Cím:	Megoldásvázlatok a 2007/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Szlovák Sándorné
Füzet:	2007/október, 407 - 411. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Egy urnában $100$ cédula van $1$-től $100$-ig megszámozva. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerre két cédulát kihúzva ikerprímszámok lesznek a cédulákon? (Ikerprím két olyan prímszám, amelyek a természetes számok sorozatában egymás után következő páratlan számok.) $b)$ Mennyi a valószínűsége a ,,hármas iker'' húzásának, ha három cédulát húzunk ki egyszerre?  (11 pont)   Megoldás. $a)$ 1-től 100-ig összesen 8 pár ikerprímszám van: $\left(3;5\right)$, $\left(5;7\right)$, $\left(11;13\right)$, $\left(17;19\right)$, $\left(29;31\right)$, $\left(41;43\right)$, $\left(59;61\right)$ és a $\left(71;73\right)$. A 100 cédula közül kettőt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)=4950$-féleképpen lehet kiválasztani, ezért a keresett valószínűség $p=\frac{8}{4950}\approx 0\mathrm{,}0016$. $b)$ ,,Hármas iker'' csak egyféleképpen húzható, mert három egymást követő páratlan szám között mindig lesz egy 3-mal osztható. A 3-mal osztható számok között pedig egyetlen prímszám van, a 3. A ,,hármas iker'' így a $\left(3;5;7\right)$. A keresett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3}\right)}=\frac{1}{161700}\approx 6\mathrm{,}184\cdot {10}^{-6}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Osztható-e a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{38}{19}\right)$ binomiális együttható $17$-tel?  (12 pont)   Megoldás. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{38}{19}\right)=\frac{38!}{19!\cdot 19!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot \text{...}\cdot 34\cdot \text{...}\cdot 38}{{\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A számláló és a nevező is a 17-nek pontosan a második hatványával osztható, ezért ${17}^2$-nel lehet egyszerűsíteni. Tudjuk, hogy $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{38}{19}\right)$ egész szám. Az előzőek alapján látható, hogy a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{38}{19}\right)$ binomiális együttható nem osztható 17-tel.   3. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2+kx-\frac{k^2}{2}y+1=0}\end{array}$ kör egyenletében határozzuk meg a $k$ paraméter értékét úgy, hogy a kör mindkét koordináta-tengelyt érintse.  (14 pont)   Megoldás. Alakítsuk át az egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\left(x+\frac{k}{2}\right)}^2-\frac{k^2}{4}+{\left(y-\frac{k^2}{4}\right)}^2-\frac{k^4}{16}+1=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\left(x+\frac{k}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{k^2}{4}\right)}^2=\frac{k^4}{16}+\frac{k^2}{4}-1.}\hfill \end{array}}$ A kör középpontja $K\left(-\frac{k}{2};\frac{k^2}{4}\right)$, sugara $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\sqrt[]{\frac{k^4}{16}+\frac{k^2}{4}-1}\mathrm{,}}\end{array}$ feltéve, hogy a gyökjel alatti kifejezés pozitív. A kör akkor érinti mindkét koordináta-tengelyt, ha $\left|-\frac{k}{2}\right|=\frac{k^2}{4}$. Az egyenletnek három megoldása van: $k_1=-2$, $k_2=2$ vagy $k_3=0$. A $k_1=-2$ és a $k_2=2$ esetén pozitív valós szám lesz az $r$ ($r=1$). Ezek adják a két megoldást: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$ és ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$.   4. $a)$ Oldjuk meg az ${\left[x\right]}^2+3\cdot \left[x\right]-10=0$ egyenletet a valós számok halmazán. (Az $\left[x\right]$ az $x$-nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat jelenti.) $b)$ Milyen $p$ és $q$ egész számok esetén elégíti ki egyetlen egység hosszúságú számköz az ${\left[x\right]}^2+p\left[x\right]+q=0$ egyenletet?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ Az $\left[x\right]$-re két értéket kapunk: ${\left[x\right]}_1=2$, ${\left[x\right]}_2=-5$. Ha ${\left[x\right]}_1=2$, akkor $x\in \left[2;3\right[$. Ha ${\left[x\right]}_1=-5$, akkor $x\in \left[-5;-4\right[$. Vagyis a megoldás: $x\in \left[-5;-4\right[\cup \left[2;3\right[$. $b)$ Az adott egyenletből $\left[x\right]$-re egy megoldást kell kapnunk, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle D=p^2-4q=0\left(p;q\in \text{Z}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis a $q$ négyzetszám és a $p$ páros szám között ha fennáll a $p^2=4q$ összefüggés, akkor az egyenletnek a megoldása egyetlen, egység hosszúságú számköz.   