Kezdőlap


Cím:	X. Román‐magyar előolimpiai fizikaverseny elméleti feladatai
Füzet:	2007/szeptember, 369 - 372. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Bonyolult jelenségek ‐ egyszerű megoldások (20 pont)
1/A. Határsebesség (5 pont)
Az $m = 10^{3}$ kg tömegű űrállomás a csillagközi térben mozog. Egy $M = 10^{30}$ kg közepes tömegű csillag $v = 10^{4}$ m/s átlagos sebességgel véletlenszerűen mozog a térben. Határozd meg az űrállomás átlagos sebességét hosszú időtartam után!
Tételezd fel, hogy az űrállomást semmilyen kozmikus test nem fogja be, és nem esik rá egy csillagra sem.
1/B. Rák-köd (5 pont)
A Rák-köd néven ismert gázfelhő, melyet a Földről egy gyengébb minőségű távcsővel is megfigyelhetünk, egy valamikori szupernóva robbanásának következtében jött létre. Ezt a robbanást a Földön i. sz. 1054-ben figyelték meg.
A Rák-köd képein, mint a hátsó borítón látható felvételen is megfigyelhető, a gázfelhő egyes részei úgy fénylenek, mint egy ,,távoli tűz'', amely vörös színű. Ez a sugárzás a magas hőmérsékletű hidrogéngáz fénykibocsátására jellemző.
A Rák-köd peremén található magas hőmérsékletű hidrogén által kibocsátott vörös sugárzás a Föld fele terjed, és a bolygónkon ezeknek a mért frekvenciája $4, 586 \cdot 10^{14}$ Hz, míg a földi laboratóriumban, azonos körülmények között található hidrogén által kibocsátott vörös sugárzás frekvenciája $4, 568 \cdot 10^{14}$ Hz.
$a)$ Tételezd fel, hogy a Rák-köd peremének a Földön található detektorhoz képesti viszonylagos (relatív) sebessége $u$ , mely teljesíti az $u ≪ c$ ( $c = 3, 00 \cdot 10^{8}$ m/s) feltételt, valamint azt, hogy a Rák-köd középpontjának sebessége a Földhöz képest elhanyagolható. Becsüld meg a Rák-köd külső peremének tágulási sebességét.
$b)$ Becsüld meg a Rák-köd keletkezésének évét, ismerve, hogy a Földről megfigyelt Rák-köd szögben kifejezett átmérője körülbelül 5 szögperc. Tételezd fel, hogy a szupernóva robbanásától kezdve a Rák-köd $d$ pereme állandó sebességgel tágul.
1/C. Szokatlan vaslencse (5 pont)
A hanghullámok különböző közegekben különböző sebességgel terjednek. Így a hanghullámok megtörhetnek és lencsékkel fókuszálhatók, akár a fényhullámok. A fentiek érdekes példája a Föld vas magja, mely lencseként viselkedik és fókuszálhatja egy robbanás vagy egy földrengés során kibocsátott hanghullámokat.
$a)$ Fénytani ismereteid és a fenti információk alapján becsüld meg, hogy a Föld középpontja felé küldött keskeny, párhuzamos hangnyaláb hol fókuszálódik! Tételezd fel, hogy a gömb alakú lencse a Föld kis sűrűségű köpenyében helyezkedik el.
$b)$ Tételezz fel egy robbanást a Föld felszínén és határozd meg a robbanási pont képpontját, amit a Föld vas magja hoz létre a Föld átmérője mint optikai tengely mentén!
Használd fel a következő adatokat:
A hang terjedési sebessége (és a törésmutató) a Föld belsejében bonyolultan változik a mélységgel. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a Föld 3500 km sugarú vas magjában a hang terjedési sebessége 9 km/s. Hasonlóan tételezzük fel, hogy a földköpenyben, mely 3500 km-től 6400 km-ig terjed, a hangsebesség 11 km/s. Hanyagold el, hogy a hanghullámok egy szilárd közegben lehetnek tranzverzálisak és longitudinálisak, és hogy ezeknek a komponenseknek különböző a terjedési sebességük. A megadott sebességek a gyorsabb, longitudinális hullámokra jellemzőek.
1/D. Egy csillag születése (5 pont)
Egy gömb alakú, $M$ tömegű, $Ω$ térfogatú, egyenletes anyageloszlású hidrogén gázfelhő a gravitációs erő hatására összehúzódik.
$a)$ Bizonyítsd be, hogy a gravitációs erő hatására a gázfelhőben kialakuló gáz nyomásának értéke:

\begin{matrix} P_{G} (Ω) = - \frac{1}{5} {(\frac{4 π}{3})}^{1 / 3} \frac{γ M^{2}}{Ω^{4 / 3}} . \end{matrix}

