Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2006/január, 16 - 17. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg a $k$ értékét úgy, hogy a következő egyenletnek legyen valós gyöke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-2005x-2006}+\sqrt[]{x^2-2007x+2006}+\sqrt[]{x^2-k^2}=0.}\end{array}$ (11 pont)   2. Egy mértani sorozat három egymást követő tagja közül a harmadik $-2$. Ha ezt az első kettő elé rakjuk, akkor egy számtani sorozat egymást követő három tagját kapjuk. Adjuk meg az eredeti három számot.  (12 pont)   3. Adjuk meg a következő összeget tized pontossággal: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{lg}\left(7\cdot \sqrt[]{\frac{1}{2}}\right)+\text{lg}\left(7^2\cdot \sqrt[]{\frac{2}{3}}\right)+\text{lg}\left(7^3\cdot \sqrt[]{\frac{3}{4}}\right)+\text{...}+\text{lg}\left(7^{999}\cdot \sqrt[]{\frac{999}{1000}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   4. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög $AB$ alapja 56 cm, a szárai 53 cm hosszúak. Tudjuk, hogy az $AB$ alap $F$ felezőpontja, a beírt körének az $O$ középpontja, a köré írt körének a $K$ középpontja, az $S$ súlypontja, az $M$ magasságpontja és a $C$ csúcspontja egy egyenesen vannak. $a)$ Hány háromszöget határoznak meg az $F$, $O$, $K$, $S$, $M$, $C$ és $A$ pontok? $b)$ Számítsuk ki az $ASK$ háromszög területét. $c)$ Számítsuk ki az $FO$ hosszát.  (14 pont)   II. rész   5. Ha a $\left[-3;3\right]$ intervallumon értelmezett $f\left(x\right)=3|x|$ és $g\left(x\right)=x^2$ hozzárendelésű függvények görbéjét az $y$ tengely körül megforgatjuk, akkor két pohár alakú testet kapunk. Adjuk meg a két pohár térfogatának eltérését deciliterben, ha a koordinátarendszer egysége 1,5 cm.  (16 pont)   6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{\sqrt[]{5}}{11}\right)}^{\frac{2}{-5+\text{lg}x}-\frac{4}{1+\text{lg}x}}=24\mathrm{,}2.}\end{array}$ (16 pont)   7. Adott három kör az egyenletével: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+8x+y^2-4y+16}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2+2x+y^2-6y+6}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2-4x+y^2+12y+36}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ $a)$ Számítsuk ki a középpontjaik által meghatározott háromszög kerületét és területét. $b)$ Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyet az adott körök belülről érintenek.  (16 pont)   8. András és Béla nagyon sokat asztaliteniszeznek egymással. A tapasztalat azt mutatja, hogy András 0,7, Béla 0,3 valószínűséggel nyer meg egy játékot. Ha többször játszanak, akkor azt tekintjük győztesnek, aki többször nyert. $a)$ Mekkora András nyerési esélye, ha négyszer játszanak? $b)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy Béla minden játékot megnyer, ha háromszor játszanak? $c)$ Hogyan változott András egy játékának nyerési esélye, ha két játék esetén Béla $\frac{5}{9}$ valószínűséggel nem veszít?  (16 pont)   9. Igazoljuk, hogy a $2^n\cdot n!<{\left(n+1\right)}^n$ egyenlőtlenség minden 1-nél nagyobb természetes szám esetén fennáll.  (16 pont)