A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az pont, továbbá az egyenletű kört az pontban érinti. (11 pont)
Megoldás. Az adott kör középpontjának koordinátái: . A keresett kör középpontja rajta van az és a pontokra illeszkedő egyenletű egyenesen. A keresett kör középpontja rajta van az és az pontok által meghatározott húr felezőmerőlegesén is, a egyenletű egyenesen. A két egyenes metszéspontja, vagyis a kör középpontjának koordinátái: . A kör sugarának hosszát az és a pontok távolságaként számíthatjuk ki: . A keresett kör egyenlete:
2. A Sajó sóder nevű cukorkát ötvenesével csomagolják. A minőségellenőrzéskor megállapították, hogy csak valószínűséggel találunk pontosan darabot a csomagokban. Mekkora az esélye annak, hogy hat csomag cukorkát vásárolva mindegyik csomagban darab cukorka lesz? Mekkora az esélye, hogy a hat csomag között legalább két olyan csomag van, amelyben nem darab cukorkát találunk? (12 pont)
Megoldás. Feltételezzük, hogy a vásárlásnál egymástól függetlenül, véletlenszerűen választottuk ki a csomagokat. A keresett valószínűség: . Vagyis 0,531 az esélye annak, hogy hat csomag cukorkát vásárolva mindegyik csomagban 50 darab cukorka lesz. A keresett valószínűség: | |
Vagyis 0,114 az esélye, hogy a hat csomag között legalább két olyan csomag van, amelyben nem 50 darab cukorkát találunk.
3. Határozzuk meg az halmazt, ha , . (14 pont)
Megoldás. Megoldjuk a egyenletet. Ez alakra rendezhető, amiből lehetséges értékei: vagy . Vagyis | |
Az feltétel szerint . Vagyis
4. Három különböző körkúpról tudjuk, hogy mind az alapkörük sugara, mind a kúpok magassága egy-egy azonos differenciájú számtani sorozat három egymást követő eleme. Mutassuk meg, hogy a kúpok térfogata nem lehet egy számtani sorozat három egymást követő eleme. (14 pont)
Megoldás. Az alapkörök sugarai legyenek: , , , a magasságok: , , . Ekkor a térfogatok: , , . Ha , , egy számtani sorozat három egymást követő eleme, akkor a egyenlőségnek kell teljesülnie. Számoljuk ki ezeket a különbségeket:
Látható, hogy a két különbség csak esetén lehetne egyenlő, de a kúpok különbözőek, ezért . A kúpok térfogata nem lehet egy számtani sorozat három egymást követő eleme.
II. rész 5. Egy derékszögű háromszög rövidebb befogója egység, egyik hegyesszöge . A háromszög egy belső pontját kössük össze az átfogó két végpontjával. Ezek a szakaszok és a két befogó olyan konkáv négyszög oldalai, melynek hegyesszögei és . Az átfogó melyik végpontjához van közelebb a pont? Milyen távol van a hosszabbik befogótól a pont? Mekkora a szóban forgó konkáv négyszög területe? (16 pont)
Megoldás. Készítsünk egy vázlatrajzot a feladat szövege alapján.
(így ). Mivel az háromszögben két szög egyenlő, így , vagyis a felvett belső pont az átfogó két végpontjától egyenlő távolságra van. Az derékszögű háromszögben . Az háromszögben a szinusztételt felírva: , amiből | |
Az derékszögű háromszögben , amiből kapjuk a keresett távolságot: . Az háromszög területéből vonjuk le az háromszög területét. Mivel , így . | | A négyszög területe: .
6. Tekintsük az egyenletű parabolákat, ahol -től különböző tetszőleges valós szám. Van-e a paraméternek olyan értéke, amelyre a parabolának nincs közös pontja az tengellyel? Határozzuk meg azokat a pontokat, amelyek a fenti parabolasereg valamennyi elemére illeszkednek. Határozzuk meg a paraméter értékét úgy, hogy a egyenlet gyökeinek négyzetösszege legyen. (16 pont)
Megoldás. Olyan értéket keresünk, amelyre a másodfokú egyenletnek nincs esetén nemnegatív, vagyis a parabolának mindig van közös pontja az tengellyel. Rendezzük a parabolasereg egyenletét a hatványai szerint: Látható, hogy ha a együtthatója 0, akkor értéke nem függ a -től. Ez akkor teljesül, ha vagy . Így minden adott típusú parabola áthalad a , illetve a pontokon. További ilyen pont pedig nincs, mert három különböző pont egyértelműen határoz meg egy legfeljebb másodfokú függvényt. | | amiből a másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek gyökei lesznek a keresett értékek: , .
7. Melyek azok az , egész számok, amelyekre (16 pont)
Megoldás. A logaritmus definíciója miatt: , . A logaritmus azonosságai szerint: , azaz . Ezt írjuk a következő alakban: . Bontsuk szorzattá a jobb oldalon álló kifejezést: . A következő értékek jöhetnek szóba:
A feltételeknek a , , , számpárok felelnek meg.
8. Az hozzárendeléssel megadott, a intervallumon értelmezett függvény görbéjét megforgatjuk az tengely körül. Határozzuk meg azt a legnagyobb egész számot, amelyre a keletkezett forgástest térfogata nem haladja meg az térfogategységet. Írjuk fel az érintő egyenletét az grafikonjának abszcisszájú pontjában. (16 pont)
Megoldás. Számítsuk ki a keletkezett forgástest térfogatát. Tudjuk, hogy az nem haladja meg az 1000 térfogategységet. A kérdés úgy értelmes, ha . | | Innen , tehát a keresett legnagyobb egész szám a 25. Határozzuk meg a deriváltat: Az érintő meredeksége: Az abszcisszájú pont koordinátái: . Az érintő egyenlete:
9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a összeg minimális. Mennyi ez a legkisebb érték? (16 pont)
Megoldás. Hegyesszögek esetén a és a is értelmezve van és pozitív. Ismerjük két pozitív szám esetén a mértani és a számtani közép közötti egyenlőtlenséget: . Egyenlőség esetén van. Alkalmazzuk ezt és értékekre: | | amit így írhatunk: | | A kifejezés értéke akkor lehet 4, ha . Ha hegyesszög, akkor ez ekvivalens a feltétellel, ami most pontosan akkor teljesül, ha . |