Cím:	Kunfalvi Rezső emlékverseny
Füzet:	2005/október, 432 - 434. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   1. Két elhanyagolható tömegű csiga foroghat egymáshoz rögzítve vízszintes tengely körül. A nagy csiga sugara kétszer akkora, mint a kisebbé. A kettős csigán négy azonos, $M$ tömegű test függ egyensúlyi állapotban, nyugalomban. A kis csigán függő egyik tömeghez egy új, szintén $M$ tömegű testet rögzítünk az ábrán látható módon, és a rendszert elengedjük.     $a)$ Mekkora gyorsulással indul el az utoljára elhelyezett test, ha a csigák és a fonalak közötti súrlódás nulla? $b)$ Mekkora gyorsulással indul el az utoljára elhelyezett test, ha a csigák és a fonalak közötti súrlódás olyan nagy, hogy a fonalak nem csúsznak meg a csigákon? $c)$ Legalább mekkora a fonalak és a csigák közötti tapadási súrlódási együttható értéke a kis-, illetve a nagy csiga esetén, ha a fonalak nem csúsznak meg a csigákon? $d)$ Mekkora gyorsulással indul el az utoljára elhelyezett test, ha a csigák és a fonalak közötti súrlódási együttható mindenhol 0,14? (A csúszási és a tapadási súrlódási együtthatókat tekintsük egyenlőnek.) 2. Egy lendkerekes játékautót két első kerekénél megfogva az autó nagy periódusidejű lengéseket tud végezni. Modellezzük ezt a mozgást a következő módon: Rögzített, $r_1$ sugarú tengelyen fonál van átvetve, amelyben $r_2$ sugarú, $m$ tömegű és $\Theta$ tehetetlenségi nyomatékú test mozog a fonál által megengedett módon. A fonál sehol nem csúszik meg. A két tengely távolsága $l$, amint az 1. ábrán is látható.     1. ábra   $a)$ Mennyi az így kapott inga lengésideje? $b)$ Milyen speciális eset valósul meg, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle i)r_1=r_2\mathrm{,}ii)r_1=0?}\end{array}$ $c)$ Milyen fizikai rendszert írhat le az $a)$ pontban kapott lengésidő képlet, ha $r_1<0$? $d)$ Hogyan alkalmazható a fenti lengésidő képlet egy $r$ sugarú rögzített tengelyen gördülő $R$ belső sugarú gyűrűre (2. ábra)?     2. ábra   4. Két hosszú, egyforma szolenoid szorosan egymás mellett úgy helyezkedik el, hogy a tengelyük közös. A tekercsek keresztmetszete $A$, egységnyi hosszukra $n$ menet jut. Mekkora erő hat közöttük, ha az egyik tekercsbe $I_1$, a másikba $I_2$ erősségű áramot vezetünk?   7. Plazma lencse. A nagy intenzitású részecske nyalábok fizikájának megismerése nemcsak az alapkutatás számára fontos, hanem az orvosi és az ipari felhasználás részére is. A plazma lencse egy olyan eszköz, amely különlegesen erős fókuszálást biztosít a lineáris gyorsítók végén. A plazma lencse tulajdonságainak megfelelő értékelését elősegíti, ha összehasonlítjuk a szokásos mágneses és elektrosztatikus lencsékkel. Mágneses lencsék esetén a fókuszálási képesség arányos a mágneses tér gradiensével (a mágneses mező hely szerinti megváltozásával). Kvadrupol fókuszáló lencsék esetén a gyakorlatban elérhető felső határ ${10}^2$ T/m nagyságrendű, míg plazma lencsék esetén ${10}^{17}\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ sűrűség érhető el, aminek fókuszálási képessége $3\cdot {10}^6$ T/m mágneses tér gradiensnek felel meg (négy nagyságrenddel nagyobb érték, mint a legjobb kvadrupol lencséknél). A következőkben azt kell megmutatnod, hogy intenzív relativisztikus részecske nyalábok önfókuszálóvá válhatnak, ahelyett hogy szerteszét szórnák magukat a tér minden irányába. $a)$ Tekintsünk egy $n$ egyenletes részecskesűrűségű, hosszú, hengeres elektronnyalábot, melynek átlagsebessége $v$ (mindkét mennyiség a laboratóriumi rendszerben mérve). A klasszikus elektrodinamika alapján határozd meg az elektromos térerősség kifejezését a nyaláb hossztengelyétől $r$ távolságra! (10 pont) $b)$ Ugyanezen a helyen add meg a mágneses indukció kifejezését is! (10 pont) $c)$ Mekkora eredő erő hat egy olyan elektronra, amely a nyalábban a hossztengelytől $r$ távolságra halad? (10 pont) $d)$ Feltéve, hogy az előző alkérdésben szereplő formula relativisztikus sebességek esetén is alkalmazható, mekkora lesz az elektronra ható erő, ha $v$ tart a $c$ fénysebességhez, ahol $c=\frac{1}{\sqrt[]{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$? (10 pont) $e)$ Ha az $R$ sugarú elektronnyaláb egyenletes sűrűségű ($n_0<n$) plazmába lép be (a plazmát tekintsük azonos töltéssűrűségű ionokból és elektronokból álló ionizált gáznak), mekkora lesz az eredő erő, ami egy labor rendszerben álló töltött plazma részecskére hat, amely a plazmába belépő elektronnyalábon kívül, annak tengelyétől $r\text{'}$ távolságra helyezkedik el? Feltehetjük, hogy az áthaladó elektronnyaláb nem változtatja meg a plazma ionok sűrűség eloszlását, ami szintén hengerszimmetrikusnak tekinthető. (20 pont) $f)$ Elegendően hosszú idő múlva mekkora lesz az eredő erő egy olyan elektronra, amely a nyalábban éppen a hossztengelytől $r$ távolságra halad a plazmában, feltéve hogy $v\to c$, továbbá biztosítva, hogy a plazma ionok állandó sűrűsége és a hengerszimmetria megmarad? (20 pont) $g)$ A fenti számítások alapján két-három mondatban írd le, hogyan játszódik le a fókuszálás! (20 pont) 1A versenyen ‐ amely a Nemzetközi Diákolimpa válogatója volt ‐ összesen három mérési és hét elméleti feladatot kaptak a versenyzők. Utóbbiak közül itt négyet mutatunk be.