II. rész   5. Határozzuk meg az $x^3+\left(3-2a\right)x^2-a^{2}x-3a^2+2a^3=0$ egyenletben az ,,$a$'' valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet valós gyökei valamilyen sorrendben mértani sorozatot alkossanak.  (16 pont)   Megoldás. Alakítsuk szorzattá a harmadfokú kifejezést: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3+\left(3-2a\right)x^2-a^{2}x-a^2\left(3-2a\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(x^2-a^2\right)+\left(3-2a\right)\cdot \left(x^2-a^2\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x^2-a^2\right)\cdot \left(x+3-2a\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x-a\right)\cdot \left(x+a\right)\cdot \left(x+3-2a\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ebből az alakból leolvashatók az egyenlet gyökei: $x_1=a$, $x_2=-a$ és $x_3=2a-3$. Három eset lehetséges. I. A mértani sorozatban középső elem az $x_2=-a$. Ekkor ${\left(-a\right)}^2=a\cdot \left(2a-3\right)$. Ennek az egyenletnek két gyöke van: $a_1=3$, $a_2=0$. Az $a_1=3$ esetén a mértani sorozat elemei: 3; $-3$; 3 ($q=-1$). Az $a_2=0$ nem ad megoldást. II. A mértani sorozat középső eleme az $x_1=a$. Ekkor $a^2=-a\left(2a-3\right)$. Ennek az egyenletnek két gyöke van: $a_3=1$, $a_4=0$. Az $a_3=1$ esetén a mértani sorozat elemei: $-1$; 1; $-1$ ($q=-1$). Az $a_4=0$ nem ad megoldást. III. A mértani sorozat középső eleme az $x_3=2a-3$. Ekkor ${\left(2a-3\right)}^2=-a^2$. Ennek az egyenletnek nincs valós megoldása. Vagyis két megfelelő paramétert találtunk: $a_1=3$, $a_3=1$.   6. Egy szabályos sokszögben $A$, $B$, $C$ és $D$ a sokszög négy egymás utáni csúcsa, az $AC$ szakasz négyzetes közepe az $AB$ és $AD$ szakasznak. Hány oldalú a sokszög?  (16 pont)   Megoldás. Legyen a sokszög köré írt kör sugara 1. Jelöljük az $AB$-hez tartozó középponti szöget $2\alpha$-val. Ekkor $AB=2\text{sin}\alpha$, $AC=2\text{sin}2\alpha$ és $AD=2\text{sin}3\alpha$.     A feladat feltétele szerint $AC=\sqrt[]{\frac{A{B}^2+A{D}^2}{2}}$, azaz $2A{C}^2=A{B}^2+A{D}^2$. Ebből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot 4\cdot \text{sin}{}^{2}2\alpha =4\text{sin}{}^2\alpha +4\text{sin}{}^{2}3\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ azaz $2\text{sin}{}^{2}2\alpha =\text{sin}{}^2\alpha +\text{sin}{}^{2}3\alpha$. Az addíciós tételek felhasználásával a $\begin{array}{c}{\displaystyle 8\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha =\text{sin}{}^2\alpha +{\left[\text{sin}\alpha \left(3-4\text{sin}{}^2\alpha \right)\right]}^2}\end{array}$ egyenlethez jutunk. Mivel $\text{sin}{}^2\alpha \ne 0$, azért eloszthatjuk vele az egyenlet mindkét oldalát. Így a $8\text{cos}{}^2\alpha =1+{\left(3-4\text{sin}{}^2\alpha \right)}^2$ egyenletet kapjuk. További alakításokkal: $\begin{array}{c}{\displaystyle 8-8\text{sin}{}^2\alpha =1+9-24\text{sin}{}^2\alpha +16\text{sin}{}^4\alpha \mathrm{,}8\text{sin}{}^4\alpha -8\text{sin}{}^2\alpha +1=0.}\end{array}$ Ebből kapjuk, hogy $\text{sin}{}^2\alpha =\frac{2\pm \sqrt[]{2}}{4}$, amihez $\text{cos}{}^2\alpha =\frac{2\mp \sqrt[]{2}}{4}$ tartozik. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{}^{2}2\alpha =4\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha =4\cdot \frac{2\pm \sqrt[]{2}}{4}\cdot \frac{2\mp \sqrt[]{2}}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Csak abban az esetben kaphatunk szabályos sokszöget, ha a $2\alpha$ fokban mért értéke $n$-ed része ${360}^{\circ }$-nak, ahol $n\ge 4$. Az egyetlen megfelelő érték a $2\alpha ={45}^{\circ }$. Ez azt jelenti, hogy a szabályos sokszög nyolcoldalú.   7. $a)$ Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2-\left[2\sqrt[]{2}\text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\right]x+\text{sin}2\alpha =0}\end{array}$ egyenletet, ahol az $\alpha$ valós paraméter. $b)$ Mutassuk meg, hogy az $f\left(\alpha \right)=\text{sin}{}^4\alpha +\text{cos}{}^4\alpha$ hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény a $g\left(\alpha \right)=\text{cos}{}^2\alpha$ hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény transzformáltja.