Cím:	A 2004-2005. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2005/november, 463 - 467. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. kategória: Szakközépiskolák   Első (iskolai) forduló   1. Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül valamelyik a 3-as, továbbá a számjegyek összege és szorzata egyenlő? $\begin{array}{c}\end{array}$ 9 pont   2. Az $ABC$ háromszög $AB$ oldalán vegyük föl az $M$ és $N$ pontokat úgy, hogy $AM=MN=NB$ legyen. Jelölje $A_1$ a $BC$ és $B_1$ az $AC$ oldalak felezőpontját, valamint $P$ legyen a $B{B}_1$ és $CN$, $K$ pedig az $A{A}_1$ és $CM$ szakaszok metszéspontja! Fejezze ki a $PK$ szakasz hosszát az $AB$ oldal hosszával!  10 pont   3. Oldja meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2\cdot y^2-7x\cdot y^2+10y^2+44xy-154y+484=0}\end{array}$ egyenletet, ha $x$ és $y$ pozitív prímszámok!  11 pont   4. Van-e olyan $n$ természetes szám, amelyre az $A=3n^2+3n+7$ kifejezés egy természetes szám köbével egyenlő? 12 pont   5. A szimmetrikus $ABCD$ trapéz hosszabbik alapja $AB$. Az $ABC$ háromszögbe írt kör középpontja $O_1$, a $BCD$ háromszögbe írt kör középpontja $O_2$. Bizonyítsa be, hogy $O_1{O}_2$ merőleges $AB$-re! 13 pont   6. Egy elektronikus levelezőtársaságnak 2004 tagja van. Közülük néhányan személyesen is ismerik egymást (az ismeretség kölcsönös). Bizonyítsa be, hogy a 2004 tag két csoportba osztható úgy, hogy a csoportokon belüli személyes ismeretségek számának összege nem több, mint a két csoport tagjai közötti ismeretségek száma! 15 pont   Második forduló   1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_3\frac{3}{x}\text{log}{}_{2}x-\text{log}{}_3\frac{x^3}{\sqrt[]{3}}=\frac{1}{2}+\text{log}{}_{2}x\mathrm{.}}\end{array}$ (8 pont)   2. Melyek azok az $x$, $y$ racionális számokból álló számpárok, amelyekre teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 4x-y=\frac{625}{y^2}\text{és}x-4y=\frac{625}{x^2}?}\end{array}$ (8 pont)   3. Egy körbe beírtunk egy szabályos háromszöget. Egyik oldalával párhuzamosan olyan szelőt húztunk, mely metszi a háromszög másik két oldalát és a kapott húr $\frac{7}{5}$-öd része van a háromszögön belül. Tudjuk még azt is, hogy mind a háromszög oldala, mind a húr háromszögön belüli és azon kívüli darabjainak mérőszáma egész szám. $a)$ Mekkora a legkisebb ilyen háromszög oldala? $b)$ Milyen távol van ez a húr a kör középpontjától?  (10 pont)   4. Az $\left(a_n\right)$ sorozatban $a_{n+1}=4\cdot a_n-a_n^2$. Milyen $a_1$ egész szám esetén lesz a sorozat egy bizonyos tagtól kezdve állandó?  (12 pont)   5. Az $ABC$ derékszögű háromszögben a $C$ csúcsból az $AB$ átfogóra rajzolt magasságvonal az $AB$ átfogót a $D$ pontban metszi. A $CD$ szakasz felezőpontja $O$, az $A$ pontot az $O$-val összekötő egyenesnek a $BC$-vel való közös pontja $M$. Mutassa meg, hogy $\frac{CM}{MB}=\text{cos}{}^2\alpha$, ahol $\alpha$ a háromszög $A$ csúcsánál levő belső szöget jelenti!  (12 pont)   Harmadik (döntő) forduló   1. Melyik az a legkisebb $p$ egész szám, amelyre a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{32x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt[]{32x^4-\frac{1}{x^4}}=\left(p-2\right)\cdot x^2}\end{array}$ egyenletnek van valós megoldása? Adja meg erre a $p$ számra az egyenlet összes valós megoldását!  (12 pont)   2. Adja meg az összes olyan $n$ természetes számot, amelyre a $3^n+63$ kifejezés értéke négyzetszám!  (12 pont)   3. Az $ABCD$ tetraéderben a $D$ csúcsnál levő élszögek derékszögek, az $ABC$ háromszög szögei $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Bizonyítsa be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta \text{ctg}\gamma =\frac{9}{2}\frac{V^2}{T^3}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $V$ az $ABCD$ tetraéder térfogata, $T$ pedig az $ABC$ háromszög területe!  (16 pont)   II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló   1. Az $a_n$ sorozatot ($n$ természetes szám) a következőképpen értelmezzük: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_0=2\text{és}{a}_n=a_{n-1}-\frac{n}{\left(n+1\right)!}\mathrm{,}\text{ha}n>0.}\end{array}$ Adjuk meg $a_n$-t $n$ függvényében! 7 pont   2. Az $ABCD$ konvex négyszög csúcsai egy körön vannak. A szomszédos oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok a négyszögből négy háromszöget vágnak le. Igazoljuk, hogy e négy háromszög körülírt körei egy ponton haladnak át! 7 pont   3. Az $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egészek, amelyekre az $\frac{a\sqrt[]{3}+b}{b\sqrt[]{3}+c}$ tört értéke racionális szám. Bizonyítsuk be, hogy $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ egész szám!  7 pont   4. Az $ABC$ háromszög beírt körének középpontja $O$. Az $OAB$, $OBC$, $OCA$ háromszögek súlypontjai rendre $C\text{'}$, $A\text{'}$, $B\text{'}$. Igazoljuk, hogy az $AA\text{'}$, $BB\text{'}$, $CC\text{'}$ szakaszok egy ponton mennek át!  7 pont   5. Igazoljuk, hogy 102 darab pozitív egész szám közül kiválasztható kettő úgy, hogy azok különbsége vagy összege osztható legyen 200-zal!  7 pont   Második forduló   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert ($x$, $y$, $z$ valós számok): ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x+y}+\sqrt[]{x-y}}& {\displaystyle =\mathrm{10,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle x^2-y^2-z^2}& {\displaystyle =\mathrm{476,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 2^{\left(\text{lg}|y|-\text{lg}z\right)}}& {\displaystyle =1.}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$   2. Az $ABC$ háromszög $BC$ oldalán van a $B_1$ és $C_1$, $AB$ oldalán a $B_2$, $AC$ oldalán a $C_2$ pont. $B_1{B}_2$ párhuzamos $AC$-vel, $C_1{C}_2$ párhuzamos $AB$-vel. A $B_1{B}_2$ és $C_1{C}_2$ egyenesek metszéspontja $D$. Jelölje a $B{B}_1{B}_2$ és $C{C}_1{C}_2$ háromszögek területét $T_B$ és $T_C$. $a)$ Igazoljuk, hogy ha $T_B=T_C$, akkor az $ABC$ háromszög súlypontja rajta van az $AD$ egyenesen. $b)$ Határozzuk meg $\frac{T_B}{T_C}$ értékét, ha $D$ az $ABC$ háromszög beírt körének középpontja és $AB=4$, $BC=5$, $CA=6$.   3. Egy szabályos ötszög csúcsaiba egy-egy valós számot írtunk, majd az ötszög oldalaira és átlóira felírtuk a végpontoknál levő számok összegét. Bizonyítsuk be, hogy ha az utóbbi 10 számból 7 egész, akkor mindegyik egész kell legyen.   4. Okos Ottó felsorolta az $n$ természetes szám pozitív osztóit nagyság szerinti sorrendben. Elsőként az 1-et, majd sorban egymás után, végül nyolcadikként következett az $n$. A hatodikként felsorolt osztóról tudjuk, hogy $20\le d\le 25$. Mi lehetett $n$?   