szereplő összeget alakítsuk a következő módon: $\begin{array}{c}{\displaystyle {16}^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1=\left({16}^{101}-16\right)+\left(8^{101}+8\right)+\left(4^{101}-4\right)+\left(2^{101}+2\right)+11.}\end{array}$ A zárójelben lévő különbségek, illetve összegek oszthatók $\left(2^{100}+1\right)$-gyel, ezért a maradék 11. 4. $a)$ Melyek azok az $f\left(x\right)$ lineáris függvények, amelyekre teljesül az alábbi egyenlőség: $2f\left(x\right)+3f\left(1-x\right)=4x-1$? $b)$ Milyen előjelű lehet $c$, ha az $a{x}^2-bx+c$ kifejezés minden $x$ értékre pozitív?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ Helyettesítsünk $x$ helyére $\left(1-x\right)$-et: $2f\left(1-x\right)+3f\left(x\right)=3-4x$. Így a következő egyenletrendszert kaptuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 2f\left(x\right)+3f\left(1-x\right)}& \hfill {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 4x-\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2f\left(1-x\right)+3f\left(x\right)}& \hfill {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 3-4x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ Az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy $f\left(x\right)=-4x+\frac{11}{5}$. Erre a függvényre teljesülnek a feladat feltételei, így ez a megoldás. $b)$ A függvény értéke a 0 helyen $c$, így $c>0$ szükséges. Ennél a feladat nem kérdez többet, így a válasz: $c$ pozitív. Ez nyilván csak szükséges feltétel.   II. rész   5. Adjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenlet összes megoldását a $\left[0;2\pi \right]$ intervallumon $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\text{tg}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\text{tg}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)=0.}\end{array}$ (16 pont)   Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya: $x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi$ és $x\ne \frac{2\pi }{3}+k\pi$, ahol $k$ egész szám. Vegyük észre, hogy $x+\frac{\pi }{3}=\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{2}$. Legyen $y=x-\frac{\pi }{6}$, így a következő egyenlet írható: $3\text{tg}\left(y+\frac{\pi }{2}\right)+\text{tg}y=0$. Mivel $\text{tg}\left(y+\frac{\pi }{2}\right)=-\text{ctg}y=-\frac{1}{\text{tg}y}$, azért egyenletünk $-\frac{3}{\text{tg}y}+\text{tg}y=0$ alakú lesz, amely ekvivalens a $\text{tg}{}^{2}y-3=0$ egyenlettel. Ennek megoldásaiból $x$-re a $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{6}$ és $\frac{11\pi }{6}$ értékeket kapjuk a megadott intervallumon. 6. Legfeljebb milyen nagy térfogatú egyenes henger írható egy egyenes körkúpba, melynek alapköre $5$ egység sugarú, magassága pedig $7$ egység? (A henger és a kúp tengelye közös.)  (16 pont)   Megoldás. Az ábra az egyenes körkúp tengelymetszetét mutatja. A henger alapkörének sugarát jelölje $r$ ($0<r<5$), magasságát $m$. A hasonló háromszögekben: $\frac{5-r}{m}=\frac{5}{7}$, innen a henger magassága: $m=7-\frac{7}{5}r$.     A henger térfogata: $V=r^2\pi m$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle V\left(r\right)=r^2\pi \left(7-\frac{7}{5}r\right)=-\frac{7\pi }{5}{r}^3+7r^2\pi \mathrm{.}}\end{array}$ Deriválva: $V\text{'}\left(r\right)=-\frac{21\pi }{5}{r}^2+14r\pi$. A $\left(0;5\right)$ intervallumban ott lehet a $V\left(r\right)$ függvénynek szélsőértéke, ahol az első derivált 0. Az intervallum belsejében egyetlen zérushely van: $r=\frac{10}{3}$. Ellenőrizhető ‐ például grafikusan ‐, hogy ezen a helyen a derivált előjelet vált. Mivel pozitívról vált negatívra, azért itt lokális maximuma van a függvénynek. A maximális térfogatú henger magassága $\frac{7}{3}$, a térfogata pedig kb. 81,45. 