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az egyenlet a következő alakban is írható az addíciós tételek segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-\left(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \right)x+\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =0.}\end{array}$ A gyökök és együtthatók közötti összefüggést alkalmazva az egyenlet gyökei: $x_1=\text{sin}\alpha$, $x_2=\text{cos}\alpha$. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle f\left(\alpha \right)}& {\displaystyle =\text{sin}{}^4\alpha +\text{cos}{}^4\alpha ={\left(\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha \right)}^2-2\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha =}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{1}{2}\text{sin}{}^{2}2\alpha =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{cos}{}^{2}2\alpha \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   8. $a)$ Mutassuk meg, hogy az $y=x^3+a{x}^2+\left(2a-3\right)x+a-2$ görbesereg minden tagja egy ponton megy át, ahol ,,$a$'' tetszőleges valós szám. Adjuk meg ennek a fix pontnak a koordinátáit. $b)$ Hogyan kell megválasztani az ,,$a$'' paraméter értékét, hogy a hozzá tartozó görbe $x_0=2$ pontjában húzott érintője áthaladjon a $P\left(-1;0\right)$ ponton?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Két tetszőleges $a$ értékhez tartozó görbe közös pontja megadja a fix pontot. Legyen $a=0$, illetve $a=1$. Ha $a=0$, akkor $y=x^3-3x-2$. Ha $a=1$, akkor $y=x^3+x^2-x-1$. Meghatározzuk a két görbe közös pontját: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+x^2-x-1=x^3-3x-\mathrm{2,}\text{azaz}{x}^2+2x+1=0.}\end{array}$ Vagyis $x=-1$. A két görbe közös pontja $P\left(-1;0\right)$, és ez valóban kielégíti a görbesereg minden tagjának egyenletét. $b)$ Felhasználjuk, hogy a keresett görbe $x_0=2$ pontjához tartozó érintőjének meredekségét a derivált helyettesítési értéke adja. Az $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+2a-3$. Ebből $f\text{'}\left(2\right)=6a+9=m_e$. Az érintési pont második koordinátája $f\left(2\right)=9a$, ezért az érintési pont $E\left(2;9a\right)$. Az érintő egyenlete az $a$ paraméter függvényében $y-9a=\left(6a+9\right)\cdot \left(x-2\right)$. Mivel át kell mennie a $P\left(-1;0\right)$ ponton, azért $-9a=-3\left(6a+9\right)$. Vagyis a megfelelő paraméter: $a=-3$.   9. $a)$ Határozzuk meg az ,,$a$'' paraméter értékét, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}f\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $f\left(x\right)=a{x}^2-3x+2$. $b)$ Számítsuk ki az $f\left(x\right)=x^2-3x+2$ hozzárendeléssel megadott függvény grafikonja és az $x$ tengely által meghatározott síkidom területét.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Először számítsuk ki az $f\left(x\right)$ függvény $\frac{2^x-1}{2^x+1}$ helyen vett helyettesítési értékét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right)}& {\displaystyle =a\cdot {\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right)+2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a\left(2^{2x}-2\cdot 2^x+1\right)-3\cdot \left(2^{2x}-1\right)+2\cdot \left(2^{2x}+2\cdot 2^x+1\right)}{2^{2x}+2\cdot 2^x+1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\left(a-1\right)\cdot 2^{2x}-\left(2a-4\right)\cdot 2^x+a+5}{2^{2x}+2\cdot 2^x+1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ennek határértéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right)=a-1=0\Rightarrow a=1.}\end{array}$ Ezért $f\left(x\right)=x^2-3x+2$. $b)$ Az $f\left(x\right)$ függvény zérushelyei: $x_1=1$ és $x_2=2$. A kérdéses terület: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=|\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-3x+2\right)dx|=\left|{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_1^2\right|=\left|\left(\frac{8}{3}-6+4\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2\right)\right|=\frac{1}{6}\mathrm{.}}\end{array}$