|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 8. Bizonyítsátok be, hogy az -tól nem függ az szorzat. Vagyis a 12. ábra , rögzített méretezése mellett az még szabadon változtatható, de az szorzat csak az és -től függ.
Megoldás: Az , és egy egyenesre, az ábra szimmetriatengelyére esik. Rajzoljunk -ból mint középpontból sugárral kört, és messe ez -t és pontokban. Akkor az pontból húzott szelőkre vonatkozó tételből , tehát független az szögtől. Így az pont mindig az pontnak az mint középpont körül írt sugarú körre vonatkozó inverze (és megfordítva).
9. Rögzítendő a . és . ábra , , méretezése, az és pont, akkor még az , , , pontok mozoghatnak. Bizonyítsátok be, hogy, ha egy kört ír le, akkor az kört vagy egyenest ír le.
Megoldás: Az előző feladat jelöléseinek megfelelően helyett továbbra is -t használunk.
a) Rajzoljunk -el egy kört, ne menjen át -n. Húzzuk meg az centrálist, messe ez -t -ban és -ben. E pontok tükörképei legyenek és és egy tetszésszerinti pontjáé .
, mert -nál lévő szögük közös és az előzőek szerint , azaz .
Ebből következik, hogy
Ugyanígy következik és abból ; végül Thales tétele szerint.
Előbbiekből: .
Eredményünk: , tehát az átmérő fölé írt körön van, tükörképe kör.
b) Ha keresztülmegy -n, messe -t -ban, tükörképe legyen és egy tetszésszerinti pontjának képe . Ugyanúgy mint előbb láttuk tehát . Így az -re -ben emelt merőlegesen helyezkedik el, vagyis inverze egyenes.
Az előbbiekből az is következik, hogy egy olyan egyenes képe, mely nem megy át -n kör. Az -on átmenő egyenes ‐ mint tudjuk ‐ invariáns egyenes, azaz a tükörképe önmaga, noha a pontok közül csak kettő tükörképe sajátmagának a két metszéspont a tükrözés körével.
Megjegyzések: I. Megismerkedtünk a kör és egyenes tükörképével (inverzével). Könnyen meg is tudjuk szerkeszteni ezeket a képeket. Ehhez szükségünk van először is egy tetszésszerinti pont inverzének a szerkesztésére. Az sugarú vezérkör középpontja legyen . legyen először -n kívül. Húzzunk -ből -hoz érintőt, az érintési pontot jelöljük -vel. Az -ből -re bocsátott merőleges és metszéspontja legyen . A derékszögű háromszögre vonatkozó tételekből . Tehát éppen inverze. Ha rajta van -n, akkor önmaga a tükörképe. Ha a vezérkörön belül helyezkedik el, akkor az előbbi szerkesztést visszafelé csináljuk meg. -re -ben merőlegest állítunk, ez metszi a vezérkört két pontban. E két pontban húzott érintők metszéspontja -n lesz, ez a keresett pont. Most már meg tudjuk szerkeszteni a körök és egyenesek tükörképeit is.
Ha a tárgykör nem megy át a vezérkör középpontján (inverzió centrumán), akkor három pontjának képe meghatározza az inverz kört; ezt a feladatot egyszerűsíteni lehet két pont tükörképének a szerkesztésére, mert az ábra szimmetrikus az inverzió centrumán és a tárgykör középpontján átmenő egyenesre. Ha a tárgykör átmegy az inverzió centrumán, akkor a képe egyenes, tehát elegendő a kép 2 pontját megszerkeszteni. Ha egyenes képét keressük, megszerkesztjük 2 pontjának képét. Ez a két képpont és az inverzió centruma meghatározzák a keresett kört. Persze ebben az utóbbi két esetben is redukálni lehet a feladatot egy pont képének a szerkesztésére. Az inverzió centrumán átmenő egyenes és a vezérkört derékszögben metsző kör képe sajátmaga.
II. Van a inverzének megszerkesztésére egy másik módszer is. Húzzunk középpontból -n keresztül kört. Messe ez -t és pontokban. -ból és -ből mint középpontokból húzzunk -n át kört, ezek másik metszése legyen . , és nyilván egy egyenesen feküsznek a szimmetria miatt. , mert mind a kettő egyenlőszárú és az -nál fekvő szög közös. Így ; és minthogy , , tehát a inverze.
Ez a szerkesztés azért érdekes, mert pusztán körzővel történik, azonban csak akkor alkalmazható, ha . Ha egy kis toldással akkor is végrehajtható a szerkesztés, találjátok ki, hogy hogyan ! De meg lehet a kör és egyenes inverz alakzatát is szerkeszteni pusztán körző használatával. Mohr G. dán matematikus ,,Euklides Danicus'' c. munkájában 1672-ben és tőle függetlenül Mascheroni L. olasz matematikus ,,Geometria del compasso'' c. munkájában 1797-ben az inverzió tulajdonságainak felhasználásával kimutatta a következő tételt: Minden körzővel és vonalzóval elvégezhető szerkesztés csak körzővel is elvégezhető. Akit érdekel, hogy hogyan, megtalálja Dr. Szőkefalvi Nagy Gyula ,,A geometriai szerkesztések elmélete'', Dörrie: ,,Triumph der Mathematik'' című könyveiben és sok más helyen.
