Cím: Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2004-2005
Szerző(k):  Dr. Kántor Sándorné 
Füzet: 2005/április, 199 - 202. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2004‐2005. tanévben a verseny 2004. november 10-én került megrendezésre a DE Matematikai Intézete és a BJMT Hajdú-Bihar megyei Tagozata közös szervezésében. A verseny koordinátora Lajkó Károly, a versenybizottság vezetője Kántor Sándorné volt. A versenyen 1300-nál több tanuló vett részt a város és a megye középiskoláiból, akik évfolyamonként versenyeztek három kategóriában. Az 5 feladatból álló feladatsor kidolgozására 3 óra állt rendelkezésre. A versenybizottság sikeresnek értékelte a tanulók teljesítményét és 35 tanár 66 diákját részesítette helyezésben vagy dicséretben. A feladatsorokat a DE Matematikai Intézetének oktatói állították össze: 9. évfolyam: Kovács András, 10. évfolyam: Kántor Sándor, 11. évfolyam: Bérczes Attila és Kántor Sándorné, 12. évfolyam: Kántor Sándorné. Az idén a 11. és 12. évfolyam feladatsora bizonyult nehezebbnek.

 
A verseny eredményei (a következő rövidítéseket használtuk: TÁG: Tóth Árpád Gimnázium, DE Kossuth: DE Kossuth Gimnázium, Hszoboszló Hőgyes: hajdúszoboszlói Hőgyes Endre Gimnázium, Hböszörmény Bocskai: hajdúböszörményi Bocskai Gimnázium, FMG: debreceni Fazekas Mihály Gimnázium, Bethlen: Bethlen Gábor Kereskedelmi és Postaforgalmi Szakközépiskola):
 
9. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Varga Imre (Hszoboszló, Hőgyes), Ruzicska Erzsébet (DE Kossuth), II. díj: Ancza Fruzsina és Szekeres Balázs (Hböszörmény Bocskai), III. díj: Szilágyi György (TÁG) és Marincsák Miklós (Szent József Gimn.).
Speciális matematika tagozat (FMG): I. díj: Tóth László és Csóka Győző, III. díj: Gaál Zsuzsanna.
Szakközépiskolák: III. díj: Dobi Katalin és Szabó Annamária (Bethlen G. SzKI).
 
10. évfolyam:
Gimnáziumok: II. díj: Kovács József (Hböszörmény, Bocskai), III. díj: Bíró Tamás (TÁG) és Csatári Tamás (Hböszörmény Bocskai).
Speciális matematika tagozat (FMG): I. díj: Berna Zoltán és Horváth Gergely, II. díj: Vincze János, III. díj: Lóska Ádám és Tóthmérész Lilla.
Szakközépiskolák: ‐.
 
11. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Máté Balázs (TÁG) és Kovács Péter (DE Kossuth), II. díj: Boros Péter (TÁG).
Speciális matematika tagozat (FMG): III. díj: Mikulán Attila.
Szakközépiskolák: ‐.
 
12. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Varga Zoltán (Hszoboszló Hőgyes), II. díj: Háló Albert (TÁG) és Sóvágó Sándor (Hböszörmény Bocskai).
Speciális matematika tagozat (FMG): III. díj: Kovács Máté.
Szakközépiskolák: ‐.
 
A 9. évfolyam feladatsora
 

1. András a nagypapájától egy régi faliórát kapott. Az óra minden egész órakor annyit üt, amilyen számra a számlapon a kismutató éppen akkor mutat. Ezen kívül a szerkezetből minden óra 15 perckor 1, minden óra 30-kor kettő és minden óra 45-kor három ütés hallható. Egy nap alatt összesen hányat üt az óra? (8 pont)
 
2. Az utcáról az iskola kapujáig 5 lépcső vezet fel. Béla reggelente vagy egyesével vagy kettesével szedi a lépcsőfokokat. Hányféleképpen juthat fel Béla a lépcsőn? (10 pont)
 
3. Egy régi feladat szerint valaki elad két lovat és két nyerget. Az egyik nyereg ára 120 peták, a másiké 25 peták. Az első ló a drága nyereggel háromszor annyiba kerül, mint a második ló az olcsó nyereggel. A második ló a drága nyereggel viszont feleannyiba kerül, mint az első ló az olcsó nyereggel. Hány petákba kerül a drágább ló és mennyibe az olcsóbb? (12 pont)
 
4. Kössük össze egy szabályos háromszög egyik belső pontját a csúcsokkal. Minden esetben lehet-e az így kapott három szakaszból háromszöget szerkeszteni? (14 pont)
 
5. Oldjuk meg a valós számok halmazán az
[x]-{x}=0
egyenletet. (16 pont)
Megjegyzés: Egy x szám [x] egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb az x számnál. Egy x szám {x} törtrésze az x-[x] szám.
 
