Cím:	A 2007. évi WILLIAM LOWELL PUTNAM verseny feladatai
Füzet:	2008/február, 76 - 77. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${}^{*}$   A1. Keressük meg $\alpha$ minden olyan értékét, amelyre az $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\alpha x^2+\alpha x+\frac{1}{24}\text{és az}x=\alpha y^2+\alpha y+\frac{1}{24}}\end{array}$ görbék érintik egymást.   A2. Legalább mekkora a területe egy síkbeli konvex halmaznak, amely metszi az $xy=1$ hiperbola mindkét szárát és az $xy=-1$ hiperbola mindkét szárát? (Akkor mondjuk a síkbeli $S$ halmazról, hogy konvex, ha $S$ tartalmazza bármely két pontjának összekötő szakaszát.)   A3. Legyen $k$ pozitív egész szám. Véletlenszerű sorrendben egymás után leírjuk az $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,3}k+1$ egészeket. Mi a valószínűsége annak, hogy a leírás során nincs olyan időpillanat, amikor az addig már leírt számok összege osztható 3-mal? A válasz zárt alak legyen, de tartalmazhat faktoriálisokat.   A4. A csupaegyes kifejezés jelentsen olyan tízes számrenszerben írt pozitív egészeket, amelyeknek minden jegye 1-es. Keressük meg az összes olyan valós együtthatós $f$ polinomot, amelyre hogyha $n$ csupaegyes, akkor $f\left(n\right)$ is az.   A5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy véges csoportnak pontosan $n$ darab $p$ rendű eleme van, ahol $p$ prímszám, akkor vagy $n=0$, vagy $p$ osztója $\left(n+1\right)$-nek.   A6. Egy $P$ sokszög $\text{T}$ háromszögelésének nevezzük véges sok háromszögnek olyan együttesét, amelyek uniója $P$, és amelyben bármely két háromszög közös része vagy üres, vagy egy közös csúcs, vagy egy közös oldal; továbbá a sokszög minden oldala pontosan egy $\text{T}$-beli háromszög oldala legyen. Tekintsünk egy $\text{T}$ háromszögelést megfelelőnek, ha minden belső csúcsban legalább 6 háromszög találkozik. Példa:     Bizonyítsuk be, hogy létezik csak $n$-től függő $M_n$ egész szám, amelyre egy $n$ oldalú $P$ sokszög minden megfelelő háromszögelése legfeljebb $M_n$ háromszögből áll.   B1. Legyen $f$ pozitív egész együtthatós polinom, $n$ pedig pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy $f\left(n\right)$ pontosan akkor osztója $f\left(f\left(n\right)+1\right)$-nek, ha $n=1$. [A szerkesztő megjegyzése: fel kell tennünk, hogy $f$ nem konstans.]   B2. Bizonyítsuk be, hogy ha az $f:\left[0;1\right]\to \text{R}$ függvény folytonosan deriválható és $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\mathrm{0,}}\end{array}$ akkor minden $\alpha \in \left(0;1\right)$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f\left(x\right)dx\right|\le \frac{1}{8}\underset{0\le x\le 1}{\overset{}{\text{max}}}|f\text{'}\left(x\right)|\mathrm{.}}\end{array}$   B3. Legyen $x_0=1$ és minden $n\ge 0$ esetén legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{n+1}=3x_n+\lfloor x_n\sqrt[]{5}\rfloor \mathrm{.}}\end{array}$ Így tehát $x_1=5$, $x_2=26$, $x_3=136$, $x_4=712$. Fejezzük ki $x_{2007}$-et zárt alakban. ($\lfloor a\rfloor$ azt a legnagyobb egész számot jelenti, amelyik nem nagyobb $a$-nál.)   B4. Legyen $n$ pozitív egész. Hány olyan $P$, $Q$ valós együtthatós polinompár van, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(P\left(X\right)\right)}^2+{\left(Q\left(X\right)\right)}^2=X^{2n}+1}\end{array}$ és $\text{deg}P>\text{deg}Q$.   B5. Bizonyítsuk be, hogy minden $k$ pozitív egészre léteznek olyan $\begin{array}{c}{\displaystyle P_0\left(n\right)\mathrm{,}{P}_1\left(n\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{P}_{k-1}\left(n\right)}\end{array}$ (esetleg $k$-tól függő) polinomok, amelyekre minden $n$ egész esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }^k=P_0\left(n\right)+P_1\left(n\right)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +\cdots +P_{k-1}\left(n\right){\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }^{k-1}\mathrm{.}}\end{array}$ ($\lfloor a\rfloor$ azt a legnagyobb egész számot jelenti, amelyik nem nagyobb $a$-nál.)   B6. Minden $n$ pozitív egészre legyen $f\left(n\right)$ az a szám, ahányféleképpen $n!$ centnek megfelelő értéket összeállíthatunk olyan érmékből, amelyek mindegyike $k!$ centet ér (a sorrend nem számít), ahol $1\le k\le n$. Bizonyítsuk be, hogy van olyan $n$-től független $C$ konstans, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle n^{n^2/2-Cn}{e}^{-n^2/4}\le f\left(n\right)\le n^{n^2/2+Cn}{e}^{-n^2/4}\mathrm{.}}\end{array}$ ${}^{*}$A versenyről megjelent ismertetés lapunk 2005/2. számában olvasható, a 71‐72. oldalon. A verseny honlapja: http://math.scu.edu/putnam/index.html, a megoldások a http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml honlapon találhatók.