Harmadik (döntő) forduló   1. Az $n$ pozitív egész szám ,,elbűvölő'', ha létezik $n$ darab olyan (nem feltétlenül különböző) $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ egész szám, hogy $a_1+a_2+\text{...}+a_n=a_1\cdot a_2\cdot \text{...}\cdot a_n=n$. Melyek az ,,elbűvölő'' számok?   2. A feladatban szereplő változók pozitív valós számokat jelentenek. $a)$ Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge \frac{a+b}{2}+\sqrt[]{ab}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Igaz-e minden esetben, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}+\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge \frac{a+b+c}{3}+\sqrt[3]{abc}?}\end{array}$   3. Az $ABC$ hegyesszögű háromszögben az $A$ csúcsnál levő szög: $\alpha ={60}^{\circ }$, $AB=c$, $CA=b$ és $b>c$. A háromszög magasságpontja $M$, köré írt körének középpontja $O$. Bizonyítsuk be, hogy I. ha az $OM$ egyenes az $AB$ oldalt $X$-ben, a $CA$ oldalt $Y$-ban metszi, akkor az $AXY$ háromszög kerülete $b+c$; II. $OM=b-c$.   III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló   1. Bizonyítsuk be, hogy egy $ABCD$ húrnégyszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AC}{BD}=\frac{DA\cdot AB+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot DA}\mathrm{.}}\end{array}$ 7 pont   2. Hány $0<x<2004$-re teljesül $x+\lfloor x^2\rfloor =x^2+\lfloor x\rfloor$? (Itt $\lfloor c\rfloor$ a $c$ valós szám (alsó) egészrészét jelöli, azaz a legnagyobb olyan $k$ egész számot, amelyre $k\le c$.)  7 pont   3. Nevezzünk három, nem feltétlenül különböző, 1-nél nagyobb egészt barátságos számhármasnak, ha bármely kettő önmagánál kisebb pozitív osztóinak az összege a harmadik szám. Határozzuk meg az összes olyan barátságos számhármast, amelyben a(z egyik) legnagyobb szám páros.  7 pont   4. Tekintsük a pozitív egészek olyan, $k$ (különböző) elemből álló $A$ részhalmazát, amelyre, ha két (nem feltétlenül különböző) pozitív egész egyike sem eleme $A$-nak, akkor az összegük sincs $A$-ban. Maximálisan mennyi lehet az $A$ elemeinek az összege?  7 pont   5. Tekintsünk egy négyoldalú gúlát, amelynek az alapja húrnégyszög. Vetítsük a gúla magasságának talppontját merőlegesen a gúla négy oldalélére. Bizonyítsuk be, hogy a négy vetület egy körön van.  7 pont   Második (döntő) forduló   1. Egy trapézt az egyik szárával párhuzamosan egy paralelogrammára és egy háromszögre bontunk, és megrajzoljuk a trapéz és a paralelogramma átlóit. Mennyi a trapéz párhuzamos oldalainak az aránya, ha a három átló által határolt háromszög területének és a trapéz területének az aránya maximális?   2. Határozzuk meg a legnagyobb olyan $k$ egészt, amely rendelkezik az alábbi tulajdonsággal: Minden olyan esetben, amikor az $x$, $y$ egész számokra $xy+1$ osztható $k$-val, akkor $x+y$ is osztható $k$-val.   3. Haydn és Beethoven a következő játékkal ünneplik Mozart születésnapját. Felváltva mondanak számokat a következő szabály szerint. Először Haydn kimondja a 2 számot. Ettől kezdve a soron következő játékos az addig elhangzott számok közül kettőnek az összegét vagy a szorzatát mondhatja (szabad egy számot önmagával is összeadnia vagy megszoroznia), de mindenképpen olyan számot kell mondania, amely korábban nem hangzott el és 1756-nál nem nagyobb. Az nyer, aki elsőként tudja kimondani az 1756-ot. Kinek van nyerő stratégiája?