Kezdőlap


Cím:	Pályázat
Füzet:	1937/május, 296. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1937. szept. 15. határidővel a következő három tételt tűzzük ki. Pályázhatnak oly első- és másodéves egyetemi hallgatók is, akik folyóiratunknak munkatársai voltak.

Bebizonyítandó, hogy

\begin{matrix} [2 (\binom{6 n}{0}) - (\binom{6 n}{1}) - (\binom{6 n}{2})] + [2 (\binom{6 n}{3}) - (\binom{6 n}{4}) - (\binom{6 n}{5})] + ... + \\ + [2 (\binom{6 n}{6 n - 3}) - (\binom{6 n}{6 n - 2}) - (\binom{6 n}{6 n - 1})] = 0. \end{matrix}

Berend

II.

Állapítsuk meg azt a vonatkozást, amely egy síknégyszögnek egy csúcsba ütköző

a_{1}

b_{1}

oldalai és

c_{1}

átlója, valamint ez oldalakkal szembenfekvő

a

b

oldalai és a másik

c

átlója között fennáll.
K.

III.

Ha az

A B C D

négyszög és a

g

egyenes adva van egy síkban, akkor végtelen sok (

\infty^{1}

) oly

A_{i} B_{i} C_{i} D

négyszöget lehet rajzolni, amelynek

B_{i} C_{i}

C_{i} A_{i}

A_{i} B_{i}

D A_{i}

D B_{i}

D C_{i}

oldalai és átlói a

g

egyeneshez ugyanoly szögek alatt hajlanak, anélkül hogy azokkal parallelek volnának, mint megfelelőleg az első négyszög

D A

D B

D C

B C

C A

A B

oldalai és átlói. Igazoljuk:
1. Az

A B C

háromszög az

A_{i} B_{i} C_{i}

háromszögekkel perspektív, tehát az

A A_{i}

B B_{i}

C C_{i}

egyenesek egy

O_{i}

pontban (perspektivitási középpontban) találkoznak és így a

B C

B_{i} C_{i}

;

C A

C_{i} A_{i}

;

A B

A_{i} B_{i}

oldalpárok egymást egy

o_{i}

egyenesen (perspektivitási tengelyen) metszik;
2. az

O_{i}

pontok geometriai helye az

A B C D

négyszög köré írt

O^{2}

kúpszelet, amelynek egyik tengelye a

g

egyenessel parallel;
3. az

o_{i}

egyegesek egy az

A B C

háromszögbe írt

ω^{2}

parabolának érintői, amelynek tengelye ugyanoly szög alatt hajlik a

g

egyeneshez, mint a parabola

F

gyújtópontját, a

D

ponttal összekötő

D J

egyenes, anélkül, hogy ezzel parallel volna;
4. a szerkesztésből folyólag határozzuk meg az

O^{2}

kúpszelet

A

B

C

D

pontjainak érintőit és az

ω^{2}

parabolának érintőpontjait az

A B C

háromszög oldalaival.
Klug.