7. Elindul egy kocsi és $2\text{m/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ gyorsulással halad egyenes úton. Erre az útra merőleges útról a mezőn átvágva $5\text{m/s}$ egyenletes sebességgel egy ember szalad a kocsi felé. Hogyan válassza meg az indulási irányát, hogy fel tudjon ugrani a kocsira, ha az indulás pillanatában $10\text{m}$-re van a kocsitól? Mennyi idő múlva éri el a kocsit?  (16 pont)   Megoldás. A rajzon a kocsi elmozdulása: $\overrightarrow{AC}$, az ember elmozdulása: $\overrightarrow{BC}$, és $AB=10$ méter.     Jelölje $C$ azt a pontot, ahol az ember felugrik a kocsira. Ha $t$ sec alatt jut $B$-ből $C$-be, akkor ez az út $5t$ (méterben mérve). A kocsi által megtett utat az $s=\frac{a}{2}{t}^2$ összefüggés alapján határozhatjuk meg ($a$ a gyorsulás), így $AC=\frac{2t^2}{2}=t^2$. Az $ABC$ derékszögű háromszögben: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\beta =\frac{AC}{BC}=\frac{t^2}{5t}=\frac{t}{5}\mathrm{,}\text{cos}\beta =\frac{AB}{BC}=\frac{10}{5t}=\frac{2}{t}\mathrm{.}}\end{array}$ A megfelelő oldalakon álló kifejezéseket összeszorozva: $\text{sin}\beta \text{cos}\beta =\frac{2}{5}$, azaz $\text{sin}2\beta =\frac{4}{5}$. Innen $\beta =26\mathrm{,}{57}^{\circ }$ vagy $\beta =63\mathrm{,}{43}^{\circ }$. (Csak a hegyesszögű megoldásnak van értelme.) Emberünk kétféle haladási irányt választhat. Ha az $AB$ úthoz képest $26\mathrm{,}{57}^{\circ }$-os szögben fut, akkor kb. 2,24 sec múlva ugorhat fel a kocsira, ha pedig $63\mathrm{,}{43}^{\circ }$-os szögben indul, akkor kb. 4,47 sec múlva éri el a kocsit. 8. $a)$ Hány öt csúcsú, hat élű egyszerű gráf van, ha a csúcsokat megkülönböztetjük és hány, ha nem? $b)$ Janó lerajzolta az összes öt csúcsú, hat élű gráfot úgy, hogy a csúcsokat megkülönböztette. Lackó épp arra járt és rábökött egy csúcsra. Mi a valószínűsége, hogy ez a csúcs éppen elsőfokú volt?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Ha a csúcsokat nem különböztetjük meg, hatféle gráfot tudunk rajzolni. A teljes 5 csúcsú gráf 10 élt tartalmaz. Közülük $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)$-féleképpen lehet hatot kiválasztani, ez éppen 210, ennyi olyan ötcsúcsú, hatélű gráf van, ha a csúcsokat megkülönböztetjük.     $b)$ Kétféle gráfban van elsőfokú csúcs, mindkettőből 60 db-ot rajzolt fel Janó. Mindegyikben 1 db elsőfokú csúcs van, tehát 120 elsőfokú csúcs van a $210\cdot 5=1050$ db csúcs között. Így a valószínűség: $\frac{120}{1050}=\frac{4}{35}$. 9. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{2x^2-8x}-\sqrt[3]{2x^2}=2.}\end{array}$ (16 pont)   Megoldás. Ha $x\ge 0$, akkor $\sqrt[3]{2x^2-8x}-\sqrt[3]{2x^2}\le 0$, a nemnegatív számok körében nincs megoldása az egyenletnek. Legyen $x<0$ és vezessük be a $t=-\frac{x}{2}$ új változót. Ekkor $t>0$ és az egyenlet bal oldala $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{8t^2+16t}-\sqrt[3]{8t^2}=2\left(\sqrt[3]{t^2+2t}-\sqrt[3]{t^2}\right)<2\left(\sqrt[3]{{\left(t+1\right)}^2}-\sqrt[3]{t^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az ábra az $f\left(t\right)=t^{\frac{2}{3}}$ függvény grafikonját mutatja a $t>0$ halmazon. Látható, hogy a függvény megváltozása minden egységnyi hosszúságú intervallumon kisebb vagy egyenlő 1-nél (valójában az egyetlen $\left[0;1\right]$ intervallum kivételével határozott egyenlőtlenség teljesül), így $2\left(f\left(t+1\right)-f\left(t\right)\right)\le 2$. Az egyenlet bal oldala tehát minden valós $x$-re kisebb 2-nél, így nincs megoldása.