Kezdőlap


Cím:	Matematikai olimpiász Moszkvában
Füzet:	1950/február, 46 - 47. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Matematika v Skole (Matematika az iskolában) c. folyóirat beszámol a moszkvai iskolák 1949. évi matematikai olimpiászáról, melyet a moszkvai matematikai társaság, a moszkvai állami Lomonoszov egyetem és Moszkva város népművelési bizottsága rendezett. A versenyre komoly tanulóköri munkával készültek, ahol több professzor előadást is tartott a versenyre készülőknek. Az olimpiász első fordulóját április 3-án tartották. A VlI.‐VIII.-osok versenyén 299-en, a IX.‐X. osztályosokén pedig 608-an indultak. Legnagyobbrészt moszkvai diákok, de néhányan távoli városokból utaztak a verseny színhelyére.
A második fordulóra a VII.‐VIII.-os csoportból 99 résztvevő jutott be, a IX.‐X.-esek közül 244-en. Az előbbiben nem adták ki az első díjat. II. díjat nyert 4, III.-at 7 tanuló, 12-en pedig dicséretben részesültek. A IX.‐X.-es csoportban ketten nyertek első díjat, 6-an második díjat, 8-an harmadik díjat. Dicséretben részesült 18 versenyző. A nyertesek matematika-könyveket kaptak, az elsők egész kis könyvtárat, hogy tartani is alig bírták.
Az alábbiakban kitűzzük az első forduló tételeit megoldásra. Ezekből egyet választottak ki a versenyzők.

1. VII.-VIII.- os csoport:

1. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} 27195^{8} - 10887^{8} + 10152^{8} \end{matrix}

osztható maradék nélkül

26460

-nal.
2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy sokszögnek több szimmetria tengelye van, azok mind egy pontban találkoznak.
3. Bizonyítsuk be, hogy az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 x y z \end{matrix}

egyenletnek nincs más egész értékű megoldása, mint

x = y = z = 0

.
4. Bizonyítsuk be, hogy ha. egy síkbeli zárt törtvonal hosszúsága

1

, akkor a törtvonal lefedhető egy

1 / 4

sugarú körrel.
5. Bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges háromszögben a beírt kör középpontját és valamelyik, a háromszöghöz hozzáírt kör középpontját összekötő egyenesszakaszt a háromszög köré írt kör felezi.

2. IX.‐X.-es csoport:

1. Keressünk olyan

x

y

z

és

v

egész számokat, melyekre teljesül, hogy

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + v^{2} = 2 x y z v . \end{matrix}

2. Hogyan helyezkednek el a szimmetria síkjai annak a testnek, melynek két forgástengelye van? (Egy test forgástengelyének azt az egyenest nevezzük, mely körül bármilyen szöggel elforgatva önmagába megy át.)
3. Keressük meg a következő egyenlet valós gyökeit:

\begin{matrix} x^{2} + 2 a x + \frac{1}{16} = - a + \sqrt[]{a^{2} + x - \frac{1}{16}} (0 < a < \frac{1}{4}) \end{matrix}

(I)

4. Legyen

4 n

pozitív számunk, melyeknek az a tulajdonsága, hogy bármely

4

egymástól különbözőből geometriai haladványt alkothatunk, Bizonyítsuk be, hogy ezek között a számok között található

n

egyenlő.
5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy hatszög szemközti oldalai párhuzamosak és a szemközti csúcsokat összekötő átlók egyenlők, akkor kör írható a hatszög köré.