(1)

b)

Egyensúlyban, a gravitációs erő hatására kialakuló nyomást egy másik, a gázfelhőt szétszórni akaró nyomás egyenlíti ki. Ez a nyomás a gáz megszokott nyomása és az úgynevezett ,,degenerált elektron nyomás'' összege. Az utóbbi egy kvantumhatás, mely a Pauli-féle kizárási elv következménye. Az elektronok összenergiájának kifejezése:

\begin{matrix} E_{e} = \frac{π^{2} ℏ^{2} N_{e}^{5 / 3}}{10 m_{e} Ω^{2 / 3}} {(\frac{3}{π})}^{5 / 3}, \end{matrix}

(2)

ahol

N_{e}

a gázfelhőben lévő elektronok száma, míg a többi jelölés az általad jól ismert mennyiségeket jelentik. Felhasználva a (2) összefüggést, határozd meg a ,,degenerált elektronok'' által létrehozott nyomást!

Delia Davidescu és Adrian Dafinei, Bukarest

2. feladat. Közel és távol a Holdtól (10 pont)
Egy holdkörüli pályán keringő műhold kamerájával két felvétel készült a Holdról. A felvételeken a Hold

d_{1} = 46, 5

mm illetve

d_{2} = 40, 5

mm átmérőjű korongként jelenik meg. Az első felvétel akkor készült, amikor az ellipszis alakú pályán keringő műhold megközelitőleg holdközelben, míg a második akkor, amikor a műhold megközelítőleg holdtávolban volt.

a)

Az ellipszis excentricitása. A fenti információkat felhasználva határozd meg a műhold ellipszispályájának numerikus excentricitását! Becsüld meg, hogy minimálisan mennyi idő telhetett el a két felvétel között! Tudjuk, hogy a felvételeken a holdkorong átmérője egyenesen arányos azzal a szöggel, amely alatt a Hold a műholdról látszik.

b)

Stabil Lagrange-pontok. Ebben az alkérdésben tekintsük a Hold Föld körüli pályáját körnek. Határozd meg a Hold‐Föld egyenes azon pontjait, amelyekben a műhold elhelyezkedhet úgy, hogy körpályán mozogjon a Föld körül, miközben ugyanazon helyzetben marad a Földhöz és a Holdhoz képest is (az ilyen pontokat stabil Lagrange-pontoknak nevezzük). Ismertek:

r_{FH}

‐ a Föld és Hold középpontjai közötti távolság,

M_{F}

‐ a Föld tömege,

M_{H}

‐ a Hold tömege.

c)

Kozmikus ütközés. Egy meteorit, amely szabadon esik a Hold felszíne felé (a Hold középpontján áthaladó egyenes mentén) a Hold körül

R

sugarú körpályán mozgó űrállomással ütközik. Ütközés után a meteorit az űrállomás belsejében marad. Az így keletkezett rendszer egy új pályán mozog a Hold körül úgy, hogy a Hold középpontjához viszonyított legkisebb távolsága

r_{{min}_{}^{}} = R / 2

. Határozd meg a meteorit ütközés előtti sebességét. Ismertek: a Hold

M

tömege, a

γ

gravitációs állandó,

m_{1}

‐ az űrállomás tömege;

m_{2}

‐ a meteorit tömege.

Mihail Sandu, Nagyszeben

3. feladat. Compton-szórás (10 pont)
Egy

λ_{i}

hullámhosszúságú foton mozgásban lévő, szabad elektronon szóródik. A szóródás következtében az elektron megáll, és a

λ_{0}

hullámhosszúságúvá változott szóródott foton az eredeti irányához képest

ϑ = 60^{\circ}

-os szögben halad tovább, majd újra szóródik egy szabad elektronon, ami azonban nyugalomban van. Ebben a második ütközésben a foton

λ_{f} = 1, 25 \cdot 10^{- 10}

m hullámhosszra tesz szert, és a

λ_{0}

hullámhosszú foton haladási irányához képest szintén

ϑ = 60^{\circ}

-os szögben halad tovább.
Határozd meg az első elektron de Broglie-féle hullámhosszát a kölcsönhatás előtt!

A következő adatok ismertek:

h = 6, 6 \cdot 10^{- 34} J\cdots

‐ Planck-állandó,

m = 9, 1 \cdot 10^{- 31}

kg ‐ az elektron tömege,

c = 3, 0 \cdot 10^{8}

m/s ‐ a fénysebesség vákuumban.

Delia Davidescu és Adrian Dafinei, Bukarest