Cím:	A 47. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2006/szeptember, 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   Első nap   1. feladat. Az $ABC$ háromszög beírt körének középpontja legyen $I$. A háromszög $P$ belső pontja kielégíti a $\begin{array}{c}{\displaystyle PBA\sphericalangle +PCA\sphericalangle =PBC\sphericalangle +PCB\sphericalangle }\end{array}$ egyenlőséget. Bizonyítsuk be, hogy $AP\ge AI$, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha $P=I$.   2. feladat. Legyen $P$ egy szabályos 2006-szög. $P$ egy átlóját jónak nevezzük, ha a végpontjai $P$ határát két olyan részre bontják, amelyek mindegyike $P$ páratlan sok oldalát tartalmazza. Az oldalakat szintén jónak nevezzük. Tegyük fel, hogy $P$-t háromszögekre bontottuk 2003 olyan átlóval, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja $P$ belsejében. Határozzuk meg az ilyen felbontásokban előforduló egyenlőszárú, két jó oldallal rendelkező háromszögek számának maximumát.   3. feladat. Határozzuk meg a legkisebb olyan $M$ valós számot, amire az $\begin{array}{c}{\displaystyle |ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)|\le M{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}\end{array}$ egyenlőtlenség teljesül minden $a$, $b$, $c$ valós számra.   Második nap   4. feladat. Határozzuk meg az összes olyan, egész számból álló $\left(x\mathrm{,}y\right)$ számpárt, amire teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+2^x+2^{2x+1}=y^2\mathrm{.}}\end{array}$   5. feladat. Legyen $P\left(x\right)$ egy egész együtthatós, $n>1$ fokú polinom, és legyen $k$ egy pozitív egész. Tekintsük a $Q\left(x\right)=P\left(P\left(\text{...}P\left(P\left(x\right)\right)\text{...}\right)\right)$ polinomot, ahol $P$ $k$-szor fordul elő. Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb $n$ darab olyan $t$ egész szám van, amire $Q\left(t\right)=t$. 6. feladat. Egy $P$ konvex poligon mindegyik $b$ oldalához hozzárendeljük a legnagyobb területű olyan háromszög területét, aminek egyik oldala $b$ és ami benne van $P$-ben. Bizonyítsuk be, hogy a $P$ oldalaihoz rendelt területek összege legalább a kétszerese $P$ területének. 1Az olimpia honlapja: http://imo2006.dmfa.si/.