Cím:	A 46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2005/szeptember, 323 - 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első nap   1. Adott hat pont az $ABC$ egyenlőoldalú háromszög oldalain: $A_1$ és $A_2$ a $BC$ oldalon, $B_1$ és $B_2$ a $CA$ oldalon, $C_1$ és $C_2$ az $AB$ oldalon, úgy, hogy ezek a pontok egy $A_1{A}_2{B}_1{B}_2{C}_1{C}_2$ konvex hatszög csúcsai, amelynek az oldalai egyenlő hosszúságúak. Bizonyítsuk be, hogy az $A_1{B}_2$, $B_1{C}_2$ és $C_1{A}_2$ egyenesek egy ponton mennek át.   2. Legyen $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ egész számoknak egy olyan sorozata, aminek van végtelen sok pozitív tagja és végtelen sok negatív tagja is. Tudjuk, hogy minden pozitív egész $n$-re az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ számok $n$-nel osztva $n$ különböző maradékot adnak. Bizonyítsuk be, hogy minden egész szám pontosan egyszer fordul elő a sorozatban.   3. Legyenek $x$, $y$, $z$ pozitív valós számok, amelyekre teljesül $xyz\ge 1$. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\ge 0}\end{array}$ egyenlőtlenség.   Második nap   4. Tekintsük azt az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ sorozatot, amit az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=2^n+3^n+6^n-1\left(n=\mathrm{1,2,}\text{...}\right)}\end{array}$ képlet definiál. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számot, ami relatív prím a sorozat minden tagjához.   5. Az $ABCD$ konvex négyszög $BC$ és $AD$ oldalai egyenlő hosszúságúak és nem párhuzamosak. Legyenek $E$, illetve $F$ rendre a $BC$, illetve $AD$ oldal olyan belső pontjai, amikre $BE=DF$ teljesül. Az $AC$ és $BD$ egyenesek metszéspontja $P$, a $BD$ és $EF$ egyenesek metszéspontja $Q$, az $EF$ és $AC$ egyenesek metszéspontja $R$. Tekintsük az összes $PQR$ háromszöget, amint $E$ és $F$ változnak. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszögek körülírt köreinek van egy $P$-től különböző közös pontja.   6. Egy matematikaversenyen 6 feladatot kellett a versenyzőknek megoldani. Bármelyik két feladatra igaz az, hogy a versenyzők $\frac{2}{5}$ részénél többen oldották meg mindkét feladatot. Senki nem oldotta meg mind a 6 feladatot. Bizonyítsuk be, hogy volt legalább 2 olyan versenyző, aki pontosan 5 feladatot oldott meg.