10. Bizonyítsátok be, hogy ha az pont szöget ír le, az pont vele egyenlő szöget ír le.
Megoldás: Csak azt kell bizonyítanunk, hogy az inverzió két egyenes hajlásszögét vele egyenlő szöget bezáró két körbe (vagy egy körbe és egy egyenesbe) viszi át. Legyenek az adott egyenesek és , az inverzió centruma , és inverzei és . Ha és közül egyik sem megy át az -n, akkor és körök, melyek átmennek -n. Ha , akkor -nek és -nek van még egy közös pontja, mely és metszésének inverze. -nek -ban húzott érintője párhuzamos -gyel, -ban húzott érintője pedig -vel, vagyis az pontban a két kör ugyanakkora szögben metszi egymást, mint a két egyenes szöge. De ekkor az -ben húzott érintők is ugyanekkora szöget zárnak be, tehát akkorát, mint a két egyenes. Ha , akkor és érintik egymást -ban.
Ha egyik egyenes, mondjuk átmegy -n, akkor -et az inverzió önmagába viszi át. Az előbbihez hasonlóan következik, hogy -ban ekkor is ugyanakkora szöget zár be az -gyel, mint és szöge. Ha és is átmegy -n, akkor ezeket az inverzió önmagukba viszi át, tehát az állítás ekkor magától értetődő.
11. Bizonyítsuk be, hogy a kétszer domború, egyszer homorú, ill. a kétszer homorú, egyszer domború körháromszög szögeinek összege nagyobb, ill. kisebb -nál, ha a háromszöget alkotó körök hatványpontja a körökön kívül van.
Megoldás: Ha három kör páronként metszi egymást és hatványpontjuk a körökön kívül van, akkor nem lehet semelyik két kör egyik metszéspontja kívül, a másik belül a harmadik körön. Kétszer homorú, egyszer domború háromszögnél tehát esetünkben a domború oldalt szolgáltató kör tartalmazza a másik két kör mindkét metszéspontját. Legyenek a domború oldal végpontjai és , a harmadik csúcs és az ezen átmenő két kör másik metszéspontja .
Hasonlítsuk össze az körháromszög szögeit az háromszögével. Az és csúcsnál az háromszög szögeihez hozzájön még a körháromszögnél az ívhez tartozó húr és érintő közti szög, viszont az , ill. ívekhez tartozó húr-érintő szöggel kisebbek e csúcsokban a körháromszög szögei a közönséges háromszögéinél. A körháromszög -nél fekvő szöge viszont az és ívekhez tartozó húr-érintő szögekkel kisebb a közönséges háromszög megfelelő szögénél. Így mindegyik húr-érintő szög kétszer fordult elő, mindkétszer ugyanazzal az előjellel. A körháromszög szögeinek összege tehát az és ívekhez tartozó húr és érintő közti szögek összegének az ívhez tartozó húr és érintő közti szögtől való eltérésének kétszeresével ,,kisebb'' a közönséges háromszög szögeinek összegénél, vagyis -nál. Csak akkor lesz valóban kisebb, ha ez az eltérés pozitív.
Tudjuk, hogy a húr és érintő közti szög megegyezik az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögekkel. Így a homorú oldalt tartalmazó körök metszéspontját összekötve az , , csúcsokkal és az és ívekhez tartozó húr-érintő szöggel egyenlő. e két szög összege, mert a egyenes, mint a homorú oldalakat szolgáltató körök közös szelője, elválasztja az és pontokat, és tehát a szár különböző oldalán fekszik. Ez az azonban nagyobb, mint a domború oldalt szolgáltató körben az ívhez tartozó kerületi szögek, mert csúcsa e kör belsejében fekszik. Ezzel állításunkat igazoltuk.
Kétszer domború, egyszer homorú háromszögnél a homorú oldalt szolgáltató körön kívül van a másik két kör mindkét metszéspontja. Ebből kiindulva az előbbiekhez teljesen hasonlóan folytatható ez esetben is a bizonyítás.
12. Adva van három kör, melynek egy közös pontja van. Szerkesszetek kört, mely a három megadott kört érinti.
Megoldás: Tekintsük a feladatot megoldottnak, az adott közös ponttal bíró , , körök közös érintőkörét megszerkesztettnek.
Ha inverzió centrumnak választjuk -et, akkor az inverzió , , -at , , egyenesekbe viszi át és az érintő kört pedig ezen egyenesek érintő körébe.
Megfordítva a szerkesztés úgy történhetik, hogy , , -at a fenti módon tükrözzük egy közepű körre, megrajzoljuk a képegyenesek közös érintő köreit, majd megszerkesztjük ezen körök inverzét.
