Kezdőlap


Cím:	Helyreigazítás
Szerző(k):	Turán Pál
Füzet:	1930/április, 264. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	1930/március: Goniometrikus polinomokról

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az előbbi (VI. évf. 7.) számban közölt dolgozatomban levezetett (4) egyenlet az

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{n - k}) = (\binom{n}{k}) \end{matrix}

összefüggés alkalmazásával

\begin{matrix} (\binom{n}{0}) f (n z) + (\binom{n}{1}) f (\bar{n - 2 z}) + ... + (\binom{n}{v - 1}) f (\bar{n - 2 v + 2 z}) + ε (\binom{n}{v}) f (\bar{n - 2 v z}) = 2^{n - 1} f {(z)}^{n} \end{matrix}

alakban írható, ahol

ε = 1

, ha

n

páratlan, de

ε = \frac{1}{2}

, ha

n

páros szám. Ennek tekintetbevételével a (8) egyenlet:

\begin{matrix} S_{r}^{(n)} = \frac{1}{2^{n - 1}} [(\binom{n}{0}) f_{n} + (\binom{n}{1}) f_{n - 2} + ... + (\binom{n}{v - 1}) f_{n - 2 v + 2} + ε (\binom{n}{v}) f_{n - 2 v}] \end{matrix}

és így

\begin{matrix} S_{r}^{(2)} = \frac{1}{2} [\frac{cos (r + 1) x sin r x}{sin x} + r] \end{matrix}

Hasonlóan a (9)-ben, ill. (11)-ben, a jobboldalon álló, szögletes zárójelbe foglalt összegek utolsó tagjához ugyanezen

ε

szorzót kell hozzácsatolnunk; ezáltal

\begin{matrix} Σ_{r}^{(2 s)} = \frac{{(- 1)}^{s}}{2^{2 s - 1}} [(\binom{2 s}{0}) f_{2 s} - (\binom{2 s}{1}) f_{2 s - 2} + ... + \frac{1}{2} {(- 1)}^{s} (\binom{2 s}{s}) f_{0}] \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} Σ_{r}^{(2)} = - \frac{1}{2} [\frac{cos (r + 1) x sin r x}{sin x} - r] \end{matrix}

és

\begin{matrix} Σ_{r}^{(4)} = \frac{1}{8} [\frac{cos 2 (r + 1) x sin 2 r x}{sin 2 x} - 4 \frac{cos (r + 1) x sin r x}{sin x} + 3 r] . \end{matrix}