A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. Egy urnában cédula van -től -ig megszámozva. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerre két cédulát kihúzva ikerprímszámok lesznek a cédulákon? (Ikerprím két olyan prímszám, amelyek a természetes számok sorozatában egymás után következő páratlan számok.) Mennyi a valószínűsége a ,,hármas iker'' húzásának, ha három cédulát húzunk ki egyszerre? (11 pont) Megoldás. 1-től 100-ig összesen 8 pár ikerprímszám van: , , , , , , és a . A 100 cédula közül kettőt -féleképpen lehet kiválasztani, ezért a keresett valószínűség . ,,Hármas iker'' csak egyféleképpen húzható, mert három egymást követő páratlan szám között mindig lesz egy 3-mal osztható. A 3-mal osztható számok között pedig egyetlen prímszám van, a 3. A ,,hármas iker'' így a . A keresett valószínűség: | |
2. Osztható-e a binomiális együttható -tel? (12 pont) Megoldás. | | A számláló és a nevező is a 17-nek pontosan a második hatványával osztható, ezért -nel lehet egyszerűsíteni. Tudjuk, hogy egész szám. Az előzőek alapján látható, hogy a binomiális együttható nem osztható 17-tel.
3. Az kör egyenletében határozzuk meg a paraméter értékét úgy, hogy a kör mindkét koordináta-tengelyt érintse. (14 pont) Megoldás. Alakítsuk át az egyenletet:
A kör középpontja , sugara feltéve, hogy a gyökjel alatti kifejezés pozitív. A kör akkor érinti mindkét koordináta-tengelyt, ha . Az egyenletnek három megoldása van: , vagy . A és a esetén pozitív valós szám lesz az (). Ezek adják a két megoldást: és .
4. Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán. (Az az -nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat jelenti.) Milyen és egész számok esetén elégíti ki egyetlen egység hosszúságú számköz az egyenletet? (14 pont) Megoldás. Az -re két értéket kapunk: , . Ha , akkor . Ha , akkor . Vagyis a megoldás: . Az adott egyenletből -re egy megoldást kell kapnunk, ha Vagyis a négyzetszám és a páros szám között ha fennáll a összefüggés, akkor az egyenletnek a megoldása egyetlen, egység hosszúságú számköz.
II. rész 5. Határozzuk meg az egyenletben az ,,'' valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet valós gyökei valamilyen sorrendben mértani sorozatot alkossanak. (16 pont) Megoldás. Alakítsuk szorzattá a harmadfokú kifejezést:
Ebből az alakból leolvashatók az egyenlet gyökei: , és . Három eset lehetséges. I. A mértani sorozatban középső elem az . Ekkor . Ennek az egyenletnek két gyöke van: , . Az esetén a mértani sorozat elemei: 3; ; 3 (). Az nem ad megoldást. II. A mértani sorozat középső eleme az . Ekkor . Ennek az egyenletnek két gyöke van: , . Az esetén a mértani sorozat elemei: ; 1; (). Az nem ad megoldást. III. A mértani sorozat középső eleme az . Ekkor . Ennek az egyenletnek nincs valós megoldása. Vagyis két megfelelő paramétert találtunk: , .
6. Egy szabályos sokszögben , , és a sokszög négy egymás utáni csúcsa, az szakasz négyzetes közepe az és szakasznak. Hány oldalú a sokszög? (16 pont) Megoldás. Legyen a sokszög köré írt kör sugara 1. Jelöljük az -hez tartozó középponti szöget -val. Ekkor , és .
A feladat feltétele szerint , azaz . Ebből következik, hogy | | azaz . Az addíciós tételek felhasználásával a | | egyenlethez jutunk. Mivel , azért eloszthatjuk vele az egyenlet mindkét oldalát. Így a egyenletet kapjuk. További alakításokkal: | | Ebből kapjuk, hogy , amihez tartozik. Ekkor | | Csak abban az esetben kaphatunk szabályos sokszöget, ha a fokban mért értéke -ed része -nak, ahol . Az egyetlen megfelelő érték a . Ez azt jelenti, hogy a szabályos sokszög nyolcoldalú.
7. Oldjuk meg a | | egyenletet, ahol az valós paraméter. Mutassuk meg, hogy az hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény a hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény transzformáltja. (16 pont) Megoldás. Az egyenlet a következő alakban is írható az addíciós tételek segítségével: | | A gyökök és együtthatók közötti összefüggést alkalmazva az egyenlet gyökei: , .
8. Mutassuk meg, hogy az görbesereg minden tagja egy ponton megy át, ahol ,,'' tetszőleges valós szám. Adjuk meg ennek a fix pontnak a koordinátáit. Hogyan kell megválasztani az ,,'' paraméter értékét, hogy a hozzá tartozó görbe pontjában húzott érintője áthaladjon a ponton? (16 pont) Megoldás. Két tetszőleges értékhez tartozó görbe közös pontja megadja a fix pontot. Legyen , illetve . Ha , akkor . Ha , akkor . Meghatározzuk a két görbe közös pontját: | | Vagyis . A két görbe közös pontja , és ez valóban kielégíti a görbesereg minden tagjának egyenletét. Felhasználjuk, hogy a keresett görbe pontjához tartozó érintőjének meredekségét a derivált helyettesítési értéke adja. Az . Ebből . Az érintési pont második koordinátája , ezért az érintési pont . Az érintő egyenlete az paraméter függvényében . Mivel át kell mennie a ponton, azért . Vagyis a megfelelő paraméter: .
9. Határozzuk meg az ,,'' paraméter értékét, ha ahol . Számítsuk ki az hozzárendeléssel megadott függvény grafikonja és az tengely által meghatározott síkidom területét. (16 pont) Megoldás. Először számítsuk ki az függvény helyen vett helyettesítési értékét:
Ennek határértéke: | | Ezért . Az függvény zérushelyei: és . A kérdéses terület: | |
|