Cím:	Kunfalvi Rezső Emlékverseny
Füzet:	2006/szeptember, 373 - 374. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   Budapest, 2006. május 2‐4.   4. feladat: Rakéta és közegellenállás (7 pont) TV-közvetítés során egyenes adásban figyelheted egy űrrakéta indítását. A kommentátor elmondja, hogy a rakéta ‐ az űrhajósok biztonsága érdekében ‐ állandó, $a=5g$ gyorsulással emelkedik függőlegesen felfelé. Fizika tanulmányaidból tudod, hogy a rakétára $F=\alpha \varrho v^{2}A$ nagyságú közegellenállási erő hat ($\varrho$ a levegő sűrűsége, $v$ a rakéta sebessége, $A$ a mozgásirányra merőleges keresztmetszete és $\alpha$ egy dimenziótlan arányossági tényező). Feltételezve, hogy a légkör hőmérséklete állandó $T=250$ K, és ismerve a levegő átlagos móltömegét (28,9 kg/kmol) valamint a gázállandót ($R=\mathrm{8,31}\text{J/mol K}$), számítsd ki, hogy az indítástól számítva mennyi idő múlva hat az űreszközre a legnagyobb közegellenállási erő! Milyen magasan lesz az űrhajó ekkor?   5. feladat: Részecske (relativisztikus) mozgása homogén elektromos mezőben (10 pont) Egy elektront nagy (a $c$ fénysebességgel összemérhető) $v_0$ sebességgel igen erős, homogén elektromos mezőbe lövünk. A részecske kezdősebessége az elektromos térerősségre merőleges. $a)$ Adjuk meg azt (azokat) a fizikai mennyiség(ek)et, amely(ek) a mozgás során állandó nagyságú(ak) marad(nak). A megmaradó mennyiség(ek)et ne csak a nevével (nevükkel) adjuk meg, hanem a feladatban szereplő többi fizikai mennyiséggel is hozzuk kapcsolatba! (2 pont) $b)$ Válasszunk egy olyan koordináta-rendszert, amelyben az elektromos térerősség $x$ irányú, az elektron kezdősebessége pedig $y$ irányú. Számítsuk ki, hogy milyen kapcsolatban áll az elektron $x$ irányú sebessége az $y$ irányú sebességkomponenssel, és ábrázoljuk a részecske mozgását a sebességkomponensek koordináta-rendszerében! (3 pont) $c)$ Mekkora szöget zár be az elektron sebességvektora és a gyorsulásvektora az erőtérbe való belépésekor, illetve hosszú idővel ezután? (Az erőtér térbeli kiterjedése elég nagy, geometriai méretek nem korlátozzák a mozgást.) Hogyan olvasható le a $b)$ alkérdésben szereplő ábráról a részecske sebességének és gyorsulásának szöge a mozgás tetszőleges pillanatában? (2 pont) $d)$ Határozzuk meg, hogy a mozgás során mekkora az elektron sebesség- és gyorsulásvektora közti szögnek a minimuma? Ebben a helyzetben (amikor a kérdéses szög minimális) mekkora az elektron sebességének $x$ és $y$ irányú komponense? (3 pont)   II. mérési feladat: Mágneses dipólusok és a földmágnesség vizsgálata (15 pont) Rendelkezésre álló eszközök: ‐ 4 db (egyformának tekinthető) henger alakú, homogén tömegeloszlású mágnes. Az egyes darabok mért adatai: tömeg $m=11\mathrm{,}46\pm 0\mathrm{,}01$ g; átmérő $2R=10\pm 0\mathrm{,}1$mm; hossz $h=20\pm 0\mathrm{,}1$mm; ‐ kétféle vastagságú (0,3 és 0,14 mm átmérőjű) horgász-zsinór, egyik végükkel a mennyezet közelében rögzítve; ‐ mérőszalag; ‐ stopper.   Feladatok:   1. Mágneses torziós inga készítése (8 pont)   $a)$ Készítsen 1‐1, illetve 2‐2 mágnesből (a zsinórt óvatosan a mágnesek közé csippentve) mágneses torziós ingát. (Vigyázat: a mágnesek könnyen ,,összeugranak'' és a védőrétegük ekkor megsérülhet. Óvatosan kísérletezzen, erősen tartsa a mágneseket!) A szimmetriatengelyük mentén mágnesezett hengerek vízszintesen álljanak. Mérje meg az inga lengésidejét kis szögkitérések esetén. $b)$ Vizsgálja meg, hogy a kitérített ingára ható forgatónyomatéknál a földmágnesség mellett számításba kell-e venni a horgász-zsinór torziós nyomatékát! $c)$ Mérési adatai felhasználásával igazolja (vagy cáfolja), hogy a kétszerannyi darabból összerakott mágnes erőssége (mágneses dipólnyomatéka) kétszerese a kisebb mágnesének. $d)$ A mérési adatok alapján milyen kijelentést tehet egy-egy hengeres mágnes dipólnyomatékának és a földi mágneses mező vízszintes komponensének kapcsolatáról? Útmutatás: A mágneses dipólerősség $\left(p\right)$ egy áramjárta vezető keretnél az áramerősség és a keret területének szorzata. Homogén mágneses mezőben a mágneses dipólusra forgatónyomaték hat. Egy homogén tömegeloszlású henger tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő, a henger tengelyére merőleges forgástengelyre vonatkoztatva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =m\left(\frac{1}{4}{R}^2+\frac{1}{12}{h}^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$   2. A földi mágneses mező mérése (7 pont)   $a)$ Készítsen 1‐1 kis mágnes és a horgász-zsinór felhasználásával iránytűt, amely a talaj közelében helyezkedik el! Várja meg, amíg az iránytű beáll észak-dél irányba! $b)$ Közelítsen lassan északi vagy déli irányból egy vagy két kis mágnessel az iránytűhöz úgy, hogy a mozgatott mágnes tengelye is észak-déli irányú legyen. Megfigyelheti, hogy bizonyos távolságra közelítve a kis mágnest az iránytűhöz ,,taszító'' irányból, az iránytű hirtelen átfordul. Mérje meg minél pontosabban azt a távolságot, amelynél az áfordulás történik! $c)$ A mérési adatok felhasználásával számítsa ki egy-egy kis mágnes dipólnyomatékának értékét, valamint a földi mágneses mező indukcióvektora vízszintes komponensének nagyságát a mérés helyén! Útmutatás: Egy $p$ dipólerősségű mágnes mágneses mezője a szimmetriatengely mentén, a mágnestől viszonylag nagy $x$ távolságban $\begin{array}{c}{\displaystyle B\left(x\right)=K\frac{2p}{x^3}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $K=\frac{{\mu }_0}{4\pi }={10}^{-7}\frac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. 1A versenyen összesen öt elméleti és két mérési feladatot kaptak a versenyzők. Ezek közül itt ‐ terjedelmi okokból ‐ két elméleti és egy kísérleti problémát mutatunk be.