Kezdőlap


Cím:	A középiskolás tanárverseny feladatai
Szerző(k):	Kiss Sándor , Róka Sándor
Füzet:	2006/szeptember, 327 - 328. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A verseny időtartama: 90 perc. A feladatok pontozása: minden helyes válasz 5 pontot ér; helytelen válaszra 0 pont jár; válasz nélkül hagyott kérdésekre 1‐1 pontot adunk.
1. Hány olyan $m$ egész szám van, amelyre $m (m + 1) = 2^{n}$ , ahol $n$ is egész szám? (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3; (E) 3-nál több.
2. Az $x^{3} + y^{4}$ , $x^{4} + y^{3}$ , $x^{3} + y^{3}$ és $x^{4} - y^{4}$ kifejezések között hány olyan van, amely minden $x$ , $y$ érték esetén pozitív, ha $x > y$ ? (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3; (E) 4.
3. Az $a$ , $b$ és $c$ olyan különböző pozitív egészek, hogy $a b c = 16$ . Mennyi lesz $a^{b} - b^{c} + c^{a}$ legnagyobb értéke? (A) 63; (B) 249; (C) 253; (D) 259; (E) 263.
4. $a_{1} = 7$ és $a_{n + 1} = \sqrt[]{| a_{n}^{2} - 16 |}$ , ha $n = 1,2,3, ... .$ Ekkor $a_{80} = ?$ (A) 1; (B) 7; (C) $\sqrt[]{33}$ ; (D) $\sqrt[]{17}$ ; (E) $\sqrt[]{15}$ .
5. Legyen $x_{1} = 23$ , $x_{2} = \frac{2}{x_{1}}$ , $x_{3} = \frac{3}{x_{2}}$ , $x_{4} = \frac{4}{x_{3}}$ , $x_{5} = \frac{5}{x_{4}}$ , $x_{6} = \frac{6}{x_{5}}$ .
Mennyi $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot x_{5} \cdot x_{6}$ értéke? (A) 23; (B) 48; (C) 64; (D) 1104; (E) Nem dönthető el egyértelműen.
6. A pozitív $x$ és $y$ számokra $x y = 1$ . Mennyi az $\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{4 y^{4}}$ kifejezés legkisebb értéke? (A) $\frac{1}{4}$ ; (B) $\frac{5}{8}$ ; (C) 1; (D) $\frac{5}{4}$ ; (E) nincs minimum.
7. Az $y = 6 x$ egyenes érinti az $y = x^{2} + a$ parabolát. Mennyi az $a$ értéke? (A) 7; (B) 8; (C) 9; (D) 10; (E) 11.
8. Az $A B C D$ trapéz párhuzamos oldalai $A B$ és $C D$ , továbbá $A B = 52$ , $B C = 12$ , $C D = 39$ , $D A = 5$ . Mekkora a trapéz területe? (A) 182; (B) 195; (C) 210; (D) 234; (E) 260.
9. Hány szimmetriasíkja van a kockának? (A) 8; (B) 9; (C) 10; (D) 11; (E) 12.
10. Mekkora szöget zárnak be egymással a kocka $B E$ és $C F$ lapátlói? (A) $30^{\circ}$ ; (B) $45^{\circ}$ ; (C) $60^{\circ}$ ; (D) $75^{\circ}$ ; (E) $90^{\circ}$ .

11.

2^{36} - 1 = \bar{68 a 19 476 735}

. Melyik számjegyet jelöli

a

? (A) 1; (B) 3; (C) 4; (D) 6; (E) 7.
12. Ha

x^{2} + x y + x = 14

és

y^{2} + x y + y = 28

, akkor mi lehet az

x + y

értéke? (A)

- 7

; (B)

- 6

; (C) 0; (D) 1; (E) 7.
13. Hány olyan

x

egész szám van, amelyre

1 \leq x \leq 100

, és

x^{3} + 4 x + 2

osztható 7-tel? (A) 26; (B) 27; (C) 28; (D) 29; (E) 30.
14. Az

f (x)

függvény minden valós

x

-re teljesíti az

f (x) + 2 f (6 - x) = x

feltételt. Mennyi

f (1)

értéke? (A) 3; (B) 2; (C) 1; (D)

- 9

; (E) nem határozható meg.
15. Ha

a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = 0

, akkor

\begin{matrix} \frac{a b + 2 a c + 3 b c}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = ? \end{matrix}

(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3; (E) 4.
16. A

{(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{12}

kifejtett alakjában a konstans tag értéke:

(A)

- 1760

;

(B)

- 220

; (C) 220; (D) 1760; (E) egyik sem.
17. Ha az

x^{4} + a x^{2} + b

polinomnak osztója az

x^{2} + 5 x + 6

polinom, akkor

a + b

értéke: (A)

- 13

; (B) 23; (C) 36; (D) 61; (E) 73.
18. Egy 8 fős csoport kört alakít. Hányféleképpen állhatnak, ha a két legmagasabbnak egymás mellé kell kerülnie? (Két sorrend akkor különböző, ha a csoportból legalább az egyiknek legalább az egyik szomszédja különböző. A csoport tagjai között nincs két azonos magasságú.) (A)

6!