Ha -, -, -nak páronként 2 metszéspontja van, akkor , , egyenesek páronként metszik egymást, de 3 nem megy át egy ponton, 3 ilyen egyenesnek 4 érintőköre van, a feladatnak tehát 4 megoldása van.
Ha 2 kör érinti egymást -ben, a harmadik metszi őket, akkor a 3 kép-egyenes közül kettő párhuzamos, a harmadik metszi őket, ekkor csak két megoldás van.
Ha mind a három kör érinti egymást -ben, akkor minden olyan kör megoldás lesz, amelyik átmegy -en és középpontja a 3 adott kör közös centrálisán van.
13. Adva, van 3 kör, melyek közül kettőnek van közös pontja. Szerkesszetek kört, mely mindhárom kört érinti.
Megoldás: , körök közös pontját válasszuk inverzió centrumának, az inverzió és -t egyenesbe viszi át, -at körbe, a problémát visszavezettük két egyenes és egy kör közös érintőjének szerkesztésére, amit már meg tudunk oldani.
14. Tetszőlegesen megadott három körhöz szerkesszetek érintő kört.
Megoldás: A feladat visszavezethető az egy adott ponton átmenő és két adott kört érintő kör megszerkesztésére. Oldjuk meg először a feladatot e speciális esetben. Válasszuk -t inverzió centrumának (vezérkör sugara tetszőleges) és tükrözzük a két adott kört. A tükörképek általában körök, az érintő kör képe azonban mindig egyenes lesz. Így a két kör érintő egyeneseinek inverze szolgáltatja a kívánt megoldásokat.
Ha mind a két körben benne van vagy mind a kettőn rajta van vagy az egyik kör teljesen bent van a másikban és mind a kettőn kívül van, akkor nincs megoldás.
Vezessük most vissza az általános esetet e speciálisra. Ha 2 kör érinti egymást és az egyik sugarát növeljük, a másikét ugyanannyival csökkentjük, akkor a körök továbbra is érintkezni fognak. Ezen az úton olyan érintő szerkesztési feladatokban, melyekben körök szerepelnek, egy kört ponttá zsugoríthatunk össze.
Tekintsük a feladatot megoldva. A legkisebb sugarú adott kört (jelöljük a sugarát -gyel) ponttá zsugorítjuk és a többi körök sugarait úgy zsugorítjuk vagy növeljük -gyel, hogy az érintkezés továbbra is megmaradjon. Ezzel a problémát visszavezettük az előbbire: megszerkeszteni a 2 kört érintő és 1 ponton (a harmadik középpontján) átmenő köröket. A megszerkesztett köröket szükség szerint zsugorítva vagy nyújtva kapjuk az eredeti feladat megoldását.
Vizsgáljuk a megoldások számát. Ha -, -, -nak nincs közös pontja, akkor lesz olyan kör, amely mind a hármat kívülről érinti, lesz olyan, amelyik mind a hármat belükről érinti, 3 különböző fog egyet kívülről és kettőt belülről és 3 fog kettőt kívülről és egyet belülről érinteni. Tehát általában nyolc megoldás lehetséges.
Ha két kör benne van egészen a harmadikban, akkor már csak 4 megoldás lehetséges, mert a harmadikat csak belülről érintheti a közös érintőkör.
Attól függően, hogy melyik megoldást keressük, különbözőképpen kell némely kört zsugorítani, némelyiket nyújtani. Az inverzió elvégzése után a két kör közös érintői közül aszerint választjuk a két kört elválasztókat vagy azt a kettőt, amelyeknek egy oldalán fekszik a két kör, amint a keresett érintő körnek különböző oldalán vagy ugyanazon fekszik a két kör.
15. Fejezzétek ki az , pont körre vonatkozó tükörképének ()-nek a koordinátáit az , segítségével.
Megoldás: -ből . Az és háromszögekből ( és a és vetülete az -tengelyen)
Ha a kör sugara nem 1, hanem valamely más szám, akkor a törtek számlálójába még az szorzó kerül.
16. Határozzuk meg az ellipszisnek, a hiperbolának a főkörre vonatkozó tükörképét (egyenletét).
Megoldás: Az a körre kell az egyenletekkel jellemzett görbék inverz alakzatát előállítanunk. Ezt megkapjuk, ha -et és -t -vel és -vel fejezzük ki és ezt helyettesítjük az egyenletbe. Mivel az (, ) és (, ) pontok egymásnak kölcsönösen inverzei, az előző feladatban kapott formulákban (, )-t és (, )-t felcserélhetjük (amiről számítással is meggyőződhetünk): | |
Ezt behelyettesítve:
, törteket eltávolítva és rendezve: | |
Ugyanazt elvégezve az hiperbolára, kapjuk: | |
17. A parabola csúcspontja köré írjatok a fókuszon átmenő kört. Tükrözzétek a parabolát erre a körre nézve (egyenletet).
Megoldás: Az inverzió alapkörének sugara . A parabola egyenlete . Ennek inverz alakzata az előbbihez hasonlóan
Lásd e kötet 72. oldalán.Lásd e kötet 72. oldalán. |
PDF | MathML 
