Cím:	Megoldásvázlatok a 2007/8. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Koncz Levente
Füzet:	2007/december, 519 - 523. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg azokat az $a$, $b$, $c$ egész számokat, melyekre teljesül a következő két tulajdonság: $i)$ A három szám összege fele a szorzatuknak; $ii)$ Az egyik szám egyenlő a másik kettő összegével.  (11 pont)   Megoldás. Feltehetjük, hogy $a=b+c$, így $2\left(a+b+c\right)=4a=abc$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle a\left(bc-4\right)=0.}\end{array}$ I. eset: $a=0$. Ekkor $b=-c$ ($c$ tetszőleges egész). II. eset: $bc=4$. Vagyis a 4-et kell két egész szám szorzataként előállítanunk. Ekkor a megoldások: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccccc}{\displaystyle a=\mathrm{5,}}\hfill & {\displaystyle b=\mathrm{4,}}\hfill & {\displaystyle c=1;}\hfill & {\displaystyle a=-\mathrm{5,}}\hfill & {\displaystyle b=-\mathrm{4,}}\hfill & \hfill {\displaystyle c=-1;}\\ {\displaystyle a=\mathrm{5,}}\hfill & {\displaystyle b=\mathrm{1,}}\hfill & {\displaystyle c=4;}\hfill & {\displaystyle a=-\mathrm{5,}}\hfill & {\displaystyle b=-\mathrm{1,}}\hfill & \hfill {\displaystyle c=-4;}\\ {\displaystyle a=\mathrm{4,}}\hfill & {\displaystyle b=\mathrm{2,}}\hfill & {\displaystyle c=2;}\hfill & {\displaystyle a=-\mathrm{4,}}\hfill & {\displaystyle b=-\mathrm{2,}}\hfill & \hfill {\displaystyle c=-2.}\end{array}}}\end{array}$   2. Két, egy síkban haladó repülőgép repülési pályája két, egymásra merőleges egyenes. Egy adott pillanatban pályájuk képzeletbeli metszéspontjától az egyik repülőgép 2 km, a másik 2,5 km távolságban van. Az előbbi gép sebessége 270 km/h, a másiké 180 km/h. A gépek vészjelzője figyelmezteti a pilótákat, ha 1 km-nél jobban megközelítik egymást. $a)$ Határozzuk meg, hány másodperc múlva lesz a két repülőgép távolsága minimális. (9 pont) $b)$ Megszólal-e a vészjelző a repülőgépeken?  (3 pont)   Megoldás. $a)$ Tegyük fel, hogy a gépek a metszéspont felé közelítenek. Az egyik gép sebessége 75 m/s, a másiké 50 m/s. Pályáik metszéspontjától $t$ másodperc elteltével az egyik gép $2000-75t$, a másik $2500-50t$ méter távolságban lesz. A két gép távolsága: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=\sqrt[]{{\left(2000-75t\right)}^2+{\left(2500-50t\right)}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ aminek a minimumát keressük. Ez akkor minimális, amikor $\begin{array}{c}{\displaystyle d^2=8125t^2-550000t+10250000}\end{array}$ minimális. A kifejezés minimumhelye: $t=\frac{550000}{2\cdot 8125}\approx 33\mathrm{,}85$ másodperc. (Ekkor az első gép már túl lesz az útvonalak metszéspontján.) $b)$ A kapott $t$ értéket behelyettesítve a távolságképletbe kapjuk, hogy a két gép minimális távolsága 971 méter, tehát a vészjelzők megszólalnak.   3. Egy nem állandó számtani sorozat első három eleme közül a másodikat és a harmadikat felcserélve egy mértani sorozat első három elemét kapjuk. A számtani sorozat első eleme egyenlő a második és a harmadik elem szorzatának ellentettjével. Határozzuk meg a számtani sorozatot.  (14 pont)   Megoldás. A számtani sorozat első elemét $a$-val, differenciáját $d$-vel jelölve a számtani sorozat elemei sorban $a$, $a+d$ és $a+2d$; a mértani sorozaté pedig sorban $a$, $a+2d$ és $a+d$. A mértani sorozat tulajdonsága szerint: $\frac{a+d}{a+2d}=\frac{a+2d}{a}$. Ezt átalakítva adódik, hogy $a=-\frac{4}{3}d$ ($d\ne 0$). A második feltétel szerint $a=-\left(a+d\right)\left(a+2d\right)$. Behelyettesítve az $a$-ra kapott kifejezést kapjuk, hogy $d=-6$ és $a=8$. A keresett számtani sorozat tehát $a_n=8-\left(n-1\right)\cdot 6$, ami valóban megfelel a feltételeknek.   