A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy érdekes fénykép látható a KöMaL 2005. évi májusi számának hátsó borítóján. A kép egy uszodában készült, digitális fényképezőgéppel (Tichy Géza felvétele). Az 1 méter mély medence fenekén levő csempemintázatot a víz fénytörése eltorzította, hullámossá tette. De vajon hogyan jöhetett létre a kép jobb oldalán látható hosszúkás, zárt alakzat az eredeti rácsegyenesekből?
Az uszodákban a víz felszíne szinte mindig hullámos. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a vízfelszín alakja csak az egyik irányban változik számottevően, a másik irányban haladva mindenhol ugyanolyan alakú. Tekintsük egy ilyen vízhullámnak az ,,érdekes'' iránnyal párhuzamos függőleges síkú metszetét (1. ábra).
1. ábra A medence fenekének valamely pontjából kiinduló fénysugarak közül az ér a fényképezőgép objektívjébe, amelynek meghosszabbítása a pontban metszené a medence alját jelentő egyenest. Emiatt a fényképen a pont, amely a medence szélétől távolságra fekszik, a fényképen a pontban, a medence szélétől távolságra látszik. Az és mennyiségek közötti függvénykapcsolatot a vízfelszín pillanatnyi alakja (és a víz törésmutatója) határozza meg. Érdemes a fénysugarakat a tényleges terjedési irányukkal ellentétesen, a fényképezőgéptől elindulva nyomon követni. (Valamikor régen éppen így képzelték el a látás mechanizmusát: a szemből kiinduló ,,látósugarakkal'' próbálták magyarázni a vizuális élmény kialakulását!) Ha a fényképezőgéptől indulva megcélozzuk a pontot és követjük a fénysugarat egészen a pontig ‐ vagyis megkeressük az helyen látszódó képhez tartozó tárgy helyét megadó távolságot ‐, nyilván egy egyértelmű (egyértékű, vagyis minden -hez egyetlen jól meghatározott értékű -t rendelő) függvénykapcsolatot kapunk. Ez a függvény azonban nem feltétlenül monoton, és emiatt általában nem is invertálható. Előfordulhat ugyanis, hogy az változó több különböző értékéhez ugyanaz az tartozik. Erre példa az 1. ábrán látható pontból kiinduló , és fénysugár esete. Az függvény tehát bizonyos tartományokban több helyen () is felveszi ugyanazt az értéket, jellegét tekintve tehát olyan, mint a 2. ábrán látható ,,visszahajló'' függvény.
2. ábra Mivel a kicsit hullámos vízhez tartozó függvény monoton növekvő, a 2. ábráról az is leolvasható, hogy az ugyanakkora -hoz tartozó értékek száma mindig páratlan kell legyen (a szélsőérték-pontoknak megfelelő elfajult esetek gyökei kétszeresen számítandók). A medence alján végighúzódó vonalak különböző pontjai tehát általában 1 helyen, de néha 3 (vagy még több) különböző helyen láthatók. Az, hogy pontosan hányszoros képet látunk, a vízfelszín alakjától függ. A közölt fényképen látható zárt görbe tehát úgy jött létre, hogy valamelyik egyenes vonal (feltehetően a zárt huroktól balra látszó csík) bizonyos része (az a darabja, amely fölött erősebben hullámzott a víz) megháromszorozódott. Ahogy távolodunk az erősen hullámos tartománytól, úgy simul ki az függvény grafikonjának ,,visszahajló'' része, az -k közül kettő (mondjuk és ) közeledni kezd egymáshoz, majd amikor az egyenes érintőjévé válik, sőt még azon is túlmegy, akkor a két ,,fölösleges'' eltűnik és csak a harmadik ‐ immár egyetlen ‐ marad a fényképen. Elképzelhető olyan hullámkép is, amelynél az erősebben hullámos tartomány (tehát a vízfelszínnek az a része, ahol az inverz függvény ,,3 értékű'') határaihoz közeledve az egyik oldalon az és értékek futnak össze, a másik oldalon viszont és . Ebben az esetben a valóságban egyenes vonalnak ,,szellemképe'' nem egy vele összeköttetésben nem álló zárt görbe lesz, hanem megmarad egyetlen folytonos vonalnak, amely azonban erősen eltorzul, S alakban visszahajlik. Elvben az is megvalósulhat, hogy 5 különböző pontban veszi fel ugyanazt a függvényértéket: ilyenkor az egyenes vonalnak két zárt görbéből álló szellemképe is lesz. Olvasóink között feltehetően sokan vannak, akik szeretnek fényképezni, s a mai technikai lehetőségek mellett olcsón (a sikertelen próbálkozásokat rögtön kitörölve a gépükből) és remélhetően sikeresen ,,vadászhatnak'' egzotikus optikai jelenségekre. |