Cím: Uszodai fényvarázs
Szerző(k):  G. P. 
Füzet: 2005/december, 554 - 555. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy érdekes fénykép látható a KöMaL 2005. évi májusi számának hátsó borítóján. A kép egy uszodában készült, digitális fényképezőgéppel (Tichy Géza felvétele). Az 1 méter mély medence fenekén levő csempemintázatot a víz fénytörése eltorzította, hullámossá tette. De vajon hogyan jöhetett létre a kép jobb oldalán látható hosszúkás, zárt alakzat az eredeti rácsegyenesekből?

 
 

Az uszodákban a víz felszíne szinte mindig hullámos. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a vízfelszín alakja csak az egyik irányban változik számottevően, a másik irányban haladva mindenhol ugyanolyan alakú. Tekintsük egy ilyen vízhullámnak az ,,érdekes'' iránnyal párhuzamos függőleges síkú metszetét (1. ábra).
 
 

1. ábra
 

A medence fenekének valamely Q pontjából kiinduló fénysugarak közül az ér a fényképezőgép objektívjébe, amelynek meghosszabbítása a P pontban metszené a medence alját jelentő egyenest. Emiatt a fényképen a Q pont, amely a medence szélétől y távolságra fekszik, a fényképen a P pontban, a medence szélétől x távolságra látszik. Az y és x mennyiségek közötti függvénykapcsolatot a vízfelszín pillanatnyi alakja (és a víz törésmutatója) határozza meg.
Érdemes a fénysugarakat a tényleges terjedési irányukkal ellentétesen, a fényképezőgéptől elindulva nyomon követni. (Valamikor régen éppen így képzelték el a látás mechanizmusát: a szemből kiinduló ,,látósugarakkal'' próbálták magyarázni a vizuális élmény kialakulását!) Ha a fényképezőgéptől indulva megcélozzuk a P pontot és követjük a fénysugarat egészen a Q pontig ‐ vagyis megkeressük az x helyen látszódó képhez tartozó tárgy helyét megadó y távolságot ‐, nyilván egy egyértelmű (egyértékű, vagyis minden x-hez egyetlen jól meghatározott értékű y-t rendelő)
y=f(x)
függvénykapcsolatot kapunk. Ez a függvény azonban nem feltétlenül monoton, és emiatt általában nem is invertálható. Előfordulhat ugyanis, hogy az x változó több különböző értékéhez ugyanaz az y tartozik. Erre példa az 1. ábrán látható R pontból kiinduló a, b és c fénysugár esete. Az y=f(x) függvény tehát bizonyos tartományokban több helyen (x1,x2,x3) is felveszi ugyanazt az y0 értéket, jellegét tekintve tehát olyan, mint a 2. ábrán látható ,,visszahajló'' függvény.
 
 

2. ábra
 

Mivel a kicsit hullámos vízhez tartozó f(x) függvény monoton növekvő, a 2. ábráról az is leolvasható, hogy az ugyanakkora y-hoz tartozó x értékek száma mindig páratlan kell legyen (a szélsőérték-pontoknak megfelelő elfajult esetek xi gyökei kétszeresen számítandók).
A medence alján végighúzódó vonalak különböző pontjai tehát általában 1 helyen, de néha 3 (vagy még több) különböző helyen láthatók. Az, hogy pontosan hányszoros képet látunk, a vízfelszín alakjától függ. A közölt fényképen látható zárt görbe tehát úgy jött létre, hogy valamelyik egyenes vonal (feltehetően a zárt huroktól balra látszó csík) bizonyos része (az a darabja, amely fölött erősebben hullámzott a víz) megháromszorozódott. Ahogy távolodunk az erősen hullámos tartománytól, úgy simul ki az y=f(x) függvény grafikonjának ,,visszahajló'' része, az xi-k közül kettő (mondjuk x1 és x2) közeledni kezd egymáshoz, majd amikor az y=y0 egyenes f(x) érintőjévé válik, sőt még azon is túlmegy, akkor a két ,,fölösleges'' xi eltűnik és csak a harmadik ‐ immár egyetlen ‐ x3 marad a fényképen.
Elképzelhető olyan hullámkép is, amelynél az erősebben hullámos tartomány (tehát a vízfelszínnek az a része, ahol az x(y) inverz függvény ,,3 értékű'') határaihoz közeledve az egyik oldalon az x1 és x2 értékek futnak össze, a másik oldalon viszont x2 és x3. Ebben az esetben a valóságban egyenes vonalnak ,,szellemképe'' nem egy vele összeköttetésben nem álló zárt görbe lesz, hanem megmarad egyetlen folytonos vonalnak, amely azonban erősen eltorzul, S alakban visszahajlik. Elvben az is megvalósulhat, hogy f(x) 5 különböző pontban veszi fel ugyanazt a függvényértéket: ilyenkor az egyenes vonalnak két zárt görbéből álló szellemképe is lesz.
Olvasóink között feltehetően sokan vannak, akik szeretnek fényképezni, s a mai technikai lehetőségek mellett olcsón (a sikertelen próbálkozásokat rögtön kitörölve a gépükből) és remélhetően sikeresen ,,vadászhatnak'' egzotikus optikai jelenségekre.