; (B)

7!

; (C)

2 \cdot 6!

; (D)

2 \cdot 7!

; (E)

\frac{8!}{2!}

.
19. Az

1,2, ...,100

számok közül kiválasztottunk néhányat úgy, hogy nincs köztük olyan, amely 3-szorosa lenne valamely másik kiválaszott számnak. Legfeljebb hány számot választhattunk így ki? (A) 51; (B) 66; (C) 67; (D) 76; (E) 78.
20. Az

a

b

c

és

d

számok értékei az

1,2, ...,10

számok közül valók. Mi a valószínűsége annak, hogy

a b + c d

értéke páros szám? (A négy szám között lehetnek egyenlők is.) (A)

\frac{1}{2}

; (B)

\frac{1}{4}

; (C)

\frac{3}{4}

; (D)

\frac{3}{8}

; (E)

\frac{5}{8}

.
21. A trapézt középvonala két olyan részre osztja fel, amelyek közül a kisebbiknek a területe

18 cm^{2}

. Ugyanezt a trapézt egyik átlója is két részre osztja, ezek közül a kisebbik résznek a területe

16 cm^{2}

. Mekkora a trapéz területe? (A) 40; (B) 48; (C) 56; (D) 60; (E) 72.
22. Milyen maradékot ad

16^{101} + 8^{101} + 4^{101} + 2^{101} + 1

, ha elosztjuk

2^{100} + 1

-gyel? (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 11; (E) 101.
23. Egy geometriai sorozat harmadik és első tagjának különbsége 16, a második és harmadik tag összege 24. Mekkora a sorozat negyedik tagja? (A) 10; (B) 32; (C) 24; (D) 54; (E) 27.
24. Az

x > 1

valós számra

x^{x} = y

és

y^{y} = 10^{2006}

. Az alábbiak közül melyik az igaz állítás? (A)

2 < x < 3

; (B)

3 < x < 4

; (C)

4 < x < 5

; (D)

5 < x < 6

; (E)

6 < x < 7

.
25. Hány olyan 100-nál kisebb páros pozitív szám van, amely kielégíti a

cos \frac{π x}{9} \cdot cos \frac{2 π x}{9} \cdot cos \frac{4 π x}{9} = \frac{1}{8}

egyenletet? (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 10; (E) 20.
26. Ha

log_{sin x} cos x + log_{cos x} tg x = 1

és

0^{\circ} < x < 90^{\circ}

, akkor

x =

(A)

15^{\circ}

; (B)

30^{\circ}

; (C)

45^{\circ}

; (D)

60^{\circ}

; (E)

75^{\circ}

.
27. Mennyi az

x^{lg x} = \frac{10 000}{x^{3}}

egyenlet gyökeinek szorzata? (A)

\frac{1}{1000}

; (B)

\frac{1}{10}

; (C) 100; (D) 1000; (E)

1 000 000

.
28. Az

A B C

háromszög oldalainak hosszai:

A B = 5

B C = 7

A C = 9

. Az

A C

oldalon felvettünk egy olyan

D

pontot, amelyre

B D = 5

.
Mekkora az

A D : D C

arány? (A)

4 : 3

; (B)

7 : 5

; (C)

11 : 6

; (D)

13 : 5

; (E)

19 : 8

29. Egy körben felvettünk két egymásra merőleges húrt,

A B

-t és

C D

-t. A húrok metszéspontja

P

A P = 20

C P = 30

B P = 60

.
Mekkora a kör sugara? (A)

25 \sqrt[]{3}

; (B)

5 \sqrt[]{65}

; (C)

30 \sqrt[]{2}

; (D)

10 \sqrt[]{65}

; (E) 40.

30. Jelölje

[x]

azt a legnagyobb egész számot, amely

x

-nél nem nagyobb. Ha

[\sqrt[3]{1}] + [\sqrt[3]{2}] + [\sqrt[3]{3}] + ... + [\sqrt[3]{n}] = 2 n

, akkor

n

értéke (A) 29; (B) 33; (C) 41; (D) 49; (E) 53.