4. Egy $30$ fős osztályból hányféle különböző módon állíthatunk össze $a)$ egy ötfős csoportot;  (2 pont) $b)$ egy legfeljebb öt-, de legalább kétfős csoportot;  (4 pont) $c)$ egy ötfős csoportot, ha az osztály diákbizottság elnökének mindenképp benne kell lennie;  (4 pont) $d)$ egy ötfős csoportot, akik közül egy embert csoportvezetőnek jelölünk ki? (4 pont)   Megoldás. $a)$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{5}\right)=142506$. $b)$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{5}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2}\right)=174406$. $c)$ Ekkor a maradék 29 diákból kell négyet választanunk: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{29}{4}\right)=23751$. $d)$ Az első kérdésnél kapott eredményt szorozzuk 5-tel, hiszen az öt tag közül bármelyikük lehet a csoportvezető: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{5}\right)\cdot 5=712530$.   II. rész   5. Egy egyenes körkúp alakú edény alapkörének sugara 12 cm, magassága 18 cm. Az edényt csúcsára állítjuk, és $1$ liter vizet töltünk bele. $a)$ Milyen magasan áll benne a víz?  (8 pont) $b)$ Mennyi festékre lenne szükség az edény külső falának befestéséhez, ha $1$ liter festék $8\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ felületre elegendő?  (8 pont)   Megoldás. $a)$ A betöltött víz által elfoglalt rész hasonló az edényhez, tehát egy olyan egyenes körkúp, melynek magassága másfélszerese az alapkör sugarának. Sugarát $\varrho$-val jelölve $\begin{array}{c}{\displaystyle 1000=\frac{{\varrho }^2\pi \cdot 1\mathrm{,}5\varrho }{3}\mathrm{,}\text{ahonnan}1\mathrm{,}5\varrho =1\mathrm{,}5\cdot \sqrt[3]{\frac{3000}{1\mathrm{,}5\pi }}\approx 12\mathrm{,}9\text{cm. }}\end{array}$ Tehát a víz kb. 12,9 cm magasan áll benne. $b)$ A kúppalást felszínét kell kiszámolnunk. Pitagorasz tételéből a kúp alkotója: $a\approx 21\mathrm{,}63$ cm. A kúppalást felszíne: $A=r\pi a\approx 815\mathrm{,}43\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Mivel 1000 $\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ festék $80000\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ felület befestéséhez elegendő, azért az edény falához elég lesz $10\mathrm{,}19\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math> = 10,19}$ milliliter festék.   6. A hagyományos ötöslottón egy szelvénnyel játszva a nyerés (legalább két találat) esélye kb. $2\mathrm{,}33\%$. A nagy nyeremény reményében $100$ véletlenszerűen kitöltött szelvényt küldünk játékba. $a)$ Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy nyertes szelvényünk?  (5 pont) $b)$ Mekkora valószínűséggel lesz pontosan három nyertes szelvényünk?  (5 pont) $c)$ Hány szelvényt kellene feladni egy adott héten, hogy legalább $99\%$ valószínűséggel legyen köztük nyertes szelvény?  (6 pont)   Megoldás. $a)$ $P\left(\text{legalább 1 nyertes}\right)=1-P\left(\text{egy se nyer}\right)=1-{\left(1-0\mathrm{,}0233\right)}^{100}\approx 0\mathrm{,}905$. $b)$ $P\left(\text{3 nyertes}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3}\right)\cdot 0\mathrm{,}{0233}^3\cdot {\left(1-0\mathrm{,}0233\right)}^{97}\approx 0\mathrm{,}208$. $c)$ $0\mathrm{,}99<P\left(\text{van nyertes}\right)=1-P\left(\text{egy se nyer}\right)$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}01>P\left(\text{egy se nyer}\right)={\left(1-0\mathrm{,}0233\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldal logaritmusát véve: $-2>n\cdot \text{lg}0\mathrm{,}9767$. Ebből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle n>\frac{-2}{\text{lg}0\mathrm{,}9767}\approx 195\mathrm{,}3.}\end{array}$ Tehát legalább 196 szelvénnyel kellene játszanunk.   7. Egy számunkra megközelíthetetlen hegy tetején álló adótorony magasságát szeretnénk meghatározni. A hegy lábával azonos magasságban elterülő síkságon felvesszük az egymástól $80$ méterre lévő $A$ és $B$ pontokat úgy, hogy a $B$ pontból az $A$ pont és a torony (ebben a sorrendben) egy irányban látszódjanak. Az $A$ pontból a torony alját ${41}^{\circ }30\text{'}$-es, a tetejét ${49}^{\circ }$-os, a $B$ pontból a torony alját ${34}^{\circ }15\text{'}$-es szög alatt látjuk. $a)$ Milyen magas a hegy?  (7 pont) $b)$ Milyen magas a torony?  (5 pont) $c)$ Mekkora szög alatt látszik a $B$ pontból a torony teteje?  (4 pont)   Megoldás. $a)$ Az adótorony tetejét jelölje $T$, alját $T\text{'}$, a toronynak a talaj síkjára eső merőleges vetülete pedig legyen $H$. Ezekkel a jelölésekkel $T\text{'}AH\sphericalangle =41\mathrm{,}{5}^{\circ }$, tehát $T\text{'}AB\sphericalangle =138\mathrm{,}{5}^{\circ }$, $T\text{'}BA\sphericalangle =34\mathrm{,}{25}^{\circ }$, míg $AT\text{'}B\sphericalangle =7\mathrm{,}{25}^{\circ }$. A $T\text{'}AB$ háromszögben a szinusz tételt felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T\text{'}A}{80}=\frac{\text{sin}34\mathrm{,}{25}^{\circ }}{\text{sin}7\mathrm{,}{25}^{\circ }}\mathrm{,}}\end{array}$ s ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle T\text{'}A=80\cdot \frac{\text{sin}34\mathrm{,}{25}^{\circ }}{\text{sin}7\mathrm{,}{25}^{\circ }}\approx 356\mathrm{,}8.}\end{array}$ A $T\text{'}HA$ háromszögből: $\begin{array}{c}{\displaystyle T\text{'}H=T\text{'}A\cdot \text{sin}41\mathrm{,}{5}^{\circ }\approx 236\mathrm{,}4.}\end{array}$ Vagyis a hegy magassága kb. 236,4 m.     $b)$ A $TT\text{'}A$ háromszögben $T\text{'}AT\sphericalangle =7\mathrm{,}{5}^{\circ }$ és $T\text{'}TA\sphericalangle ={41}^{\circ }$. A szinusz tétellel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{TT\text{'}}{T\text{'}A}=\frac{\text{sin}7\mathrm{,}{5}^{\circ }}{\text{sin}{41}^{\circ }}\mathrm{,}\text{ebből}TT\text{'}=356\mathrm{,}8\cdot \frac{\text{sin}7\mathrm{,}{5}^{\circ }}{\text{sin}{41}^{\circ }}\approx 71.}\end{array}$ Vagyis kb. 71 m magas az adótorony. $c)$ $HA=\frac{T\text{'}H}{\text{tg}41\mathrm{,}{5}^{\circ }}\approx 267\mathrm{,}2$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}HBT\sphericalangle =\frac{TH}{HB}=\frac{TT\text{'}+T\text{'}H}{HA+AB}=\frac{307\mathrm{,}4}{347\mathrm{,}2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $HBT\sphericalangle \approx 41\mathrm{,}{5}^{\circ }$. Vagyis a torony teteje a $B$ pontból kb. $41\mathrm{,}{5}^{\circ }$-os szögben látszik.   8. Adott a koordináta-rendszerben az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2-4x-2y-20=0}\end{array}$ egyenletű $k_1$ kör. $a)$ Határozzuk meg a $k_1$ körbe írt derékszögű háromszög harmadik csúcsának koordinátáit, ha két ismert csúcsának koordinátái $\left(-2;4\right)$ és $\left(5;5\right)$.  (6 pont) $b)$ Keressünk az $x$ tengelyen olyan pontot, melyből a $k_1$ körhöz és az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-12\right)}^2+y^2=4}\end{array}$ egyenletű $k_2$ körhöz húzott érintők hosszúsága egyenlő.  (10 pont)   Megoldás. $a)$ A kör egyenletét átalakítva: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$. Tehát a kör középpontja a $P\left(2;1\right)$ pont, sugara pedig 5 egység. A két megadott pont valóban rajta van a körön. Thalész tétele miatt a két pont által meghatározott szakasz a derékszögű háromszögnek csak befogója lehet, a háromszög harmadik csúcsa pedig a megadott pontok valamelyikén áthaladó átmérő átellenes pontja. A kör középpontját felhasználva ezek könnyen meghatározhatók: $\left(6;-2\right)$ vagy $\left(-1;-3\right)$. $b)$ A keresett $T$ pont koordinátái legyenek $\left(t;0\right)$, az egyik érintési pont $k_1$-en legyen $S_1$. A $k_2$ kör középpontja $U\left(12;0\right)$, sugara 2 egység, az egyik érintési pont itt legyen $S_2$. $T{S}_{1}P$ és $T{S}_{2}U$ háromszögek derékszögűek, a $T{S}_1$ és $T{S}_2$ érintőszakaszok egyenlők. A Pitagorasz-tételeket felírva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T{S}_1^2}& {\displaystyle =T{P}^2-P{S}_1^2={\left(t-2\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2-5^2;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle T{S}_2^2}& {\displaystyle =T{U}^2-U{S}_2^2={\left(t-12\right)}^2-2^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $T{S}_1=T{S}_2$ miatt: ${\left(t-2\right)}^2-24={\left(t-12\right)}^2-4$. Ezt megoldva $t=8$ adódik. Vagyis a keresett pont a $\left(8;0\right)$.   9. $a)$ Határozzuk meg az $f\left(x\right)=p{x}^2+2x+q$ függvény grafikonja, valamint az $x=4$ és az $x=6$ egyenesek által közrezárt síkidom területét, ha tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-2\text{<span style="font-style: italic;">és</span>}\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=54.}\end{array}$ (9 pont) $b)$ Határozzuk meg azon $k$ értékeket, melyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{k}{\int }}f\left(x\right)dx=0.}\end{array}$ (7 pont)   Megoldás. $a)$ A két integrál értékéből egy-egy egyenletet írhatunk fel a két ismeretlen paraméterre: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\int }_0^2\left(p{x}^2+2x+q\right)dx}& {\displaystyle ={\left[\frac{p{x}^3}{3}+x^2+qx\right]}_0^2=\frac{8p}{3}+4+2q=-\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\int }_2^4\left(p{x}^2+2x+q\right)dx}& {\displaystyle ={\left[\frac{p{x}^3}{3}+x^2+qx\right]}_2^4=\left(\frac{64p}{3}+16+4q\right)-\left(\frac{8p}{3}+4+2q\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{56p}{3}+12+2q=54.}\hfill \end{array}}$ Rendezve a két egyenletet kapjuk, hogy $8p+18+6q=0$ és $56p-126+6q=0$. Az egyenletrendszer megoldása: $p=3$, $q=-7$. A keresett terület: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{4}{\overset{6}{\int }}3x^2+2x-7={\left[x^3+x^2-7x\right]}_4^6=\left(216+36-42\right)-\left(64+16-28\right)=210-52=158.}\end{array}$ $b)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{k}{\int }}3x^2+2x-7={\left[x^3+x^2-7x\right]}_0^k=k^3+k^2-7k=k\left(k^2+k-7\right)=0.}\end{array}$ A harmadfokú egyenlet megoldásai: $k_1=0$, $k_2=\frac{-1+\sqrt[]{29}}{2}\approx 2\mathrm{,}19$, $k_3=\frac{-1-\sqrt[]{29}}{2}\approx -3\mathrm{,}19$.