A 10. évfolyam feladatsora
 

1. Bontsa tényezőkre az
ab(a-b)-ac(a+c)+bc(2a+c-b)
kifejezést! (8 pont)
 
2. Két pozitív egész szám hányadosa 38, összege egy prímszám köbe. Melyek ezek a számok? (12 pont)
 
3. Szerkessze meg azt az egyenlőszárú háromszöget, amelynek adott a szárszöge és a szárához tartozó súlyvonal hossza! (12 pont)
 
4. Bizonyítsa be, hogy ha két pozitív egész szám négyzetének összege osztható hárommal, akkor osztható kilenccel is! (12 pont)
 
5. Egy háromszögben két-két magasság hosszát összeadva, a kapott három szám aránya 5:7:8. Mennyi a háromszög oldalainak az aránya? (16 pont)
 
A 11. évfolyam feladatsora
 

1. Bizonyítsa be, hogy
3(a2+b2+c2+d2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).
Mikor állhat fenn egyenlőség? (8 pont)
 
2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
x+4x-4=x-3.(10 pont)

 
3. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes szám esetén (n+1)(5n-3n) osztható 4-gyel. (12 pont)
 
4. Az ABC háromszögben AB=13, BC=14, AC=15, a súlyvonalak metszéspontja S. Az A, B és C pontokat az S pont körül 180∘-kal elforgatva rendre az A', B', C' pontokat kapjuk. Mennyi az ABC és A'B'C' háromszöglapok egyesítésével keletkező síkidom területe? (14 pont)
 
5. Legyen f:R∖{3}→R egy függvény. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben
f(3x+1x-3)=2f(x)+3,hax∈R∖{3},
akkor f konstans függvény. (16 pont)
 
A 12. évfolyam feladatsora
 

1. 4 millió forint készpénzünket a bank ajánlatára változó kamatozásra tettük be 3 éves futamidőre. Az első évben 10%-os volt a kamatláb, a második évben a bank a kamatlábat p%-kal, a harmadik évben ismét p%-kal emelte meg. Így a harmadik év végén 293 920 Ft-tal többet kaptunk, mintha 3 éven át 10%-os kamatos kamatra helyeztük volna el a pénzünket. Hány %-os volt a kamatlábemelés a 2. és 3. évben? (9 pont)
 
2. Legyenek u és v olyan egész számok, amelyekre 0<v<u teljesül! Az A(u;v) pontot tükrözzük az y=x egyenletű egyenesre. A tükörképet jelöljük B-vel, a B pontnak az y tengelyre vonatkozó tükörképét C-vel, a C pontnak az x tengelyre vonatkozó tükörképét D-vel, a D pontnak az y tengelyre vonatkozó tükörképét E-vel.
Az így keletkező ABCDE ötszög területe 451. Adjuk meg az ötszög csúcspontjainak koordinátáit! (12 pont)
 
3. Az ABC háromszöget a BC oldalával párhuzamos e egyenessel úgy tudjuk kettévágni, hogy a keletkező két síkidom területe is és kerülete is egyenlő.
Bizonyítsa be, hogy az ABC háromszög dBC=a, dAC=b, dAB=c oldalai között a b+c=a(2+1) összefüggés érvényes! (12 pont)
 
4. Egy téglatest A csúcsából induló éleinek hossza 1, 2, 3. Ezeknek az éleknek az A csúcstól különböző végpontjai egy síkot határoznak meg. Milyen távol van az A csúcs ettől a síktól? (13 pont)
 
5. Két számtani sorozat azonos indexű tagjait összeszoroztuk. Így kaptuk meg a c0=a0b0=1440, c1=a1b1=1716, c2=a2b2=1848, ..., cn=anbn sorozatot. Határozza meg ennek a sorozatnak a nyolcadik tagját! (14 pont)